2027届高考数学一轮总复习10.1两个计数原理（课件）

第十章计数原理、概率10.1两个计数原理高三一轮数学内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义,能利用两个计数原理进行计数.202320242025

必备知识回顾1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)分类加法计数原理①定义:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=______种不同的方法.②拓展:完成一件事,如果有n类不同方案,且第1类方案中有m1种不同的方法,第2类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=______________种不同的方法.1知识梳理m+nm1+m2+…+mn(2)分步乘法计数原理①定义:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=______种不同的方法.②拓展:完成一件事,如果需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=__________________种不同的方法.m×nm1×m2×…×mn2.运用分类加法计数原理的关键是分类标准的确定,通常按有特殊要求的元素或有特殊要求的位置进行分类,即以“符合要求”与“不符合要求”作为分类标准.3.分类与分步都是数学思维中的“分解”策略,前者是“横向分解”,分解为若干种满足要求的类型;后者是“纵向分解”,将解决问题的方法分解为按一定顺序进行的小步骤.1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.(

)(2)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(

)(3)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(

)(4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(

)基础检测√××√2.(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1T1改编)一个口袋内装有4个小球,另一个口袋内装有6个小球,所有小球的颜色互不相同.从两个口袋中取一个球,则不同的取法种数为____.解析:根据分类加法计数原理,不同的取法种数为4+6=10.103.(人教A版选择性必修第三册P8例7改编)如图,为了迎接五一国际劳动节,某学校安排同学们在A,B,C,D四块区域植入花卉,现有4种不同花卉可供选择,要求相邻区域植入不同花卉,不同的植入方法有____种.解析:C区域有4种选择,D区域有3种选择,A区域有3种选择,B区域有2种选择,由分步乘法计数原理可知,不同的植入方法共有4×3×3×2=72(种).724.中国有十二生肖,又叫十二属相,每个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢龙、牛和羊,乙同学喜欢龙和马,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,那么选法有____种.解析:第一种情况是甲选龙,乙只能选马,丙有10种选法,则共有1×1×10=10(种)选法;第二种情况是甲选牛或羊,甲有2种选法,乙也有2种选法,丙有10种选法,则共有2×2×10=40(种)选法.所以共有10+40=50(种)选法.50关键能力提升考点1

分类加法计数原理【例1】

如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为(

)A.26

B.24

C.19

D.18C【解析】

由题图可知,从A到B有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.故选C.使用分类加法计数原理的两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏.(2)分类时,注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,不能重复.规律总结【对点训练1】

将一类顺读与倒读都是同一个数的自然数称为“回文数”,如44,585,2662等.若用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9可以组成五位“回文数”且这个五位数的各位数字之和为11,则这样的五位“回文数”的个数为(

)A.10 B.12C.14 D.6A解析:设五位数的“回文数”为abcba,其中a,b,c∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},因为各位数字之和为11,所以2a+2b+c=11,因为2a+2b为偶数,所以c为奇数,若c=1,则a+b=5,则(a,b)的组合有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),则“回文数”共有4个;若c=3,则a+b=4,则(a,b)的组合有(1,3),(2,2),(3,1),则“回文数”共有3个;若c=5,则a+b=3,则(a,b)的组合有(1,2),(2,1),则“回文数”共有2个;若c=7,则a+b=2,则(a,b)的组合有(1,1),则“回文数”共有1个.故满足条件的五位“回文数”的个数为4+3+2+1=10.故选A.考点2

分步乘法计数原理【例2】

(多选)现安排高二年级a,b,c三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是(

)A.共有43种不同的安排方法B.若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种C.若a同学必须去甲工厂,则不同的安排方法有12种D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种ABD【解析】

对于A,a,b,c三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学有4种选法,则三名同学共有4×4×4=43(种)选法,故A正确;对于B,三人到四个工厂,有43=64(种)情况,其中甲工厂没有同学去,即三名同学全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33=27(种),则甲工厂必须有同学去的安排方法有64-27=37(种),故B正确;对于C,若a同学必须去甲工厂,则剩下两名同学安排到四个工厂即可,有42=16(种)安排方法,故C错误;对于D,若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有4×3×2=24(种),故D正确.故选ABD.1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.2.分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.规律总结【对点训练2】

3000的不同正因数的个数为

(

)A.36 B.45C.32 D.54解析:因为3

000=23×3×53,所以3

000的正因数为2α×3β×5γ,其中α=0,1,2,3,β=0,1,γ=0,1,2,3,所以3

000的不同正因数有4×2×4=32(个).故选C.C考点3

两个计数原理的综合应用命题角度1

与数字有关的问题【例3】

(人教A版选择性必修第三册P11练习T2改编)定义:各位数字之和为8的三位数叫“幸运数”.比如116,431,则所有“幸运数”的个数为

(

)A.18

B.21 C.35

D.36D【解析】

按照百位数字进行分类讨论:若百位数字为8,则剩余两位均为0,共有1个“幸运数”;若百位数字为7,则剩余两位为1,0,共有2×1=2(个)“幸运数”;若百位数字为6,则剩余两位为2,0或1,1,共有2×1+1=3(个)“幸运数”;若百位数字为5,则剩余两位为3,0或2,1,共有2×2×1=4(个)“幸运数”;若百位数字为4,则剩余两位为4,0或3,1或2,2,共有2×2×1+1=5(个)“幸运数”;若百位数字为3,则剩余两位为5,0或4,1或3,2,共有3×2×1=6(个)“幸运数”;若百位数字为2,则剩余两位为6,0或5,1或4,2或3,3,共有3×2×1+1=7(个)“幸运数”;若百位数字为1,则剩余两位为7,0或6,1或5,2或4,3,共有4×2×1=8(个)“幸运数”.故所有“幸运数”的个数为1+2+3+4+5+6+7+8=36.故选D.命题角度2

与几何有关的问题【例4】

如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是____.【解析】如图所示,①对于正方体的每一条棱,都有2个面与之构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12×2=24(个);②对于正方体的每一条面对角线(如A1C1,则A1C1⊥平面BB1D1D),都有一个对角面与之构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12×1=12(个).综上所述,正方体中的“正交线面对”共有24+12=36(个).36命题角度3

涂色问题【例5】

用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域,相邻两个区域不能同色,且至少要用四种颜色,则不同的涂色方法有

(

)A.240种 B.480种C.420种 D.360种D【解析】

先不考虑至少要用四种颜色,完成涂色需要分5步,按照顺序依次涂区域3,1,4,5,2,区域3有5种颜色可选,区域1有4种颜色可选,区域4有3种颜色可选;若区域5与区域4颜色相同,区域5有1种颜色可选,则区域2有3种颜色可选;若区域5与区域4颜色不同,区域5有2种颜色可选,则区域2有2种颜色可选;再由分类加法计数原理和分步乘法计数原理可得,共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种)涂色方法.如果只使用三种颜色涂色(小于三种无法涂色),那么区域1,2同色且区域4,5同色,共有5×4×3=60(种)涂色方法.所以满足题意的不同的涂色方法有420-60=360(种).故选D.1.在综合应用两个计数原理解决问题时应注意:(1)一般是先分类再分步,在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个计数原理综合应用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.2.解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成.规律总结【对点训练3】

(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有(

)A.48个 B.52个C.60个 D.120个解析:由题意可知,分为两种情况:若个位是0,则有5×4=20(个)不同的偶数;若个位不是0,则有4×4×2=32(个)不同的偶数.所以偶数共有20+32=52(个).故选B.B(2)某社区广场有一个如图所示的花坛,花坛有1,2,3,4四个区域,现有5种不同的花卉可供选择,要求相邻区域不能种植同一种花卉,中间圆圈区域不种植花卉,则该花坛的花卉种植方案共有

(

)A.210种 B.420种C.180种 D.260种D解析:当区域1与区域3种植同一种花卉时,先种区域1,3,再种区域2,4,由分步乘法计数原理可知,该花坛种植方案共有5×1×4×4=80(种);当区域1与区域3不种植同一种花卉时,先种区域1,3,再种区域2,4,由分步乘法计数原理可知,该花坛种植方案共有5×4×3×3=180(种).故该花坛的花卉种植方案共有80+180=260(种).故选D.

20课时作业701.(5分)某天小丁要从福州出发去厦门,已知当天的飞机有5班,动车有12趟,高铁有10个车次,则小丁当天出行的方案共有

(

)A.12种 B.27种C.120种 D.600种解析:因为当天的飞机有5班,动车有12趟,高铁有10个车次,所以小丁当天出行的方案共有5+12+10=27(种).故选B.基础巩固B2.(5分)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少有一个奇数,则这样的集合有(

)A.2个 B.3个C.4个 D.5个解析:当集合A中含一个元素时,A={1}或A={3};当集合A中含两个元素时,A={1,2}或A={1,3}或A={2,3}.所以这样的集合共有2+3=5(个).故选D.D3.(5分)有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有

(

)A.21种 B.315种C.143种 D.153种解析:选出不属于同一学科的书2本,可分三类,第一类:语文书、数学书各1本,共有9×7=63(种);第二类:语文书、英语书各1本,共有9×5=45(种);第三类:数学书、英语书各1本,共有7×5=35(种).因此共有63+45+35=143(种)不同的选法.故选C.C4.(5分)某班级的3名学生计划前往田墘红楼、红宫红场、金厢银滩、激石溪革命先烈纪念园四个景点游玩,每名学生只能选择一个景点(景点人数不限),则这3名学生的旅游安排方式共有(

)A.6种 B.24种C.64种 D.81种解析:班级的3名学生计划前往田墘红楼、红宫红场、金厢银滩、激石溪革命先烈纪念园四个景点游玩,每名学生只能选择一个景点,则这3名学生的旅游安排方式共有43=64(种).故选C.C5.(5分)将标有序号1,2,3的三个小球放入标有序号1,2,3,4的四个盒子里,每个盒子最多放一个小球,且要求小球和盒子的序号均不对应相同,则所有放法的种数为(

)A.7 B.9C.11 D.13解析:若盒子序号为1,2,3,则球的序号依次为2,3,1或3,1,2,共有2种放法;若盒子序号为1,2,4或1,3,4或2,3,4,根据对称性可知不同的放法种数相同,例如盒子序号为1,2,4,则球的序号依次为2,3,1或2,1,3或3,1,2,共有3种放法.所以所有放法的种数为2+3×3=11.故选C.C6.(5分)(一题多解)(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T17改编)用5种不同的颜色给如图所示的示意图上色,要求相邻两块涂不同的颜色,则不同的涂色方法种数为(

)A.180 B.240C.280 D.300A解析:方法一

如图,先涂1,有5种不同的涂色方法;再涂2,有4种不同的涂色方法;然后涂3,有3种不同的涂色方法;最后涂4,有3种不同的涂色方法.则不同的涂色方法有5×4×3×3=180(种).故选A.方法二

如图(图同方法一),按1,4同色与不同色进行分类讨论:当1,4同色时,应用分步乘法计数原理,有5×4×3=60(种)不同的涂色方法;当1,4不同色时,应用分步乘法计数原理,有5×4×3×2=120(种)不同的涂色方法.则由分类加法计数原理知,共有60+120=180(种)不同的涂色方法.故选A.7.(5分)学校教师运动会设置有“跳绳”“立定跳远”“定点投篮”“沙包掷准”四个比赛项目,每个项目各需要一位裁判,现有甲、乙、丙、丁四位体育老师,每人做且仅做一项裁判工作,因为时间问题,甲不能安排“跳绳”裁判,乙不能安排“定点投篮”裁判,则不同的安排方法共有

(

)A.12种 B.14种C.7种 D.9种解析:当甲安排“定点投篮”时,另外3人任意安排工作有6种方法.当甲不安排“定点投篮”时,先安排甲有2种方法,再安排乙有2种方法,另外剩余2人有2种方法,此时有2×2×2=8(种)安排方法.共有6+8=14(种)安排方法.故选B.B

D9.(8分,多选)已知数字0,1,2,3,4,用它们组成四位数,下列说法正确的是

(

)A.可以组成无重复数字的四位数96个B.可以组成有重复数字的四位数404个C.可以组成无重复数字的四位偶数66个D.可以组成百位是奇数的四位偶数28个AB解析:对于A,可以组成无重复数字的四位数4×4×3×2=96(个),故A正确;对于B,可以组成有重复数字的四位数4×5×5×5-96=404(个),故B正确;对于C,若个位数为0,则有4×3×2=24(个),若个位数不为0,则有2×3×3×2=36(个),所以可以组成无重复数字的四位偶数24+36=60(个),故C错误;对于D,可以组成百位是奇数的四位偶数4×2×5×3=120(个),故D错误.故选AB.10.(8分,多选)某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策,不超过9站的地铁票价如下表,现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过9站,且他们各自在每个站下地铁的可能性相同,则下列结论正确的是

(

)BCD站数x0<x≤33<x≤66<x≤9票价/元234A.若小明、小华两人共花费5元,则小明、小华下地铁的方案共有9种B.若小明、小华两人共花费5元,则小明、小华下地铁的方案共有18种C.若小明、小华两人共花费6元,则小明、小华下地铁的方案共有27种D.若小明、小华两人共花费6元,则小明比小华先下地铁的方案共有12种(同一地铁站出站不分先后)解析:对于A,B,两人共花费5元分为两类:小明花费2元,小华花费3元,此时两人下地铁的方案有3×3=9(种),同理小明花费3元,小华花费2元时,两人下地铁的方案也是9种,所以共有18种,故A错误,B正确.对于C,两人共花费6元分为三类:小明花费2元,小华花费4元,此时两人下地铁的方案有3×3=9(种);小明花费3元,小华花费3元,此时两人下地铁的方案有3×3=9(种);小明花费4元,小华花费2元,此时两人下地铁的方案有3×3=9(种),共有27种,故C正确.对于D,小明比小华先下地铁有两类:小明花费2元,小华花费4元,此时两人下地铁的方案有9种;小明和小华均花费3元,小明比小华先下地铁仅有3种方案,所以共有12种方案,故D正确.故选BCD.11.(8分,多选)如图,线路从甲到乙之间有五个连接点,若连接点断开,可能导致线路不通,现发现甲、乙之间线路不通,则下列判断正确的是

(

)A.至多三个断点的有19种B.至多三个断点的有22种C.共有25种D.共有28种AC解析:若有1个断点,则1,5中断开1个,有2种情况.若有2个断点,则1,5都断开有1种;1,5断开1个,2,3,4断开1个有2×3=6(种),共有1+6=7(种)情况.若有3个断点,则2,3,4断开有1种;1,5都断开,2,3,4断开1个有3种;1,5断开1个,2,3,4断开2个有2×3=6(种),共有1+3+6=10(种).若有4个断点,则1,5都断开,2,3,4断开2个有3种;1,5断开1个,2,3,4都断开有2种,共有3+2=5(种).若有5个断点,有1种情况.综上,至多三个断点的有2+7+10=19(种),所有情况共有2+7+10+5+1=25(种).故选AC.12.(5分)已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定____个平面.解析:异面直线a与异面直线b上的8个点中的任意一个点都可以确定一个平面;异面直线b与异面直线a上的5个点中的任意一个点都可以确定一个平面.∴共可以确定8+5=13(个)不同的平面.1313.(5分)一个圆的圆周上均匀分布6个点,在这些点与圆心共7个点中,任取3个点,这3个点能构成不同的等边三角形的个数为__.解析:如图1,由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形,共有6个;如图