高中全程复习配套课件圆周角定理与圆的切线苏教数学理

高中全程复习配套课件圆周角定理与圆的切线苏教数学理…………三年2考高考指数:★★★★内容要求ABC圆的切线的判定与性质定理

√圆周角定理，弦切角定理

√1.圆周角定理及推论(1)定理：圆周角的度数等于其所对

.(2)推论1：同弧(或等弧)上的圆周角

.同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧

.(3)推论2：半圆(或直径)上的圆周角等于

.反之，90°的圆周角所对的弦为

.弧度数的一半相等相等90°直径【即时应用】在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，点P在△ABC的外部，并且PC＝BC，则∠APB的度数为

.【解析】∵AC＝BC，PC＝BC,∴A、B、P三点在以C为圆心，AC为半径的圆上,若P、C在AB的同侧，则∠APB＝∠ACB,∵∠ACB＝100°，∴∠APB＝50°,若P、C在AB的异侧，则∠APB＝180°－50°＝130°.答案：130°或50°2.圆的切线(1)切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的

.(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过

.(3)推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过

;②经过切点且垂直于切线的直线必经过

.(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长

.切线切点的半径切点圆心相等【即时应用】

(1)如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连结AC，若∠CPA=30°，则PC=

cm.(2)如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，延长PO交⊙O于点B，PA＝AB，PD平分∠APB交AB于点D，则∠ADP＝

.【解析】(1)连结OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP=90°.∵∠CPA=30°，∴tan30°=即(2)连结OA，∵PA切⊙O于点A,∴∠OAP=90°,∵OA=OB,AB=AP,∴∠APB=∠ABP=∠OAB,而∠EAB=∠ABP+∠APB=2∠OAB,∴由3∠OAB=90°得∠OAB=30°.∵PD平分∠APB,∴∠DPB=15°,∴∠ADP=∠ABP+∠DPB=45°.答案：(1)(2)45°

3.弦切角定理及推论(1)定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的

.(2)推论：同弧(或等弧)上的弦切角

，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角

.一半相等相等【即时应用】(1)如图，AB是⊙O的直径，DB、DC分别切⊙O于B、C，若∠ACE＝25°，则∠D=

.(2)如图，⊙O1与⊙O2为两个等圆，O1在⊙O2上，O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，过B的直线交⊙O1于C，交⊙O2于D，过C作⊙O1的切线CE与过D作⊙O2的切线DE交于E，则∠E＝

.【解析】(1)连结BC，∵DC、DB分别切⊙O于C、B,∴∠ABC=∠ACE＝25°且∠ABD=90°，∴∠CBD＝65°.∵DB、DC分别切⊙O于B、C，∴DC=DB,∠DCB=∠CBD＝65°,∴∠D=50°.(2)连结O1B、O1C、O2B、O2D、O1O2，则∠O1BO2＝60°,∴∠O1BC+∠O2BD=120°,∴∠BO1C+∠BO2D=360°-2×120°=120°,∵EC和ED分别为⊙O1和⊙O2的切线，∴∠BCE=∠BO1C，∠BDE=∠BO2D，∴∠BCE+∠BDE=60°，∴∠E=120°.答案：(1)50°(2)120°

圆周角定理的应用【方法点睛】1.圆周角定理的应用利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题,在解决此类问题时,主要分析圆周角、圆心角、弧之间的关系,经常与三角形联系在一起进行考查.2.直径的应用在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，因此在圆中，通常遇直径则利用直径所对的圆周角是直角，转化为直角三角形解决问题.【例1】如图，已知，半圆的直径AB＝6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，当弦CD在半圆上滑动时，BC与AD相交于E，AC和BD延长线相交于P.试证：∠P＝∠DEB且∠P的度数是定值.【解题指南】欲证∠P与∠DEB的相等关系可通过相似三角形来证之，而证∠P为定值，只需证∠P等于某特殊值或计算其三角函数值为定值，这也可通过相似三角形来证.【规范解答】方法一：∵AB为直径，∴∠PCB＝∠ADB＝90°，又∠PBC＝∠EBD，∴△PCB∽△EDB，∴∠P＝∠DEB.∵∠ECD＝∠EAB，∠EDC＝∠EBA,∴△CED∽△AEB,∴从而说明∠P的度数是定值.方法二：根据条件可证∠PCE+∠PDE＝180°，从而P、C、E、D四点共圆，也可得∠P＝∠DEB；利用圆内接四边形的性质可直接证明△PCD∽△PBA,从而得

说明∠P的度数是定值.【反思·感悟】在圆中，“弧、弦、圆心角、圆周角”四者之间存在着密切的联系，它们是“知一定三”，如本题中，因弦CD之长已定，故它所对的度数随之而确定，从而∠CAD的度数也已定，故∠P的度数是定值.另外，“直径对直角”是圆中常用的结论，故遇直径而构造圆周角是一种常用的辅助线.

【变式训练】已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD.(1)求证：∠DAC=∠DBA;(2)求证：P是线段AF的中点;(3)若⊙O的半径为5，求tan∠ABF的值.【解析】(1)∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA.∵∠DAC与∠CBD都是DC所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD,∴∠DAC=∠DBA.(2)∵AB是直径，∴∠ADB=90°.又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°,∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°,∴∠ADE=∠ABD=∠DAP,∴PD=PA.又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠DAC=∠ADE，∴∠PDF=∠DFA，即∠PDF=∠DFP,∴PD=PF,∴PA=PF,即P是线段AF的中点.(3)∵∠DAF=∠DBA，∠FDA=∠ADB，∴△FDA∽△ADB,∴∴在△ADB中，即【变式备选】如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦垂直并相交于点G，与AC相交于M，连结DC,求证：BA·DC=GC·AD.【证明】因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°，又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°，又因为∠BAG=∠ADC，所以Rt△AGB和Rt△DCA相似，所以又因为OG⊥AC，所以GC=AG，所以即BA·DC=GC·AD.

切线的性质与判定的应用【方法点睛】对圆的切线的判定定理及性质定理的理解(1)圆的切线的判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径.(2)圆的切线的性质定理是反证法思想的典型例子,它可归纳为:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．①垂直于切线；②过切点；③过圆心．【例2】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝r.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求AD·OC的值；(3)若AD＋OC＝求CD的长.【解题指南】(1)要证CD是⊙O的切线，由于D在⊙O上，所以只需连结OD，证OD⊥DC即可；(2)求AD·OC的值，一般是利用相似把AD·OC转化为其他线段长的乘积，若其他两条线段长的乘积能求出来，则可完成；(3)由AD·OC，AD＋OC＝可求出OC，根据勾股定理即可求出CD.【规范解答】(1)连结OD，∵OC∥AD，∴∠1=∠2,∠A=∠3.又∵OA=OD,∴∠1=∠A,∴∠2=∠3.∵OD=OB,OC=OC,∴△OCD≌△OCB.∵BC为⊙O的切线,∴∠ODC=∠OBC=90°,∴CD是⊙O的切线.(2)连结BD,∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠OBC＝90°，∴∠ADB＝∠OBC.又∠A＝∠3，∴△ADB∽△OBC,∴∴AD·OC=OB·AB=2r2.(3)由(2)知AD·OC=2r2，又知∴AD、OC是关于x的方程的两根，解此方程得∵OC＞r，∴OC＝4r,∴【反思·感悟】证某直线是圆的切线的方法：(1)根据直线与圆有唯一公共点来判断,实为数形结合思想;(2)已知该直线经过圆周上一点时，只要将此点与圆心连结，证此半径垂直于直线，此法实为判定定理；(3)未知直线是否经过圆周上一点时，则过圆心向直线作垂线，证圆心到直线的距离等于半径，此法的理论依据是直线与圆的位置关系的几何定义.【变式训练】(2011·吉林模拟)如图,△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN,AC与BD相交于点E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB=6，BC=4，求AE.【解析】(1)在△ABE和△ACD中，AB=AC，∠ABE=∠ACD，∵BD∥MN，∴∠EDC=∠DCN，∵直线MN是⊙O的切线，∴∠DCN=∠CAD，又∠BAE=∠EDC，∴∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD.(2)∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，∴BC=CD=4，又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，∴BC=BE=4，设AE=x.易证△DCE∽△ABE,∴又AE·EC=BE·ED，EC=6-x,∴故

弦切角定理的应用【方法点睛】弦切角定理的理解根据弦切角定理,能得到一个重要推论:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.这一结论在实际应用中比原定理本身更为常用.【例3】(2011·广东高考改编)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，求AB的长.【解题指南】本题条件已具有∠BAC=∠APB,这与相似三角形的判定只有一步之遥,而直线PA是圆的切线,故联想到弦切角定理,证得相似三角形后,由比例线段计算AB的长.【规范解答】∵直线PA是圆的切线,∴∠PAB=∠ACB.∵∠BAC=∠APB,∴△PAB∽△ACB.∴∴∴【反思·感悟】在圆中,因“圆周角、圆心角、弦切角”之间存在着密切的关系,所以通常利用这种关系,证两三角形相似,计算角的度数或由比例线段来计算边长.【变式训练】如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点.过A作AD⊥BP，交BP于D点，连结AB，BC.(1)求证：△ABC∽△A