2026年浙江省温州市十校联盟高二期末测试数学试题（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高二数学学科练习注意事项：1．本题共4页，满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效.4．结束后，只需上交答题卡.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z在复平面内对应的点为，则（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．展开式中的常数项为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．在三角形中，M是线段上的一个动点，且满足，求的最小值（

）A．2 B．4 C．8 D．15．如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（

）A． B． C． D．6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为，则（

）A．4 B．6 C． D．7．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），他在1829年定义了一个“奇怪的函数”：，其中为实数集，为有理数集．则关于函数的如下四个命题中，不正确的是（

）A．，都有B．，都有C．，都有D．，都有8．一个轴截面为倒立正三角形的圆锥形水杯，内部装有高度为的水，现将一个半径为2的实心铁球放入水杯中，恰好完全浸没，水未溢出（如图），则（

）A．100 B．120 C．144 D．216二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．某学校数学兴趣小组在＂探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况＂的数学建模活动中，将时间（分钟）与温度（摄氏度）的关系用模型（其中e为自然对数的底数）拟合．设，变换后得到一组数据：22.533.544.044.013.98t3.91由上表可得线性回归方程，则（

）A．样本数据的下四分位数为2.5 B．C．当时，残差为0.01 D．11．已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（

）A．若直线平面，点P的轨迹长度为B．若，则直线与所成角的取值范围是C．若，则平面平面D．若，则的最小值为非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．曲线在处的切线的方程为_______13．若正项整数数列满足，，已知，则的所有可能取值的和为________．14．暑假即将来临，某同学制定了一个5天游玩5个不同景点的旅游攻略，他计划每天游玩一个景点，但第一天不去景点，第二天不去景点，最后一天不去景点，其余两天没有限制，则不同的游玩日程安排有________种．（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知向量，，若函数，(1)求的值；(2)求不等式的解集．16．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且，，．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17．某企业生产的产品有一项质量指标，为评估产品质量，质检部门抽取了100件产品，整理得到质量指标的频率分布直方图，如下图（组距为10）：(1)求图中a的值及平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，方差．利用该正态分布求；(3)现从生产线中取出5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件为次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望．参考数据：若，则，18．数列中，是数列的前项和，已知，．(1)求证：是等差数列；(2)已知，（Ⅰ）若，求数列的前n项和；（Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值．19．已知；(1)讨论的单调性；(2)若，且；（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求证：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【详解】复数z在复平面内对应的点为，可知，则.2．B【详解】由，得，解得，所以，又因为，所以.3．C【详解】根据二项式定理，展开式中的通项公式为：，要求展开式中的常数项，则的指数为0，即，解得，代入通项公式的系数部分，求得常数项：，C正确.4．B【分析】根据向量基本定理可得，再由基本不等式“1”的妙用求最小值即可．【详解】三点共线，且M是线段上的一个动点，满足，，则，当且仅当时取等，故的最小值为．5．C【分析】根据导数与单调性及最值的关系求解即可.【详解】由图象可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.对于A，在开区间先减后增，无最大值，A错误.对于B，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点函数值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，B错误.对于C，在开区间先增后减，一定有最大值，C正确.对于D，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，D错误.6．A【详解】由，解得，由余弦定理得，即，则得，所以，故.7．D【详解】对于选项A，当时，，则，当时，，则，所以A正确；对于选项B，，当时，，则，当时，可知，则，所以B正确；对于选项C，，若，则，此时，若，则有两种情况，当时，此时，满足，当时，此时，若，则有两种情况，当时，此时，满足，当时，此时，综上，，都有，所以C正确；对于选项D，当时，有，此时，所以D错误.8．B【分析】将一个半径为2的实心铁球放入水杯中，恰好完全浸没，水未溢出，那么该球为水组成的锥体的内切球，找到球心，通过数量关系计算出球半径与的关系即可.【详解】如图所示，为圆锥底面的圆心，根据内切球的性质可知，垂直于底面，垂足为，则,,由于圆锥轴截面为倒立正三角形，那么,在中，,，在中，，故，，，当球未放入水中时,如图所示，底面直径，圆心，在中,，，，由于，所以.9．BD【分析】AB选项，利用诱导公式进行计算；C选项，利用齐次式化弦为切进行求解；D选项，两边平方后进行求解【详解】A选项，若，则，A错误；B选项，若，则，B正确；C选项，若，则，C错误；D选项，若，则，即，，，D正确.10．ABD【分析】由指数型回归模型的线性变换、统计中的四分位数、线性回归性质、残差定义展开即可求解.【详解】对于A选项，样本取值按从小到大排列为：，，，，共有5个数据，则其下四分位数的位置计算为，则取第二个数据，即2.5，故A正确；对于B选项，，则，则，解得，故B正确；对于C选项，当时，的实际观测值为，代入回归方程得，所以对应残差为，故C错误；对于D选项，对原指数模型两边同时取自然对数：，可得，和已知线性回归方程对比，可得，两边取指数得，故D正确.11．ACD【分析】建立空间直角坐标系，由线面平行的性质，线面角，线面垂直的性质以及平面对称的向量求法即可求解.【详解】依题意，如图以A为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，因为，则,对于A，设平面的法向量为，因为，，,所以，故可取，由平面可得，即，即点三条共线，故的轨迹为线段，而，故A正确；对于B，当时，，所以，，设与所成角为，则，因在上单调递增，故在上单调递增,故可得,又因在上单调递减，则有,故B错误；对于C，设平面法向量为，因为，，则，故可取，设平面的法向量为，当时，，，，故可取,，故平面平面，即C正确；对于D，当时，点在平面内，关于平面的对称点，连接交平面于点,连接，则，因，由图知则当三点共线且点在之间时，取得最小值为，故D正确.12．【分析】利用求导得到导函数，代入得到切线斜率，再求出切点坐标，根据点斜式写出切线方程即可.【详解】由题意，，所以，则，因为当时，，所以在处的切线的方程为：，即.故答案为：.13．24【分析】利用递推关系进行求解．【详解】因为，当时，，解得，当时，，解得或，当时，，解得或或，则的所有可能取值的和为：．14．64【分析】利用特殊位置优先考虑的方法，将可能出现的情况进行分类即可.【详解】假设另外两个景点为，.根据题意要对第一天，第二天，第五天游玩的景点进行分情况讨论.①第一天选景点，接下来考虑景点，最后一天不去，有种选择，剩下3天，3个景点可以任意安排，所以总共有种选择；②第一天选景点，接下来考虑景点，第二天不去，有种选择，剩下3天，3个景点可以任意安排，所以总共有种选择；③第一天选景点，接下来考虑第二天的景点.第二天去景点，剩下3天，3个景点可以任意安排，所以总共有种选择；第二天去景点，再考虑景点不能在第五天，有种选择，剩下2天，2个景点可以任意安排，所以总共有种选择；第二天去��景点，再考虑景点不能在第五天，有种选择，剩下2天，2个景点可以任意安排，所以总共有种选择；所以第一天选景点，总共有种选择.④第一天选景点，跟第一天去景点情况一样，共有种选择.综上所述，不同的游玩日程安排有种选择.15．(1)(2)，【分析】（1）根据数量积的坐标运算，结合三角恒等变形化简即可得到，再代入求值即可；（2）利用整体法解三角不等式即可．【详解】（1）；（2）由（1）知，即，所以，即不等式的解集为，16．(1)证明：在四棱锥中，∵，，∴三角形为等腰直角三角形．如图取中点，连接．则，且∵四边形为正方形，∴，又∵，∴．∴．又∵，且，平面，∴平面．又∵平面，∴平面平面．(2)【分析】（1）取中点，连接，可证明平面，从而可证明平面平面.（2）建立恰当空间直角坐标系，利用向量法即可求解.【详解】（1）略.（2）如图，在平面内过点作，交于点.以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，设平面PCD的一个法向量为，，令，则，，故，设直线与平面所成的角为，则∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.17．(1)；(2)(3)X234P【分析】（1）由频率分布直方图所有矩形面积和为和平均值的计算公式可计算；（2）利用正态分布的对称性求解即可；（3）X的取值为，求出分布列即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得；则.（2）（3）由题可得X的取值为则，X234P18．(1)法一：当时，，，，，，，，是常数列，设该常数为k，则，，，也符合上式，因此是等差数列．法二：，，，①，又，②，②-①，则数列是等差数列.法三：当时，解得，当时，，即，，，，成等差数列，猜想，.（ⅰ）时，，，成等差数列，猜想显然正确.（ⅱ）假设时猜想正确，即，，则当时，，，，，，，，时，猜想也正确；综上所述，，对都成立.是等差数列.(2)（Ⅰ）（Ⅱ）54【分析】（1）法一：利用的关系可证是常数列，进而可证结论；法二：利用的关系可得，可证结论；法三：利用数学归纳法可证结论；（2）（Ⅰ）利用已知结合（1）求得，进而得，利用错位相减法可求得数列的前n项和；（Ⅱ）求得与之间插入的k项之和，可得前k组之和，判断的单调性，进而计算可求得的最小值．【详解】（1）略.（2）（Ⅰ），，，设数列的前n项和为，③，④，所以③-④得，，所以.（Ⅱ）新数列为：，，，，，，…，，，，…，，…，将此数列分成若干组，，为第一组；，，为第二组；……，，，…，为第k组，与之间的k项数列的和为：，可得数列取到后的第k项时：.前k组之和为：，显然随k的增大而增大，当时，，，，第44项再往后取m项，使m项的和大于978，即：，，当时，，时，，，有最小值为54．19．(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)（Ⅰ）或（Ⅱ）要证：，只要证，显然，所以，又在单调递增，所以只要证，因为，即证，因为，所以只要证对恒成立即可．，因为时，所以恒成立，当时，