培优微专题1 集合新定义题 拔高专点专练 课后分层练习（学生版及解析）- 2027届高考数学第一轮复习加练作业

第第页2027届第一轮复习·课后拔高加练培优微专题1集合新定义题课后分层专点专练❀重方法❀对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.4、解新定义题型的三个步骤：第一步：理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.第二步：重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法；归纳“举例”提供的分类情况.第三步：类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.5、树信心，大胆做：：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.❀夯基础❀1．（2025·内蒙古包头·二模）已知集合M=2,3,4,N={x∣x<3}，若T={x∣x∈M，且x∉N}，则T=（A．4 B．3,4 C．2 D．2,42．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：A⊗B=zz=xy,x∈A,y∈B，设集合A=0,1，B=2,3，则集合A．0 B．2 C．3 D．53．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集A，B，定义A+B=xx=a+b,a∈A,b∈B，A÷B=xx=aA．5 B．152 C．212 4．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合.若集合A=[0,2]，集合B={x|x>1}，则集合A⊗B=（

）A．{x|0<x<2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x>2}5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）（多选）对于集合A、B，定义运算：A/B=xx∈A且x∉B，A⊕B=AB∪BAA．B/A=5,6 B．C．A⊕B=A∪B D．A⊕B≠A∩B6．（2025·上海闵行·一模）已知P=0,1,Q=1,2，若P−Q={x|x∈P，且x∉Q}，则P−Q=A．{2} B．{1} C．{0} D．{0,1,2}7．（2024·河南·模拟预测）定义sgnx=0,x=0xx,x≠0，若集合A．6 B．7 C．8 D．98．（2026·河南开封·二模）定义集合A−B=x|x∈A且x∉B，已知集合A=1,a，B=2,b，若A−B=A．a=2 B．b≠1 C．A∩B=2 D．9．（2026·湖南怀化·二模）给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T=a−ba,b∈S,a≠b，如果minT=1，则称集合S为一个n元规范数集．（注：minX表示数集XA．M是规范数集，N不是规范数集 B．M是规范数集，N是规范数集C．M不是规范数集，N是规范数集 D．M不是规范数集，N不是规范数集10．（2024·河南·三模）（多选）对于R的两个非空子集A,B，定义运算A×B=x,yx∈A,y∈B，则（A．A×B=B×AB．A×C．若A⊆C，则A×BD．A×A表示一个正方形区域❀提能力❀1．（2025高三上·安徽·调研）若数集A=a1,a2,⋯,an1≤a1<a2<⋯<an,n≥2具有性质A．{1,3,4}为“权集” B．{1,2,3,6}为“权集”C．“权集”中元素个数一定是有限个 D．“权集”中一定有12．（2025高三下·北京·月考）设CM表示非空集合M中元素的个数，已知非空集合A,B.定义A⊗B=C(A)−C(B),C(A)≥C(B)C(B)−C(A),C(A)<C(B)，若A=1,2，B=xx2A．0 B．0，−22 C．0，22 D．−23．（2025·北京·模拟预测）集合A={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为B1,B2,⋯,Bnn∈NA．10 B．40 C．45 D．504．（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定n∈N+，若集合P⊆{1,2,3,⋯,n}，且存在a,b,c,d∈P，满足a<b≤c<d,b−a=d−c，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为|P|，则（A．{1,2,3}是“广义等差集合”B．{1,3,4,6}是“广义等差集合”C．若P不是“广义等差集合”，当n=8时，|P|的最大值为4D．若P不是“广义等差集合”，若|P|的最大值为4，则n可以是135．（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）对任意A,B⊆R，记A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B，并称A⊕B为集合A,B的对称差．例如：若A=1,2,3A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=BC．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A,B⊆R，使得A⊕B≠6．（24-25高三上·山东聊城·阶段检测）（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集E与F，且满足E∪F=Q，E∩F=∅，E中的每个元素都小于F中的每个元素，称E,F为戴德金分割．下列结论正确的是（

）A．E={x∈Q∣x<1},F={x∈Q∣x>1}是一个戴德金分割B．存在一个戴德金分割E,F，使得E有一个最大元素，F没有最小元素C．存在一个戴德金分割E,F，使得E有一个最大元素，F有一个最小元素D．存在一个戴德金分割E,F，使得E没有最大元素，F也没有最小元素7．（24-25高三上·上海·开学考试）已知全集U={(x,y)|x,y∈R}，若集合A⊆U，且对任意x1,y1∈A（1）A={(x,y)|x,y∈Z}；

（2）（3）A={(x,y)|y=2x+1,x∈R}；

（4）其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号）8．（2024·江西宜春·模拟预测）（多选）已知A⊆R，如果实数x0满足对任意的a>0，都存在x∈A，使得0<|x−x0|<a，则称xA．{x|x≠0，x∈R} B．{x|x≠0C．{y|y=1x,x∈9．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义JA,B=1−A∩BA∪B其中S表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为S1，S2，S3，S①若JS2,②若JS1,③若S4={思想政治，物理，生物}，则④若JS1,其中所有正确结论的序号是__________.10．（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡尔积，又称直积，记为A×B．即A×B=x,yx∈A且y∈B．关于任意非空集合M，A．M×N=N×M B．M×NC．M×N∪TM×N∪M×T❀迎挑战❀1．（2026·山东德州·模拟预测）已知A，B，C为集合M=1,2,⋅⋅⋅,n①A∩B=A∩C=B∩C=∅，A∪B∪C=M；②x∈M|x=3k,k∈N∗⊆A，B③A，B，C中所有元素的和分别记为S1，S2，S3，且S1=2．（2026·北京顺义·二模）已知集合X=1,2,3,⋯,16，集合A是集合X的一个含k(k<16)个元素的子集.若集合A满足如下两个性质，则称集合A为集合X①集合A的任意两个不同子集的元素之和不相等；②对任意m∈X且m∉A，令B=A∪m，且集合B(1)若A1=1,3,5,A(2)若集合A为集合X的完美子集，证明：集合A的元素之和的最小值为16；(3)若集合A为集合X的完美子集，证明：k≤5.3．（2025·湖北·模拟预测）已知集合M=1,2,⋯,n，n∈N∗，A、B是M的非空子集.记集合A+B=x+y除以n的余数x∈A,y∈B.若正整数n满足：存在非空集合A、B，使得A+B两两的交集为空集，且(1)设A=1，B=2,4，当n=5时，求A+B，并直接判断(2)证明：n=8是“好的”，n=16是“好的”；(3)求所有“好的”正整数.4．（2025·北京海淀·二模）记M表示有穷集合M的元素个数．已知m,n是正整数，集合S=1,2,⋯,n．若集合序列Q:A1①Ak≥2，其中②Ak⫋S，其中k=1,2,⋯,m③对于S中的任意两个不同元素i,j，都存在唯一的k∈1,2,⋯,m，使得i,j(1)设m=n=5，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）QQ(2)已知n≥3且集合序列Q:A1,A2（i）当1∉A1时，（ii）m≥n．5．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（m≥3，n≥3），集合M=x,y1≤x≤m,1≤y≤n,x∈N,y∈N.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素a,b，若存在x,y∈M且x>a，y>b，使得集合a,b,(1)当m=n=3时，写出集合A=1,1(2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数；(3)若M的任意子集都有“同形点”，求mn的最小值.

2027届第一轮复习·课后拔高加练培优微专题1集合新定义题课后分层专点专练❀重方法❀对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.4、解新定义题型的三个步骤：第一步：理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.第二步：重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法；归纳“举例”提供的分类情况.第三步：类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.5、树信心，大胆做：：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.❀夯基础❀1．（2025·内蒙古包头·二模）已知集合M=2,3,4,N={x∣x<3}，若T={x∣x∈M，且x∉N}，则T=（A．4 B．3,4 C．2 D．2,4【答案】B【详解】因为M=2,3,4,N={x∣x<3}，所以T={x∣x∈M，且x∉N}故选：B2．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：A⊗B=zz=xy,x∈A,y∈B，设集合A=0,1，B=2,3，则集合A．0 B．2 C．3 D．5【答案】D【详解】由题意得：A⊗B=0,2,3，所以0+2+3=53．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集A，B，定义A+B=xx=a+b,a∈A,b∈B，A÷B=xx=aA．5 B．152 C．212 【答案】D【详解】根据新定义，集合A=1,2，则A+A=则A+A÷A=1,2,3,4,3故选：D4．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合.若集合A=[0,2]，集合B={x|x>1}，则集合A⊗B=（

）A．{x|0<x<2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x>2}【答案】D【详解】集合A=[0,2]，集合B={x|x>1}，则A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2}，由韦恩图得A⊗B=∁A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1故选：D5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）（多选）对于集合A、B，定义运算：A/B=xx∈A且x∉B，A⊕B=AB∪BAA．B/A=5,6 B．C．A⊕B=A∪B D．A⊕B≠A∩B【答案】ABD【详解】对于A选项，根据题中信息可得B/A=5,6对于B选项，根据题意可得A/B=1,2，故A⊕B=对于C选项，A∪B=1,2,3,4,5,6对于D选项，A∩B=3,4故选：ABD.6．（2025·上海闵行·一模）已知P=0,1,Q=1,2，若P−Q={x|x∈P，且x∉Q}，则P−Q=A．{2} B．{1} C．{0} D．{0,1,2}【答案】C【详解】P−Q=xx∈P且x∉Q，因为对于0∈P,0∉Q，所以0∈P−Q；对于1∈P,1∈Q，所以1∉P−Q；则P−Q=0故选：C.7．（2024·河南·模拟预测）定义sgnx=0,x=0xx,x≠0，若集合A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】由题知y的可能取值有−3，−2，−1，0，1，2，3，则集合A中有7个元素.故选：B.8．（2026·河南开封·二模）定义集合A−B=x|x∈A且x∉B，已知集合A=1,a，B=2,b，若A−B=A．a=2 B．b≠1 C．A∩B=2 D．【答案】B【详解】因为集合A−B=xx∈A且x∉B，集合A=所以1∈A且1∉B，a∈B，选项A：因为a∈B，所以a=2或者a=b（且满足集合元素的互异性）；选项B：因为1∉B且B=2,b选项C：当a=b=3时，集合A=1,3，集合B=2,3，选项D：当a=2，b=3时，集合A=1,2，集合B=2,3，9．（2026·湖南怀化·二模）给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T=a−ba,b∈S,a≠b，如果minT=1，则称集合S为一个n元规范数集．（注：minX表示数集XA．M是规范数集，N不是规范数集 B．M是规范数集，N是规范数集C．M不是规范数集，N是规范数集 D．M不是规范数集，N不是规范数集【答案】C【详解】集合M=−0.1,−1.1,2,2.5中，2∈M,2.5∈M，则|2−2.5|=0.5<1即M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集；集合N=−1.5,−0.5,0.5,1.5，|−1.5−(−0.5)|=1,|−0.5−0.5|=1,|0.5−1.5|=1|−1.5−0.5|=|−0.5−1.5|=2,|−1.5−1.5|=3，即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集.故选：C10．（2024·河南·三模）（多选）对于R的两个非空子集A,B，定义运算A×B=x,yx∈A,y∈B，则（A．A×B=B×AB．A×C．若A⊆C，则A×BD．A×A表示一个正方形区域【答案】BC【详解】由题意知，A×B=x,yx∈A,y∈B表示以数集A中的数为横坐标，数集B中的数为纵坐标的点的集合，故因为A×B∩C又A×B∩所以A×B∩C若A⊆C，则A×B⊆若A=1，集合A×A故选：BC．❀提能力❀1．（2025高三上·安徽·调研）若数集A=a1,a2,⋯,an1≤a1<a2<⋯<an,n≥2具有性质A．{1,3,4}为“权集” B．{1,2,3,6}为“权集”C．“权集”中元素个数一定是有限个 D．“权集”中一定有1【答案】B【详解】对A，因为3×4与43均不属于数集{1,3,4}对B，因为1×2，1×3，1×6，2×3，62，63都属于数集对C，举例A=x|x=对D：举例{2,3,6}，因为，2×3，62所以“权集”中不一定有1，故D错误.故选：B.2．（2025高三下·北京·月考）设CM表示非空集合M中元素的个数，已知非空集合A,B.定义A⊗B=C(A)−C(B),C(A)≥C(B)C(B)−C(A),C(A)<C(B)，若A=1,2，B=xx2A．0 B．0，−22 C．0，22 D．−2【答案】D【详解】解：由x2+axx2+ax+2又因为A=1,2，A⊗B=1所以集合B中的元素个数为1个或3个，当集合B中的元素个数为1时，则x2+ax=0有两相等的实数根，且所以a2=0a当集合B中的元素个数为3时，则x2+ax=0有两不相等的实数根，且x2所以a≠0Δ=a2−8=0综上所述，a=0或a=22或a=−2故选：D.3．（2025·北京·模拟预测）集合A={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为B1,B2,⋯,Bnn∈NA．10 B．40 C．45 D．50【答案】C【详解】由题知：B1=B3=1,2,5,bB6=2,4,5B8=1,4,5,b则b故选：C4．（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定n∈N+，若集合P⊆{1,2,3,⋯,n}，且存在a,b,c,d∈P，满足a<b≤c<d,b−a=d−c，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为|P|，则（A．{1,2,3}是“广义等差集合”B．{1,3,4,6}是“广义等差集合”C．若P不是“广义等差集合”，当n=8时，|P|的最大值为4D．若P不是“广义等差集合”，若|P|的最大值为4，则n可以是13【答案】ABC【详解】对于A,取a=1,对于B，取a=1,对于C，当n=8时，P⊆{1,2,3,⋯,8}，如|P|=5时，设P=a由题意可知a2−a1,a3−a2,a4对于D,当n=13时，取P=1,2,4,8,13，这与P故选：ABC5．（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）对任意A,B⊆R，记A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B，并称A⊕B为集合A,B的对称差．例如：若A=1,2,3A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=BC．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A,B⊆R，使得A⊕B≠【答案】AB【详解】解：对于A，因为A⊕B=B，所以B=x所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A=∅，即A正确；对于B，因为A⊕B=∅，所以∅=x即A∪B与A∩B是相同的，所以A=B，即B正确；对于C，因为A⊕B⊆A，所以x所以B⊆A，即C错误；对于D，由于∁=x|x∈而A⊕B=x故A⊕B=∁故选：AB．6．（24-25高三上·山东聊城·阶段检测）（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集E与F，且满足E∪F=Q，E∩F=∅，E中的每个元素都小于F中的每个元素，称E,F为戴德金分割．下列结论正确的是（

）A．E={x∈Q∣x<1},F={x∈Q∣x>1}是一个戴德金分割B．存在一个戴德金分割E,F，使得E有一个最大元素，F没有最小元素C．存在一个戴德金分割E,F，使得E有一个最大元素，F有一个最小元素D．存在一个戴德金分割E,F，使得E没有最大元素，F也没有最小元素【答案】BD【详解】对于A，因为E∪F=x∈Q对于B，设E=x∈Qx≤1，F=x∈Q对于C，若E有一个最大元素，F有一个最小元素，则不能同时满足E∪F=Q,E∩F=∅，所以C错误．对于D，设E=x∈Qx≤3，F=故选：BD7．（24-25高三上·上海·开学考试）已知全集U={(x,y)|x,y∈R}，若集合A⊆U，且对任意x1,y1∈A（1）A={(x,y)|x,y∈Z}；

（2）（3）A={(x,y)|y=2x+1,x∈R}；

（4）其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号）【答案】（1）（4）【详解】对于（1），显然A⊆U，且对任意x1,y1∈A且x1对于（2），若x1,y1∈A所以x1y2对于（3），若x1,y1∈A，x此时如果有x1y2+x对于（4），显然A⊆U，且对任意x1,y1∈A此时有y2=x22故答案为：（1）（4）.8．（2024·江西宜春·模拟预测）（多选）已知A⊆R，如果实数x0满足对任意的a>0，都存在x∈A，使得0<|x−x0|<a，则称xA．{x|x≠0，x∈R} B．{x|x≠0C．{y|y=1x,x∈【答案】AC【详解】对于A，对任意的a>0，存在x=a2，使得0<|x−0|=a对于B，假设集合{x|x≠0，x∈Z}以0为“开点“，则对任意的a>0，存在x∈{x|x≠0，x∈使得0<|x−0|<a，当a=12时，该式不成立，故对于C，假设集合{y|y=1x,x∈N+使得0<y−0<a，故对于D，集合{y|y=xx+1，x∈N+}={y|y=1−1x+1a=14时y∈{y|y=xx+1,x∈故选：AC．9．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义JA,B=1−A∩BA∪B其中S表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为S1，S2，S3，S①若JS2,②若JS1,③若S4={思想政治，物理，生物}，则④若JS1,其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①③【详解】对于①：JS2,S4又S2={地理，物理，化学}，所以对于②：JS1,所以2S1∩S4当S1∪S4=6所以S1∪S4=4，且S对于③：若S4={思想政治，物理，生物}，则所以JS对于④：当S4JS满足JS1,故选：①③10．（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡尔积，又称直积，记为A×B．即A×B=x,yx∈A且y∈B．关于任意非空集合M，A．M×N=N×M B．M×NC．M×N∪TM×N∪M×T【答案】D【详解】对于A，若M=1,N=1,2对于B，若M=1,N=2而M×N×T对于C，若M=1,N=2M×N=1,2，M×T=1,3，对于D，任取元素x,y∈M×N∩T，则x∈M且y∈N∩T，则y∈N且于是x,y∈M×N且x,y∈M×T，即反之若任取元素x,y∈M×N∩M×T，则因此x∈M，y∈N且y∈T，即x∈M且所以x,y∈M×N∩T，即故选：D❀迎挑战❀1．（2026·山东德州·模拟预测）已知A，B，C为集合M=1,2,⋅⋅⋅,n①A∩B=A∩C=B∩C=∅，A∪B∪C=M；②x∈M|x=3k,k∈N∗⊆A，B③A，B，C中所有元素的和分别记为S1，S2，S3，且S1=【答案】8【详解】当n=1，2时，无法满足A中的元素是3的倍数，故舍；当n=3时，集合M元素的总和为6，每部分和应为2，但A中必须包含3，其和3>2，故舍；当n=4时，集合M元素的总和为10，不能被3整除，故舍；当n=5时，集合M元素的总和为15，每部分和应为5，A中必须包含3，需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时A={2,3}，剩余元素{1,4,5}分配给B,C，无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍；当n=6时，集合M元素的总和为21，每部分和应为7，A中必须包含3和6，此时和为9>7，故舍；当n=7时，集合M元素的总和为28，不能被3整除，故舍；当n=8时，集合M元素的总和为36，每部分和应为12，A中必须包含3和6，需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时A={1,2,3,6}，剩余元素{4,5,7,8}分配给B,C，B取奇数5,7，和为12，C取偶数4,8，和为12，满足所有条件，故n的最小值为8.2．（2026·北京顺义·二模）已知集合X=1,2,3,⋯,16，集合A是集合X的一个含k(k<16)个元素的子集.若集合A满足如下两个性质，则称集合A为集合X①集合A的任意两个不同子集的元素之和不相等；②对任意m∈X且m∉A，令B=A∪m，且集合B(1)若A1=1,3,5,A(2)若集合A为集合X的完美子集，证明：集合A的元素之和的最小值为16；(3)若集合A为集合X的完美子集，证明：k≤5.【答案】(1)A1不是X的完美子集，A2是(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）A1=1,3,5中任意子集之和可以是0,1,3,5，1+3=4，1+5=6，3+5=8B1=A1∪m是A1再添一个不在AB的不同子集元素和分别为：0，1,3,5,10,1+3=4,1+5=61+3+5=9,1+3+10=14,3+5+10=18,1+5+10=16,1+3+5+10=19，没有和相等的子集，所以不满足性质②，A1不是XA2=1,2,4,9的任意子集之和可以是0,1,2,4,9，1+2+4=7,1+4+9=14,2+4+9=15,1+2+9=12,1+2+4+9=16均互不相等，满足性质①，对于性质②，对任意m，B2=A2当m≠8,存在B2的子集A3的元素和等于m，只要取B2的两个子集为A即可满足条件，而当m=8，B2={1,2,4,8,9}，取子集{1,8}和所以A2是X（2）反证法：设A的元素和为S,若S<16,考察包含A的k+1元子集B=A∪16由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大，从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而S≥16.又A=1,2,4,9满足条件，此时S=16，从而S（3）X=1,2,3,⋅⋅⋅,16假设若k≥7，则A的非空子集有2k而其中每个子集元素和不超过16k，但2k假设若k=6，考虑A的一、二、三、四元子集，共有6+15+20+15=56个不同的子集，其元素和都在区间[1,57]内(因为任意一个这样的和小于16+15+14+13=58，且由13+16=14+15知：13，14，15，16不同时属于A)若1∈A，则由1+15=16知，15，16不同时属于A，由1+13=14知，13，14不同时属于A，由1+11=12知，11，12不同时属于A，所以此时最大的和不大于16+14+12+10=52.而56>52，则必有两个子集的和相等，矛盾．若2∈A.则由2+14=16知．14，16不同时属于A，由2+13=15知，13，15不同时属于A，由2+10=12知，10，12不同时属于A，所以此时最大的和不大于16+15+12+9=52.而56>52，则必有两个子集的和相等，矛盾，若1和2都不属于A，则最小的和不小于3.于是，其和都属于区间[3,57]，最多有55个不同的和．而56>55，则必有两个子集的和相等，矛盾．综上所述，k≤5．3．（2025·湖北·模拟预测）已知集合M=1,2,⋯,n，n∈N∗，A、B是M的非空子集.记集合A+B=x+y除以n的余数x∈A,y∈B.若正整数n满足：存在非空集合A、B，使得A+B两两的交集为空集，且(1)设A=1，B=2,4，当n=5时，求A+B，并直接判断(2)证明：n=8是“好的”，n=16是“好的”；(3)求所有“好的”正整数.【答案】(1)A+B=0,3，n=5(2)证明见解析(3)除1、2、4外的正整数【详解】（1）当n=5时，由题中定义可得A+B=0,3，且A∪B∪A+B=（2）n=8时，取A=1,2，B=3,6，则x+y的值为4、7、5、所以A+B=4,5,7,0，此时A∪B∪n=16时，取A=1,2,9,10，B=x+y的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0.所以A+B=4,5,7,8,12,13,15,0，则A∪B∪故n=8是“好的”，n=16是“好的”.（3）①首先证明：若正整数n是“好的”，则2n也是“好的”.（*）事实上，若正整数n是“好的”，设A=a1,a2,⋯,as，B=b2n时，考虑C=a1,则C+D=c②再证：n≥3为奇数是“好的”.（**）事实上，取A=1，B=2,4,6,⋯,n−1，则由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”.③再证：n=4不是“好的”.对集合A，记A为A中元素个数，由条件，A+若A=B=1若A≥2或B≥2，则A+B≥2于是n=4不是“好的”.同理易知n=1，2不是“好的”.所以，所求为除1，2，4外的正整数.4．（2025·北京海淀·二模）记M表示有穷集合M的元素个数．已知m,n是正整数，集合S=1,2,⋯,n．若集合序列Q:A1①Ak≥2，其中②Ak⫋S，其中k=1,2,⋯,m③对于S中的任意两个不同元素i,j，都存在唯一的k∈1,2,⋯,m，使得i,j(1)设m=n=5，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）QQ(2)已知n≥3且集合序列Q:A1,A2（i）当1∉A1时，（ii）m≥n．【答案】(1)Q1是平衡的，Q(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【详解】（1）Q1是平衡的，Q理由：S=1,2,⋯,5Q1:1,2,1,3,4,5显然Ak⫋S，且对于S中的任意两个不同元素i,j，1,2都存在唯一的k∈1,2,⋯,m，使得i,j故Q1Q22