解题大招04 基本不等式链和柯西不等式的四大妙用（原卷版）2027届高考数学一轮精准复习

4/4知识点01基本不等式链对于任意的，都有,当且仅当时,等号成立.其中分别为平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.\l"_Toc25045"知识点02柯西不等式1.二元柯西不等式对于任意的，都有，当且仅当时取等号2.元柯西不等式对于任意的），都有，取等号的条件：或（）．题型01利用不等式链判定不等式熟记平方、算术、几何、调和均值不等式链顺序，对照式子结构匹配对应均值。统一式子形式，合理变形化简，依据均值大小顺序直接比对.严格满足各项为正，核对适用条件，结合放缩技巧推导大小关系，验证逻辑无误即可判定不等式成立与否.【典例1】(多选)(2025·河南南阳模拟)已知正数m，n满足1m＋1n＝23A.mn≥12 B.m2＋nC.m＋n≥32 D.∃m，n∈(0，＋∞)，【跟踪训练】1．（多选）（25-26高三上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．2．（多选）（2026·山东烟台·一模）若，则（

）A． B． C． D．题型02利用不等式链求最值策略：依据均值不等式链，通过配凑、换元构造和定或积定，遵循和定积最大、积定和最小规律，灵活选用不同均值快速求最值。注意事项：满足一正二定三相等；核验等号可取性；多次连用不等式需取等条件统一；负数先转化为正数，取不到最值改用函数单调性求解。【典例2-1】已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A.2a＋b B.C.2ab D.【典例2-2】(多选)(2025·广西北海模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.ab有最大值12 B.1a+2C.a2＋b2有最小值12D.a＋b有最大值【跟踪训练】1.（多选）（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知且，则下列选项正确的是（）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是2．设,则的最大值为．题型03利用柯西不等式判定不等式观察不等式结构，匹配柯西平方和、向量、分式等常用形式。通过拆项、凑系数、分组变形，构造柯西标准结构。保证式子各项有意义、同序适配，利用柯西放缩建立大小关系。再验证等号成立条件，依据放缩结果即可判定不等式是否成立。【典例3】（25-26高一上·江西景德镇·期中）柯西不等式（Cauchy-SchwarzInequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：①对于所有实数和，有.②等式条件：当且仅当时，等号成立.例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【跟踪训练】1．(多选)（2026·河北廊坊·一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，且，则的最小值为D．若，，且，则2．（25-26高一上·湖南长沙·月考）设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数．如：．下列关系正确的是（）A． B．C． D．题型04利用柯西不等式求最值策略：观察代数式结构，凑配成柯西标准形式，通过分组、添项、配系数构造平方和乘积结构；利用柯西不等式放缩，转化为定值从而求出最值。注意事项：保证各项实数有意义；严格验证等号成立条件能否取到；多组连用柯西时，需保证等号条件一致；结构不匹配时先变形、换元再套用。【典例4-1】（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【典例4-2】(多选)（2025高三·全国·竞赛）已知，则取值范围是（

）A． B．【跟踪训练】1.（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（

）A． B． C． D．2．（25-26高二下·河北·期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（

）A． B． C． D．1．已知正数满足，则的最大值为（）A.1B.C.D.32．（25-26高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（）A．14 B．12 C．10 D．83．（2026·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．4．（多选）若x，y满足，则（）A． B．C． D．5．（多选）若x，y满足，则（）A． B．C． D．6．（多选）设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A.a＋b＋1ab≥22 B.2abaC.a2＋b2ab≥a＋b D.（a＋b7．（2025高三·全国·竞赛）设，则的最小值为_____．8．（2025高三·全国·竞赛）设，且，则的最大值为_____．9．（25-26高一下·河南