解题大招03 巧用基本不等式破解最值的十六大题型（解析版）2027届高考数学一轮精准复习

4/4解题大招03巧用基本不等式破解最值的十六大题型知识点01一个重要不等式和基本不等式1.一个重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；2.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.简称为“一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可．3.基本不等式的变形：(1)a＋b≥2eq\r(ab)，常用于求和的最小值；(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；(3)（沟通两和与两平方和的不等关系式）(4)（沟通两积与两平方和的不等关系式）(5)（沟通两积与两和的不等关系式）.知识点02均值定理已知．（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．知识点03基本不等式链及基本不等式的推广1.基本不等式链：eq\r(,eq\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)（其中a,b均为正数）；即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．2.基本不等式的推广：对于个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即（当且仅当时，等号成立）．题型01对勾型对勾型：，此类代数式的最值往往直接利用基本不等式求得，但要注意能否取到等号.【典例1】（25-26高三下·云南楚雄·月考）下列说法正确的是（

）A．函数的最小值是2B．函数的最小值为4C．“”是“”的充分不必要条件D．不等式与有相同的成立条件【答案】A【详解】对于A，显然，所以由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，故函数的最小值是2，故A正确；对于B，由，得，则.当且仅当，即时，等号成立，显然等号不能成立，故B错误；对于C，当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，解得，所以“”是“”的充要条件,故C错误；对于D，当时，成立；当时，成立，故D错误.【跟踪训练】1.（24-25高一上·江西吉安·阶段练习）若，，则的最小值是（

）A． B． C．4 D．2【答案】A【详解】由基本不等式得，当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为.故选A.2．下列函数的最小值为2的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A.,当时，，所以最小值为不是2，A错误；对于B.，所以时，即，此时无解，所以原式取不到最小值2，B错误.对于C.，当且仅当，此方程无解，则的最小值取不到2，C错误；对于D,，因为，所以，当且仅当，即时，有最小值2，满足，D正确；故选：D.题型02添加常数构造对勾型对于形如,则转化为分母的线性关系:,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值.【典例2】（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（

）A． B． C．6 D．3【答案】C【详解】，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.【跟踪训练】1．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（

）A．2 B．4C．3 D．6【答案】C【详解】，，，当且仅当时，即时等号成立，因此函数最小值为.2．已知实数，则的（

）A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为【答案】D【详解】因为，当且仅当即时取等号；故最大值为，故选：D.题型03和定求积型如果两个正数a,b之和为定值S，即=S，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值是(简记：和定积最大).【典例3】（25-26高三上·贵州·月考）若，且，则的最大值为（

）A．6 B． C．7 D．【答案】D【详解】，解得，当且仅当，即时等号成立.故选：D.【跟踪训练】1.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，，，则的最大值为（

）A． B．4 C．6 D．8【答案】B【详解】因为所以，从而．当且仅当时等号成立.故选：B2.（25-26高三上·浙江绍兴·阶段练习已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（

）A．36 B．4 C．16 D．9【答案】D【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”.故选：D.题型04积定求和型如果两个正数a,b之积为定值p，即，那么当且仅当a＝b时，a+b有最小值2eq\r(p)(简记：积定和最小).【典例4】（2026河北沧州高三下联考）已知正实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意，，可得，则，设，则，原式为，当且仅当时等号成立，故选：C.【跟踪训练】1.（2025·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数满足，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【详解】由均值不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值是2.故选：B.2.（2025·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，，且，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】因为，所以，，当且仅当，即时等号成立．故选：C．题型05分式型求分式型函数的最值时，常利用分离常数法和倒数法求解，若分子次数低于分母次数，则常常作商；若分子次数高于分母次数，则往往分离常数，凑成“对勾”型，再利用基本不等式求得最值.对于一些较为复杂的分式，往往先换元，再考虑作商或分离常数.【典例5-1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数在上的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】因为，可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，此时函数在上的最小值是2.故选：C【典例5-2】（2025·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知，函数的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先换元，再运用基本不等式求解.【详解】令，则，所以，当且仅当等号成立.故选：B.【跟踪训练】1（25-26高二下·云南玉溪·期中）函数的最小值为________.【答案】3【详解】，，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立.2．（2026·湖南长沙·一模）已知数列是公比大于0的等比数列，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【详解】由题可设等比数列的公比为，则，当且仅当即时取等号，故的最小值为.题型06根式型对于根式型的最值问题，主要策略有三：(1)换元法；（2）进根号；（3）平方法.【典例6-1】函数(的最大值为.【答案】【详解】设（t>0），则.∴=≤.当且仅当,即时取“=”号.故当时，.【典例6-2】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，则的最大值为．【答案】【详解】记，则，求最大值【跟踪训练】1．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）函数的最大值为【答案】1【详解】∵,∴,∴当且仅当,即时取“＝”号此时1.2.（24-25高一上·北京四中月考）若,则的最大值为.【答案】6【详解】.当且仅当，即时，取等号.此时.题型07常数代换型1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.模型1：已知正数满足，求的最小值。模型2：已知正数满足求的最小值.2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；（2）把确定的定值(常数)变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；（4）利用基本不等式求解最值．【典例7-1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（

）A．8 B． C．10 D．【答案】D【详解】两边同时除以，得到，，当且仅当，即，时等号成立.【典例7-2】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，且，所以，当且仅当且时等号成立，由得（舍去），代入，解得，所以当时，的最小值为.【跟踪训练】1．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】A【详解】由题意得，则，当且仅当即时等号成立.2（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（

）A． B．3 C． D．【答案】B【详解】由可知，易知，且，所以，当且仅当时，即时，等号成立，因此的最小值为3.题型08凑配加常数代换型有些题型不能直接用常数代换法求解，但适当配凑后，便可利用常数代换法转化求解.【典例8】（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当即、时等号成立．所以的最小值为.【跟踪训练】1．（25-26高三上·陕西榆林·月考）若，，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，当且仅当时，即时，等号成立，故选：A．2.（2025·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【详解】由条件可知，，所以，当，即，结合条件，可知时，等号成立，所以的最小值为.故选：D题型09有和有积无常数型这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy,此时只需两边同时除以xy，便可转化为常数代换型求其最值.【典例9】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知，下列选项错误的是（

）A．且 B． C． D．【答案】D【详解】由可得，所以，即，同理可得，则，故A正确；因为，故，当且仅当时，等号成立，所以，即，故B正确；由A可知：，可得，不等式两边同时加上，可得，又，所以，故C正确；由可得，当且仅当时，即时等号成立，所以，故D错误，故选：D．【跟踪训练】1.（2025广东大湾区高三二联）若，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【详解】因为，即，即，且，则，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B2．（多选）（2025·河北·模拟预测）已知正实数、满足，则下列说法正确的是（

）A． B．的最小值为C．的最小值为 D．存在、满足【答案】AC【详解】由正实数、满足得，又因为，解得，故A选项正确；由已知条件及得，解得，当且仅当时，即当时，取等号，故B选项错误；由已知条件及得，解得，当且仅当时，即当时，取等号，故C选项正确；由得，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项错误．故选：AC．题型10有和有积有常数型这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy+d，此时往往利用基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值．【典例10】(多选)（25-26高三上·吉林四平·期末）已知，，，下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】选项A，因为，所以由，可得，解得，又，当且仅当时，等号成立，而，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确；选项B，由，利用基本不等式，由得，则，当且仅当时，等号成立，解得，即，当且仅当时，等号成立，故B正确；选项C，，又，所以，由，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，由配方得，则，即，可解得，又，所以，因为，故D不正确；故选：ABC.【跟踪训练】1．（2025·云南·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值是（）A．22 B．26 C．28 D．30【答案】C【详解】由题得，因为，所以，同理，将条件变形为，则，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为28.故选：C.2．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（

）A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9【答案】D【详解】因为a，b为正数，且所以，即，解得，所以；当且仅当时取等号，ab的最小值为9.故选：D.题型11多元分式型对于多元分式型，往往通过构造分母达到分离的目的，常见构造策略有：（1）换元构造；（2）常数代换;(3)配方构造.【典例11】（2025·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（

）A．11 B．9 C．8 D．6【答案】A【详解】，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立.故选：A【跟踪训练】1．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（

）A．5 B．4 C． D．【答案】D【详解】实数，且，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.2．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（

）A． B．16 C．12 D．【答案】B【详解】因为正实数，，满足，所以，因为，是正实数，所以，当且仅当时取等号，即当时，，又因为是正实数，所以，所以，当时取等号，又因为，当且仅当时取等号，即，当时取等号，所以，因此当，时，的最小值为.故选：B题型12代入消元型对于涉及给出条件的多元代数式，求其最值的一种常见策略是：利用已知条件将其中一个元用其他元表示，再代入相应代数式，通过消元构造出基本不等式的条件，再求其最值.【典例12】（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（

）A．12 B． C．36 D．【答案】D【分析】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值.【详解】由，得，则，因为，，所以当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，【跟踪训练】1．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，为正数，且，则，即，所以，当且仅当，即时等号成立，则的最大值为.故选：A2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【详解】由，则，，，故，所以，当且仅当，此时取等号.题型13双换元型双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况．具体操作如下：如分母为与，分子为，设∴，解得：另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简．【典例12】（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【详解】因为，所以，令，所以，因为，所以当且仅当，即或时等号成立，所以的最小值为.故选：C.【跟踪训练】1．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知正实数满足且，则的最小值为【答案】【详解】设，则，当且仅当且，即，时等号成立.2．（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（

）A．12 B．16 C．20 D．26【答案】BCD【详解】因为，所以，，所以.令得，由，，得，，则.因为，，当且仅当，时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立.又，，同时成立，所以，则,且，时，.故选：BCD.题型14待定系数法型出现结构形式，通常用待定系数法，再利用基本不等式求解最值问题.【典例14】为正整数，求的最小值为.【答案】4【详解】由题意知，引入参数k，使之满足,当且仅当，且，即时，等号成立，所以，故的最小值为4.【跟踪训练】1．已知x，y，z为正实数，则的最大值为A．1 B．2 C． D．【答案】C【详解】因为，所以的最大值为，选C.题型15因式分解型含有这类结构的式子，有时也可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合基本不等式求最值.【典例15】设，为正实数，若，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【详解】因为，为正实数，且，令，，则，则，当且仅当，即，时取等号【跟踪训练】1．已知，，且，则的最小值是________【答案】7【详解】方法一：因为，故，解得，故，当且仅当，即，时等号成立．方法二：因为，则，且，故，故，当且仅当，即，时等号成立．故选：C．2．（25-26高三下·云南昆明·月考）已知正实数满足，则的最大值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【详解】因为正实数满足，即，所以，即，当且仅当时等号成立，联立可得，所以当时，取最大值，，故选：A题型16不少于三个数的均值型（拓展）基本不等式的推广：对于个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即（当且仅当时，等号成立）．有时可利用此基本不等式求不少于三个数的积或和的最值.【典例16】（2025高三·全国·竞赛）已知正数满足，则的最小值为_____．【答案】16【详解】设，整理可得：，即，由均值不等式可得：，当且仅当时，等号成立.所以，即.令，则不等式变为，即，因为，所以，所以，即，．综上所述，的最小值为16，当时取到．【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·二轮复习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设球的半径为，正四棱锥的底面边长为，高为，因为球的体积为，所以球的半径，由勾股定理得，，两式相减得，则，所以正四棱锥的体积，所以，等号成立时，则该正四棱锥体积的最大值是.2．（2025高三·全国·竞赛）正实数满足，则的最大值为_____．【答案】【详解】，则，所以，于是，等号成立时.所以的最大值为.1．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（）A．－4 B．4 C．8 D．16【答案】B【详解】由于，故，当且仅当，即时取等号，故选：B2（25-26高三上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【详解】因为，，根据基本不等式可得，所以.当时，取最大值.故选：A.3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末），，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，，则，，即，当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，因为，所以，所以的取值范围是.故选：A.4．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】D【详解】由，，，得，所以，当且仅当，即时等号成立.故的最小值为9.5．（25-26高三上·重庆·月考）若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为正数满足，即，所以，当且仅当，即，时取等号，若不等式恒成立，则，解得，所以实数的范围是.故选：C．6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【详解】由，则，，，故，所以，当且仅当，此时取等号.7．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可知，不等式恒成立，即，，即，，，，，，，当且仅当，即时等号成立，当时，取得最小值为8，，即，解得.8．（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（

）A． B．2 C．6 D．4【答案】A【详解】由题意可知，即，则，由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号，则，所以，当且仅当，即时取等号，综上所述，当时，取得最小值.9．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即，所以，当且仅当，即时取等号.10．（25-26高三上·江苏·月考）对于任意的，，恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，解得，即的最大值为，故选：D.11．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知实数，满足，则的最大值为（

）A．2 B．C．3 D．4【答案】A【详解】由题意得，所以，所以，当且仅当时等号成立，即当或时取等号，当时，所以的最大值为2.故选：A.12．（2026·新疆·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，，此时，不合要求，舍去；当时，，即，不合要求，舍去；故，，，解得，又，故，又，令，