2027届高考数学一轮总复习10.4随机事件与概率、古典概型（课件）

第十章计数原理、概率10.4随机事件与概率、古典概型高三一轮数学内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件的关系和运算.3.理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率.202320242025

新课标Ⅰ卷T14

新课标Ⅱ卷T12

必备知识回顾1.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点:随机试验E的每个可能的________称为样本点,常用ω表示.全体样本点的集合称为试验E的样本空间,常用Ω表示.②有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,那么称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.(2)随机事件①定义:将样本空间Ω的____称为随机事件,简称事件.②表示:大写字母A,B,C,….③随机事件的极端情形:必然事件、不可能事件.1知识梳理基本结果子集2.事件的关系和运算项目含义符号表示包含若事件A发生,则事件B一定发生B⊇A(或A⊆B)相等事件B包含事件A,事件A也包含事件BA=B并事件

(和事件)事件A与事件B至少有一个发生A∪B(或A+B)交事件

(积事件)事件A与事件B同时发生A∩B(或AB)项目含义符号表示互斥(互不相容)事件A与事件B不能同时发生A∩B=⌀互为对立事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生A∪B=Ω,且A∩B=⌀3.频率与概率(1)频率的稳定性一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐______事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用:可以用频率fn(A)估计概率P(A).稳定于

有限个相等5.概率的基本性质性质1:对任意的事件A,都有____________.性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即_______________.性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=______________.性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=__________,P(A)=_________.性质5:如果A⊆B,那么______________.特别地,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1.性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=________________________.显然,性质3是性质6的特殊情况.P(A)≥0P(Ω)=1,P(⌀)=0P(A)+P(B)1-P(A)1-P(B)P(A)≤P(B)P(A)+P(B)-P(A∩B)1.当随机事件A,B互斥时,不一定对立;当随机事件A,B对立时,一定互斥.也即两事件互斥是这两事件对立的必要不充分条件.2.随机事件A发生的频率是随机的,而概率是客观存在的确定的常数,但在大量随机试验中,事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率.3.若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).知识拓展1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(

)(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.(

)(3)从-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(

)(4)若A∪B是必然事件,则A与B是对立事件.(

)基础检测×√√×2.(人教A版必修第二册P235练习T1改编)一个人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“至多有一次中靶”互斥的事件是

(

)A.至少有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶解析:射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”,与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.故选B.B3.(人教A版必修第二册P245练习T1(2)改编)已知A与B为互斥事件,且P(A∪B)=0.5,P(A)=0.2,则P(B)=______.解析:因为A与B为互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5,因此,P(B)=0.5-P(A)=0.5-0.2=0.3.0.3

关键能力提升考点1

事件的关系与运算【例1】

(1)(多选)袋子中有4个大小、质地完全相同的球,其中2个红球、2个黄球,从中不放回依次摸出2个球,记A=“恰有一次摸到红球”,B=“两次都摸到红球”,C=“两次都摸到黄球”,D=“至少有一次摸到红球”,E=“至多一次摸到红球”,则下列说法正确的是(

)A.事件A与事件B是互斥事件B.事件B与事件C是对立事件C.事件C与事件D是对立事件D.事件D与事件E是互斥事件AC【解析】

对于A,由于事件A与事件B不可能同时发生,故二者是互斥事件,故A正确;对于B,B∩C=⌀,但B∪C≠Ω,故二者为互斥事件,不是对立事件,故B错误;对于C,至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球,其对立事件为没有一次摸到红球,即两次都摸到黄球,故事件C与事件D是对立事件,故C正确;对于D,DE=“有一次摸到红球,另一次摸到黄球”,故二者不互斥,故D错误.故选AC.

ACD1.判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件,反之不成立.互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生;对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.2.判断事件的交、并关系时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系运用Venn图分析事件.规律总结【对点训练1】

(1)(苏教版必修第二册P292练习T1改编)某人射击一次,设事件A=“击中环数小于8”,事件B=“击中环数大于8”,事件C=“击中环数不小于8”,事件D=“击中环数不大于9”,则下列说法正确的是

(

)A.A和B是对立事件 B.B和C是互斥事件C.A和C是对立事件 D.B和D是互斥事件C解析:对于A,事件A=“击中环数小于8”与事件B=“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件,故A错误;对于B,事件B=“击中环数大于8”与事件C=“击中环数不小于8”能同时发生,所以不是互斥事件,故B错误;对于C,事件A=“击中环数小于8”与事件C=“击中环数不小于8”是对立事件,故C正确;对于D,事件B=“击中环数大于8”与事件D=“击中环数不大于9”能同时发生,不是互斥事件,故D错误.故选C.(2)(多选)(人教A版必修第二册P235练习T2改编)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,记事件A为“两次都击中飞机”,事件B为“两次都没击中飞机”,事件C为“恰有一次击中飞机”,事件D为“至少有一次击中飞机”,则(

)A.A⊆D B.B∩D=⌀C.A+C=D D.A+C=B+DABC解析:对于A,至少有一次击中飞机包括一次击中飞机,一次未击中飞机和两次都击中飞机,则事件A包含于事件D,故A正确;对于B,由于事件B,D不能同时发生,因此B∩D=⌀,故B正确;对于C,由题易知C正确;对于D,由于A+C=D不是必然事件,而B+D是必然事件,故D错误.故选ABC.考点2

用频率估计概率【例2】

某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574

1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数,这个常数就是概率.规律总结【对点训练2】

某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在上一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解:由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192

5a(元).因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192

5a元.保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05

B

C

规律总结命题角度2

较复杂古典概型的概率【例4】

算盘是我国古代一项伟大的发明,是一类重要的计算工具.如图,算盘多为木制,内嵌有九至十五根直杆(简称档),自右向左分别表示个位、十位、百位……梁上面一粒珠子(简称上珠)代表5,梁下面一粒珠子(简称下珠)代表1,五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如,个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上,表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上,设事件A=“表示的三位数能被5整除”,B=“表示的三位数能被3整除”.

互斥事件概率的两种求法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件,利用互斥事件概率的加法公式求解概率.(2)若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑先求其对立事件的概率,即运用“正难则反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.规律总结

A

高考真题教材典题(人教A版必修第二册P247习题10.1T14)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次,求下列事件的概率:(1)没有出现6点;(2)至少出现一次6点;(3)三个点数之和为9.考教衔接

高考真题教材典题(人教A版必修第二册P247习题10.1T14)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次,求下列事件的概率:(1)没有出现6点;(2)至少出现一次6点;(3)三个点数之和为9.

课时作业731.(5分)根据统计,某篮球运动员在1000次投篮中,命中的次数为860,则该运动员(

)A.投篮10次至少有8次命中B.投篮命中的频率为0.86C.投篮命中的概率为0.86D.投篮100次有86次命中基础巩固B

A3.(5分)某小组有4名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加歌咏比赛,下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是

(

)A.至少有1名男生和至少有1名女生B.至少有1名男生和全是男生C.至少有1名男生和全是女生D.恰有1名男生和恰有2名男生D解析:对于A,

当选到一男一女时,至少有1名男生和至少有1名女生同时发生,既不互斥也不对立,故A错误;对于B,

两名都是男生时,至少有1名男生和全是男生同时发生,既不互斥也不对立,故B错误;对于C,

至少有1名男生和全是女生,是对立事件,故C错误;对于D,

恰有1名男生和恰有2名男生,互斥而不对立,故D正确.故选D.

D

A

C

7.(6分,多选)某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球,事件A表示取出的2个球都是白球,事件B表示取出的2个球都是红球,事件C表示取出的2个球中至少有1个白球,事件D表示取出的2个球中至少有1个红球,则下列事件是对立事件的是(

)A.A与B B.A与DC.B与C D.C与D解析:由题意可知,A与B是互斥事件,但不是对立事件,A与D是对立事件,B与C是对立事件,C与D不是互斥事件,即C与D不是对立事件.故选BC.BC8.(6分,多选)某人打靶时连续射击两次,记事件A为“第一次中靶”,事件B为“至少一次中靶”,事件C为“至多一次中靶”,事件D为“两次都没中靶”.下列说法正确的是(

)A.A∩B=AB.B与C是互斥事件C.C∪D=ΩD.B与D是互斥事件,且是对立事件AD解析:由题意可知,事件Ω为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”“两次都没有中靶”;事件A为“第一次中靶”,事件B为“至少一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”;事件C为“至多一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“

两次都没有中靶”;事件D为“两次都没有中靶”.故A∩B=A,B与C不是互斥事件,B与D是互斥事件,且是对立事件,C∪D≠Ω.故选AD.

11.(20分)如图,A地到火车站共有两条路径L1