《专题六 概率统计与计数原理》课件

计数原理与概率统计专题六高中数学考点攻关考点一、两个计数原理（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类

方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.（2）分步乘法计数原理：

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同

的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.考点攻关（3）两个计数原理的联系与区别：（4）分类加法计数原理的应用思路：

①根据题目中的关键词、关键元素和关键位置等确定恰当的分类标准，分

类标准要明确、统一；

②分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.（5）分步乘法计数原理的应用思路：

根据事件发生的过程合理分步，分步必须满足两个条件：

一是步骤互相独立，互不干扰；

二是步与步确保连续，逐步完成.考点攻关（6）利用两个计数原理解决问题的一般步骤：（7）涂色问题常用的两种方法：考点攻关分类加法原理考点攻关考点二、排列与组合（1）排列、组合的定义：

注意：排列有序，组合无序.考点攻关（2）排列数、组合数的定义、公式及性质（n，m∈N*，且m≤n）：

说明

考点攻关（3）求解排列问题的常用方法：

考点攻关排列与组合考点攻关排列与组合考点攻关排列与组合考点攻关排列与组合考点攻关排列与组合考点攻关排列与组合考点攻关排列与组合考点攻关排列与组合考点攻关排列与组合考点攻关排列与组合考点攻关排列与组合考点攻关排列与组合考点三、二项式定理考点攻关（1）二项式定理：

辨析比较:二项式系数与项的系数的区别考点攻关（2）二项式系数的性质：考点攻关

二项式展开式的特定项考点攻关

二项式展开式的特定项考点攻关

二项式展开式项的系数和考点攻关

项的系数最值问题考点攻关

二项式考点攻关

二项式考点攻关

二项式考点攻关

二项式考点攻关

二项式考点攻关考点四、随机事件与概率（1）样本空间和随机事件：

考点攻关（2）两个事件的关系和运算：考点攻关（3）古典概型：考点攻关（4）概率的基本性质：（5）频率与概率：考点攻关

古典概型考点攻关

古典概型考点攻关考点攻关

古典概型考点攻关考点五、相互独立事件（1）定义：

对任意两个事件A,B,如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，

简称独立.（3）推广：

如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于

每个事件发生的概率的积，即P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.（2）性质：

若事件A与B相互独立，则A与

，

与B，

与

也都相互独立.

注意

若事件A与事件B是互斥事件（或对立事件），则A与B不相互独立.考点攻关

相互独立事件的判断判断事件是否相互独立的方法①由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.②利用“事件A，B相互独立，即P(AB)＝P(A)·P(B)”判断.考点攻关

相互独立事件考点攻关考点六、条件概率与全概率公式（1）条件概率定义：（2）条件概率性质：考点攻关（3）全概率公式：

考点攻关条件概率考点攻关条件概率考点攻关条件概率考点攻关条件概率考点攻关条件概率考点攻关条件概率考点攻关条件概率考点攻关条件概率考点攻关条件概率考点攻关条件概率考点攻关条件概率考点攻关条件概率考点攻关全概率公式考点攻关全概率公式考点攻关全概率公式考点攻关全概率公式考点攻关全概率公式考点攻关考点攻关贝叶斯公式考点攻关贝叶斯公式考点攻关贝叶斯公式考点攻关贝叶斯公式考点攻关贝叶斯公式考点攻关贝叶斯公式考点攻关贝叶斯公式考点攻关考点攻关考点七、离散型随机变量及其分布列、数字特征（1）离散型随机变量：

一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点Ω,都有唯一的实数X(Ω)与

之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变

量，称为离散型随机变量.

随机变量一般用大写英文字母表示，例如X，Y，Z.随机变量的取值一般用

小写英文字母表示，例如x，y，z.（2）离散型随机变量的分布列：

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取

每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称

分布列.离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示.考点攻关（1）离散型随机变量分布列的性质：

（2）离散型随机变量的均值与方差：考点攻关（3）均值与方差的性质：考点攻关求离散型随机变量的均值考点攻关考点攻关利用均值与方差进行决策考点攻关考点攻关考点攻关方法技巧：考点攻关离散型随机变量的均值与方差考点攻关离散型随机变量的均值与方差考点攻关离散型随机变量的均值与方差考点攻关离散型随机变量的均值与方差考点攻关考点八、二项分布

超几何分布与正态分布（1）n重伯努利试验：（2）二项分布：考点攻关（3）超几何分布：考点攻关（3）正态分布：考点攻关考点攻关考点攻关二项分布二项分布问题的解题关键1.定型①在每一次试验中，事件发生的概率相同.②各次试验中的事件是相互独立的.③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.2.定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.考点攻关考点攻关二项分布考点攻关超几何分布考点攻关考点攻关超几何分布考点攻关超几何分布考点攻关超几何分布考点攻关超几何分布考点攻关超几何分布考点攻关超几何分布考点攻关超几何分布考点攻关正态分布考点攻关正态分布考点攻关正态分布考点攻关正态分布考点攻关解决正态分布问题的思路1.把给出的区间或范围与参数μ，σ进行对比计算，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个.2.利用正态曲线的对称性转化所求概率，常用结论如下：①P（X≥μ）＝P（X＜μ）＝0.5；②对任意的a，有P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）；③P（X＜x0）＝1－P（X≥x0）；④P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）.考点攻关考点九、统计中的量（1）频率分布直方图考点攻关（2）频率分布折线图、密度曲线考点攻关（3）众数、中位数、平均数考点攻关考点攻关考点攻关（4）极差、方差、标准差考点攻关（5）相关系数考点攻关考点攻关考点攻关（6）百分位数考点攻关（7）列联表考点攻关考点攻关考点攻关频率分布直方图考点攻关考点攻关平均数、中位数、方差、极差考点攻关考点攻关方差、标准差、百分数考点攻关考点攻关线性回归方程考点攻关考点攻关线性回归方程考点攻关相关系数考点攻关相关系数考点攻关独立性检验考点攻关独立性检验考点攻关独立性检验考点攻关独立性检验考点攻关独立性检验考点攻关独立性检验12345678910111213141516171819202122一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[湖南长沙天心校级考试]在某次试验中,事件A,B的概率P(A),P(B)满足P(A)=0.4,P(B)=0.3,如果P(AB)=0,那么P(A∪B)=(

)A.0.7 B.0.6

C.0.4

D.0.3A解析

∵P(AB)=0,∴A,B互斥,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7.123456789101112131415161718192021222.[河南安阳林州期末]下列说法正确的是(

)A.任何事件的概率总是在(0,1)之间B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定C解析

由于必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,故A不正确.频率的数值是通过试验完成的,频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,故B,D不正确.频率是不能脱离n次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值,随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率,故C正确.123456789101112131415161718192021223.甲、乙两个箱子中各装有10个大小相同的球,其中甲箱中有5个红球、5个白球,乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1,2,5,6,从甲箱子随机摸出1个球;如果点数是3,4,从乙箱子中随机摸出1个球,则摸出红球的概率为(

)C123456789101112131415161718192021224.[山东烟台栖霞期中]已知A,B是两个随机事件,且A⊆B,则下列选项中一定成立的是(

)A.P(A∪B)=P(A)+P(B) B.P(A∩B)=P(A)·P(B)C123456789101112131415161718192021225.某城市一年的空气质量状况如下表所示:其中当污染指数T≤50时,空气质量为优;当50<T≤100时,空气质量为良;当100<T≤150时,空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到良或优的概率为(

)C123456789101112131415161718192021226.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设事件E表示“取出的3件产品全不是次品”,事件F表示“取出的3件产品全是次品”,事件G表示“取出的3件产品中至少有1件是次品”,则下列结论正确的是(

)A.F与G互斥B.E与G互斥但不对立C.E,F,G任意两个事件均互斥D.E与G对立D123456789101112131415161718192021227.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是(

)D解析

该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共有15个样本点,b>a包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,所以b>a的概率是123456789101112131415161718192021228.甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球(m≠n),现从两袋中各摸一个球,A=“两球同色”,B=“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为(

)A.P(A)<P(B) B.P(A)=P(B)C.P(A)>P(B) D.视m,n的大小而定A1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.[山西朔州怀仁月考]从1,2,3,…,9中任取三个不同的数,则在下述事件中,是互斥但不是对立事件的有(

)A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数”B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”AD解析

从1~9中任取三个不同的数,按这三个数的奇偶性分类,有四种情况:(1)三个均为奇数;(2)两个奇数一个偶数;(3)一个奇数两个偶数;(4)三个均为偶数.所以选项A,D是互斥但不是对立事件,选项C是对立事件,选项B不是互斥事件.123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212210.[河南商丘期末]今年“五一”假期,各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机,积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动,若顾客小王中奖的概率为0.4,顾客小张中奖的概率为0.2,两人中奖与否互不影响,则下列说法正确的是(

)A.小王和小张都中奖的概率为0.08B.小王和小张都没有中奖的概率为0.46C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92ACD12345678910111213141516171819202122解析

A,由题意知,小王和小张都中奖的概率为0.2×0.4=0.08,故A正确;B,小王和小张都没有中奖的概率为(1-0.2)×(1-0.4)=0.48,故B错误;C,小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.4×(1-0.2)+(1-0.4)×0.2=0.44,故C正确;D,小王和小张中至多有一个人中奖的概率为1-0.08=0.92,故D正确.1234567891011121314151617181920212211.某次数学考试的一道多项选择题,要求是:“在每小题给出的四个选项中,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做,下列表述正确的是(

)A.甲同学仅随机选一个选项,能得3分的概率是B.乙同学仅随机选两个选项,能得5分的概率是C.丙同学随机选择选项,能得分的概率是D.丁同学随机至少选择两个选项,能得分的概率是ABC12345678910111213141516171819202122解析

甲同学仅随机选一个选项,共有4种情况,分别为选A,选B,选C,选D,随机事件“随机选一个选项,能得3分”中有两种情况选C,选D,故随机选一个选项,能得3分的概率为

,故A正确.乙同学仅随机选两个选项,共有6种情况,分别为选AB,AC,AD,BC,BD,CD,随机事件“随机选两个选项,能得5分”只有选CD一种情况,故随机选两个选项,能得5分的概率为

,故B正确.丙同学随机选择选项(丙至少选择一项),12345678910111213141516171819202122结合A,B中的分析可知共有15种情况,分别为选择一项:A,B,C,D;选择两项:AB,AC,AD,BC,BD,CD;选择三项或全选:ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD,故丙同学随机选择选项,能得分共有选C,选D,选CD

3种情况,故丙同学随机选择选项,能得分的概率为

,故C正确.丁同学随机至少选择两个选项,由C的分析可知,共有11种情况,故丁同学随机至少选择两个选项,能得分只有选CD一种情况,故概率为

,故D错误.故选ABC.1234567891011121314151617181920212212.如图,由A1,A2,A3,A4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统,设每个电子元件能正常工作的概率均为p(0<p<1),则(

)A.甲系统正常工作的概率为8p4B.甲系统正常工作的概率为2p2-p4C.乙系统正常工作的概率为1-(1-p)2D.甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率BD12345678910111213141516171819202122解析

甲系统正常工作的对立事件是A1,A2中至少一个元件不能正常工作,且A3,A4中至少一个元件不能正常工作,∴甲系统正常工作的概率为P=1-(1-p2)(1-p2)=2p2-p4,故A错误,B正确;乙系统正常工作的情况为:A1,A2中至少一个元件能正常工作,且A3,A4中至少一个元件能正常工作,∴乙系统正常工作的概率为P=[1-(1-p)2][1-(1-p)2]=p4-4p3+4p2,故C错误;∵0<p<1,∴(2p2-p4)-(p4-4p3+4p2)=<0,∴甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率,故D正确.12345678910111213141516171819202122三、填空题13.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,记事件A={(正,反)},写出事件A的一个互斥事件:

.(用集合表示,写出一个即可)

{(正,正)}解析

同时抛掷两枚质地均匀的硬币,所有可能的结果为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),其中事件{(正,正)},{(反,正)},{(反,反)}与事件A都不可能同时发生,所以事件A的一个互斥事件可以是{(正,正)}.1234567891011121314151617181920212214.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有

条鱼.

7501234567891011121314151617181920212215.某市在经济快速发展的同时,更注重城市环境卫生的治理,经过几年的治理,市容市貌焕然一新,为了调查市民对城区环境卫生的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查,并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图,其中a=2b.若按照分层随机抽样的方式从分数在[50,60),[60,70)内的市民中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,则至少有1人的分数在[50,60)内的概率为

.

12345678910111213141516171819202122解析

由频率分布直方图得,(0.01+a+b+0.035+0.01)×10=1,∴a+b=0.045,又a=2b,解得a=0.030,b=0.015.∵[50,60),[60,70)两段频率比为0.1∶0.15=2∶3,∴按照分层随机抽样的方式从分数在[50,60)内的市民中抽取2人,记为a1,a2,从分数在[60,70)内的市民中抽取3人,记为b1,b2,b3,设x1,x2分别表示从这5人中抽取的2人,则数组(x1,x2)表示该试验的样本点.∴该试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},共10个样本点,其中,至少有1人的分数在[50,60)内包含的样本点有7个,∴至少有1人的分数在[50,60)内的概率P=.1234567891011121314151617181920212216.某自助银行有A,B,C,D四台ATM(自助取款机),在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为(1)若某客户只能使用四台ATM中的A或B,则该客户需要等待的概率为

;

(2)某客户使用ATM取款时,恰好有两台ATM被占用的概率为

.

1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.[重庆长寿期末]已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球.甲盒中是3个黑色小球(记为A1,A2,A3)和1个红色小球(记为B),乙盒中是2个黑色小球(记为a1,a2)和2个红色小球(记为b1,b2).(1)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球,共有多少种不同的结果?请列出所有的结果.(2)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球,求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率.12345678910111213141516171819202122解

(1)共16种不同结果,样本空间Ω={A1a1,A1a2,A1b1,A1b2,A2a1,A2a2,A2b1,A2b2,A3a1,A3a2,A3b1,A3b2,Ba1,Ba2,Bb1,Bb2}.(2)记A=“取出的2个小球中至少有一个是黑色”,则A={A1a1,A1a2,A1b1,A1b2,A2a1,A2a2,A2b1,A2b2,A3a1,A3a2,A3b1,A3b2,Ba1,Ba2},1234567891011121314151617181920212218.某班倡议暑假期间每位同学每天至少进行1小时的体育锻炼.为了解同学们的锻炼情况,对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查,调查结果如表:一周锻炼时长/小时56789男生人数/人12434女生人数/人38531(1)试根据上述数据,分别求出这个班男生、女生在该周的平均体育锻炼时长;(2)若从该周锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动,求选到男生和女生各1人的概率.12345678910111213141516171819202122(2)本周锻炼8小时的学生中有男生3人,设为a,b,c,女生3人,设为d,e,f,从这6人中任选2人的所有结果为(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(a,b),(a,c),(b,c),(d,e),(d,f),(e,f),共15种,选到男生和女生各1人的所有结果为(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),共9种,123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212219.[山东滨州期末]某高校的入学面试中有3道难度相当的题目,甲同学答对每道题目的概率都是0.8,乙同学答对每道题目的概率都是0.7,且甲、乙抽到不同题目能否答对是独立的.若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直到第三次答完为止.(1)求在甲、乙两人第一次答题中只有一人通过面试的概率;(2)求甲、乙两人都通过面试且甲的答题次数少于乙的答题次数的概率.12345678910111213141516171819202122解

(1)由题意,所求概率为0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38.(2)由题意,有甲第一次通过乙第二次通过、甲第一次通过乙第三次通过和甲第二次通过乙第三次通过三种情况,当甲第一次通过乙第二次通过时,概率为0.8×(0.3×0.7)=0.168,当甲第一次通过乙第三次通过时,概率为0.8×(0.3×0.3×0.7)=0.050

4,当甲第二次通过乙第三次通过时,概率为0.2×0.8×(0.3×0.3×0.7)=0.010

08,所以所求概率为0.168+0.050

4+0.010

08=0.228

48.1234567891011121314151617181920212220.甲、乙两位同学参加某高校的入学面试.入学面试中有3道难度相当的题目,已知甲答对每道题目的概率都是,乙答对每道题目的概率都是

.若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第3次为止.假设对抽到的不同题目能否答对是相互独立的,且甲、乙两人互不影响.(1)求甲第二次答题通过面试的概率;(2)求乙最终通过面试的概率;(3)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率.123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212221.某地区为了实现产业的转型发展,利用当地旅游资源丰富多样的特点,决定大力发展旅游产业,一方面对现有旅游资源进行升级改造,另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门,对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查,如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中,随机抽取的100位游客的满意度调查表.满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意121184156一般2164412不满意11623212345678910111213141516171819202122(1)由表中的数据分析,老年人、中年人和青年人这三种人群中,哪一类人群更倾向于选择报团游?(2)为了提高服务水平,该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中,随机抽取2人征集改造建议,求这2人中有老年人的概率.(3)若你朋友要到该地区旅游,根据表中的数据,你会建议他选择哪种旅游项目?12345678910111213141516171819202122解

(1)由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别∵P1>P2>P3,∴老年人更倾向于选择报团游.(