第03讲二次函数y=ax²+k的图象与性质(原卷版+解析)

第03讲二次函数y=ax2+k的图象与性质1.会画二次函数y＝ax2＋k的图象．2.掌握二次函数y＝ax2＋k的性质并会应用．3.理解y＝ax²与y＝ax2＋k之间的联系．知识点一、二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的性质【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．先列表：描点、连线，画出这两个函数的图象，并填写下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值增减性开口向上y轴（0，0）最小值0当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．开口向上y轴（0，1）最小值1【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．对于【问题2】我们就不再赘述，请大家照着【问题1】的方法研究即可．由【问题1】【问题2】概括二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的性质是：y＝ax2＋ka＞0a＜0开口方向开口向上开口向下顶点坐标（0，k）（0，k）最值当x＝0时，y取最小值k当x＝0时，y取最大值k增减性当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的减小而减小．对称轴图象关于y轴对称知识点二、二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k（a≠0）的图象的关系二次函数y＝ax2＋k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：当k＞0时，向上平移k个单位长度得到．当k＜0时，向下平移－k个单位长度得到．上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减．考点一：二次函数y=ax2+k的顶点坐标与对称轴问题例1．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．例2．抛物线的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴【变式训练】1．抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．2．抛物线的对称轴是_____．3．已知二次函数．

求函数图象的对称轴和顶点坐标；求这个函数图象与轴的交点坐标．考点二：二次函数y=ax2+k的开口问题例2．抛物线的开口方向（

）A．向左 B．向右 C．向上 D．向下【变式训练】1．与抛物线y＝－x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是(

)A．y＝－x2－1 B．y＝x2－1C．y＝－x2＋1 D．y＝x2＋12．一个二次函数的图象与抛物线的形状相同、开口方向相同，且顶点为，那么这个函数的解析式是______．3．已知：二次函数y＝x2﹣1．(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)画出它的图象．考点三：二次函数y=ax2+k的增减性问题例3．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（

）A．抛物线开口向下B．对称轴为直线C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大【变式训练】1．已知二次函数，如果y随x的增大而减小，那么x的取值的范围是（

）A． B． C． D．2．若点，在抛物线上，则，的大小关系为：_________（填“>”，“=”或“<”）．3．已知函数是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？考点四：二次函数y=ax2+k的最值问题例4．如果二次函数的值恒大于，那么必有（）A．，取任意实数 B．，C．， D．，均可取任意实数【变式训练】1．已知二次函数，则（）A．当时，y有最小值 B．当时，y有最小值C．当时，y有最大值 D．当时，y有最大值2．已知函数①y=x2+1，②y=-2x2+x．函数____(填序号)有最小值，当x=____时，该函数的最小值是___3．已知函数是关于x的二次函数．（1）满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？考点五：二次函数y=ax2+k的图象问题例5．当时，二次函数的图象大致是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．对于二次函数，当时，的取值范围是（

）A． B． C． D．2．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；②图形有最小值，且最小值为0；③当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．3．类比探究二次函数的图象与性质的方法，小明对函数y1＝|x2﹣4|的图象和性质进行了探究．其探究过程中的列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…m03n305…（1）求表中m，n的值；（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条函数的性质；（4）再画出y2＝﹣x＋2的函数图象．结合你所画的函数图象，利用图象法直接写出不等式|x2﹣4|＞﹣x＋2的解集．考点六：二次函数y=ax2+k的性质综合例6．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知二次函数和反比例函数的图像如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围为（）A． B． C． D．【变式训练】1．如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（

）A．图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）B．图形上任意一点到原点的最大距离是1C．图形的周长大于D．图形所围成区域的面积大于2且小于2．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为_____．3．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…-4-3-2-101……50-3-4-3m…（1）m=；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当时，x的取值范围是；（4）当时，y的取值范围是.1．（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对2．（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·上海虹口·统考一模）已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2020·河北·模拟预测）如图，若抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数的图象是（

）A． B． C． D．5．（2021·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）二次函数的最小值为________．6．（2023·上海金山·统考二模）抛物线在轴的右侧呈________趋势（填“上升”或者“下降”）．7．（2023·上海浦东新·统考二模）抛物线在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）8．（2023·宁夏银川·校考一模）已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则抛物线的顶点坐标为______．9．（2020·浙江杭州·统考一模）在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．10．（2021·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：…-4-3-2-101234……-0.4-0.5-100-2…其中，______，______，_____；（2）在平面直角坐标系中，描出相应的点，画出函数的图象．（3）观察函数图象，写出该函数图象的一条性质：_____________；（4）已知函数的图象如图所示，结合你画的函数图象，直接写出不等式的解集为______________（保留一位小数，误差小于0.2）．1．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．2．抛物线的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线3．已知点，点在抛物线上，且，且的取值范围是（

）A． B． C． D．4．下列对于二次函数图象描述中，正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是y轴C．图象有最低点 D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势5．已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（

）A． B． C． D．6．如图，小红在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出同心圆与横线的一些交点．她发现这些点的位置有一定的规律，于是以圆心为原点，如图建立平面直角坐标系，相邻横线的间距为一个单位长度．则所描的点都在二次函数（

）的图象上．A． B． C． D．7．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B．C． D．8．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（

）A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值9．已知关于x的二次函数的图像不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c的值为______．10．已知点，是抛物线上的两点，若，则_____（填“”“”或“”）．11．通过_______法画出和的图像：通过图像可知：的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．12．我们把横、纵坐标都为整数的点称为格点（1）如图，直线上的格点坐标为_______；（2）若抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，则c的取值范围是_______________．13．画出抛物线y＝2x2＋2的图象．14．已知抛物线过点和点．（1）求这个函数的关系式；（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大．15．已知二次函数y＝ax2+b的图象与直线y＝x+2相交于点A（1，m），点B（n，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出该拋物线的对称轴和顶点坐标；（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x…………y…………（3）画出这两个函数的图象，并结合图象直接写出ax2+b＞x+2时x的取值范围．16．探究函数的图象与性质(1)函数的自变量x的取值范围是___；(2)下列四个函数图象中,函数的图象大致是___；A．

B．

C．

D．(3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下面求解此问题的过程补充完整：解：∵x>0∴=∵∴y=____.【拓展应用】(4)若函数，求y的取值范围.第03讲二次函数y=ax2+k的图象与性质1.会画二次函数y＝ax2＋k的图象．2.掌握二次函数y＝ax2＋k的性质并会应用．3.理解y＝ax²与y＝ax2＋k之间的联系．知识点一、二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的性质【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．先列表：描点、连线，画出这两个函数的图象，并填写下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值增减性开口向上y轴（0，0）最小值0当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．开口向上y轴（0，1）最小值1【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．对于【问题2】我们就不再赘述，请大家照着【问题1】的方法研究即可．由【问题1】【问题2】概括二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的性质是：y＝ax2＋ka＞0a＜0开口方向开口向上开口向下顶点坐标（0，k）（0，k）最值当x＝0时，y取最小值k当x＝0时，y取最大值k增减性当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的减小而减小．对称轴图象关于y轴对称知识点二、二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k（a≠0）的图象的关系二次函数y＝ax2＋k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：当k＞0时，向上平移k个单位长度得到．当k＜0时，向下平移－k个单位长度得到．上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减．考点一：二次函数y=ax2+k的顶点坐标与对称轴问题例1．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用形如形式的二次函数的顶点坐标确定正确的选项即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记形如形式的二次函数的顶点坐标是解答本题的关键，难度不大．例2．抛物线的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴【答案】D【分析】根据抛物线的顶点式即可求得．【详解】解：∵抛物线，∴抛物线的对称轴为y轴，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．即在中，对称轴为，顶点坐标为（h，k）．【变式训练】1．抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二次函数的顶点式，即可求出顶点坐标．【详解】解：抛物线，该抛物线的顶点坐标为，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，解题的关键是掌握一般式和顶点式的转化．2．抛物线的对称轴是_____．【答案】y轴【分析】根据二次函数的图象与性质，即可求解．【详解】解：抛物线的对称轴是y轴，故答案为：y轴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握和运用二次函数的图象与性质是解决本题的关键．3．已知二次函数．

求函数图象的对称轴和顶点坐标；求这个函数图象与轴的交点坐标．【答案】（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．【详解】试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标；（2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标．试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，∴图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点．考点二：二次函数y=ax2+k的开口问题例2．抛物线的开口方向（

）A．向左 B．向右 C．向上 D．向下【答案】D【分析】根据二次函数的性质即可解决问题．【详解】∵，,∴抛物线开口向下，故选:D．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式训练】1．与抛物线y＝－x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是(

)A．y＝－x2－1 B．y＝x2－1C．y＝－x2＋1 D．y＝x2＋1【答案】B【分析】与抛物线y＝－x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则只有二次项系数不同，即可得到答案.【详解】解：∵与抛物线y＝－x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则与抛物线y＝－x2－1只有二次项系数互为相反数，∴y＝x2－1；故选择：B.【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方向．2．一个二次函数的图象与抛物线的形状相同、开口方向相同，且顶点为，那么这个函数的解析式是______．【答案】【分析】根据二次函数性质形状及开口方向相同即a的值一样，设出解析式，根据顶点为，即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的图象与抛物线的形状相同、开口方向相同，∴，设二次函数的解析式为，∵顶点为，∴，，∴这个函数的解析式是，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图像性质及顶点式，解题的关键是知道二次函数图形形状及开口方向相同即a的值一样．3．已知：二次函数y＝x2﹣1．(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)画出它的图象．【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．(2)图像见解析．【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．【详解】（1）解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；（2）解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，再求出关于对称轴对称的两个点，将上述点列表如下：x-2-1012y＝x2﹣130-103描点可画出其图象如图所示：【点睛】本题考查了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．考点三：二次函数y=ax2+k的增减性问题例3．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（

）A．抛物线开口向下B．对称轴为直线C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数的性质依次判断．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，∴A，B，C正确，D错误，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．【变式训练】1．已知二次函数，如果y随x的增大而减小，那么x的取值的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求二次函数的对称轴，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小，故选D．【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质：当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，是解题的关键．2．若点，在抛物线上，则，的大小关系为：_________（填“>”，“=”或“<”）．【答案】＜【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．【详解】解：∵若点A(−1，y1)，B(2，y2)在抛物线y=2x2+m上，y1=2×（-1）2+m=2+m，y2=2×22+m=8+m，∵2+m＜8+m，∴y1﹤y2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．3．已知函数是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据二次函数的定义可得，，即可求解；（2）点，，且，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答．【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，∴，解得：或．（2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，∴，解得∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，次数最高为2；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．考点四：二次函数y=ax2+k的最值问题例4．如果二次函数的值恒大于，那么必有（）A．，取任意实数 B．，C．， D．，均可取任意实数【答案】B【分析】二次函数的值恒大于，则该函数开口向上，顶点在x轴上方，由此即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的值恒大于，∴二次函数开口向上，顶点在x轴上方，∴，．故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．【变式训练】1．已知二次函数，则（）A．当时，y有最小值 B．当时，y有最小值C．当时，y有最大值 D．当时，y有最大值【答案】C【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为，∴当时，y有最大值，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性和顶点坐标．2．已知函数①y=x2+1，②y=-2x2+x．函数____(填序号)有最小值，当x=____时，该函数的最小值是___【答案】①01【详解】解：当二次函数的二次项系数a＞0时，函数开口向上，有最小值，∴函数①y=x2+1有最小值，当x=0时，该函数的最小值是1，故答案为：①，0，1.3．已知函数是关于x的二次函数．（1）满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？【答案】（1）m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小【分析】（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案；（2）利用二次函数的性质得出m的值；（3）利用二次函数的性质得出m的值.【详解】（1）∵函数是关于x的二次函数，∴m2+m﹣4=2，解得：m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，此时y=4x2+1，则最低点为：（0，1），由于抛物线的对称轴为y轴，故当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，由于抛物线的对称轴为y轴，故当x＞0时，y随x的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答本题的关键．考点五：二次函数y=ax2+k的图象问题例5．当时，二次函数的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．【详解】解：，∵，∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：，故选D．【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【变式训练】1．对于二次函数，当时，的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出答案．【详解】解：二次函数的解析式为，抛物线的对称轴为直线，，抛物线开口向上，，当时，取得最小值，当时，，当时，，当时，的取值范围是，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键．2．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；②图形有最小值，且最小值为0；③当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．【答案】①②④【分析】画出图象，根据图象即可判断．【详解】解：如图所示，①图形关于y轴成轴对称，故正确；②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确；③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．3．类比探究二次函数的图象与性质的方法，小明对函数y1＝|x2﹣4|的图象和性质进行了探究．其探究过程中的列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…m03n305…（1）求表中m，n的值；（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条函数的性质；（4）再画出y2＝﹣x＋2的函数图象．结合你所画的函数图象，利用图象法直接写出不等式|x2﹣4|＞﹣x＋2的解集．【答案】（1），；（2）见解析；（3）函数的对称轴为轴（答案不唯一）；（4）或且【分析】（1）将表格中分别代入解析式即可求得的值；（2）根据表格中的数据描点，连线，画出函数图象；（3）根据函数图像可从对称轴，最小值，增减性等分析；（4）根据图象分析，找到当时，的取值范围即可．【详解】（1）当时，，则当时，，则（2）根据表格中的数据，描点，连线，如图；（3）该函数的一条性质：函数的对称轴为轴（答案不唯一）；（4）如图，根据图图象可知当时，的取值范围为：或且|x2﹣4|＞﹣x＋2的解集为或且【点睛】本题考查了画函数图象，二次函数的图象与性质，根据函数图图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．考点六：二次函数y=ax2+k的性质综合例6．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知二次函数和反比例函数的图像如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断的图像上或下方第一象限内的整点个数，结合反比例函数图像与二次函数图像围成的区域（包括边界）的整点个数为5，画出图形，从而可得答案．【详解】解：如图，当时，，∴在的图像上，∵当时，；当时，；∴在第一象限内，在二次函数的图像上和图像下方的整点有6个，坐标为、、、、，．∵，，且在反比例函数的图像上和上方的整点有5个，∴整点不在区域内，∴．故选C．【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，利用数形结合的方法解题是关键．【变式训练】1．如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（

）A．图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）B．图形上任意一点到原点的最大距离是1C．图形的周长大于D．图形所围成区域的面积大于2且小于【答案】C【分析】画出图象C3，以及以O为圆心，以1为半径的圆，再作出⊙O内接正方形，根据图象即可判断．【详解】解：如图所示，A、图形C3恰好经过（1，0）、（-1，0）、（0，1）、（0，-1）4个整点，故正确，不符合题意；B、由图象可知，图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1，故正确，不符合题意；C、图形C3的周长小于⊙O的周长，所以图形C3的周长小于2π，故错误，符合题意；D、图形C3所围成的区域的面积小于⊙O的面积，大于⊙O内接正方形的面积，所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π，故正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．2．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为_____．【答案】2【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，当点P在x轴上方时，∴x2-1>0,∴PH=|x2-1|=x2-1，在Rt△OHP中，由勾股定理，得OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，∴OP=x2+1，∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．3．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…-4-3-2-101……50-3-4-3m…（1）m=；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当时，x的取值范围是；（4）当时，y的取值范围是.【答案】（1）0；（2）见解析；（3）x≤-4或x≥2；（4）-4≤y＜5．【分析】（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；（2）根据二次函数图象的画法作出图象即可；（3）根据抛物线的对称性，（-4，5）关于直线x=-1的对称点是（2，5），根据图象即可求得结论，（4）根据函数图象，写y的取值范围即可．【详解】（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（-1，-4），∴抛物线的对称轴为直线x=-1，∵（-3，0）关于直线x=-1的对称点是（1，0），∴m=0，故答案为0；（2）函数图象如图所示；（3）∵（-4，5）关于直线x=-1的对称点是（2，5），由图象可知当y≥5时，x的取值范围是x≤-4或x≥2，故答案为x≤-4或x≥2；（4）由图象可知当-4＜x＜1时，y的取值范围是-4≤y＜5，故答案为-4≤y＜5．【点睛】此题考查二次函数的图象，二次函数的性质，解题关键在于数形结合．1．（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对【答案】D【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定．【详解】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2<x1≤0或0<-x1<x2或0<x1<-x2,故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键．2．（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标所在的范围．【详解】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：由图知，显然，当时，将其分别代入与计算得；，，此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是：准确画出函数的图象，再通过关键点得出答案．3．（2023·上海虹口·统考一模）已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到，由此即可得到的取值范围．【详解】解：∵二次函数的图像有最低点，函数图象开口向上，则，解得．故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键．4．（2020·河北·模拟预测）如图，若抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数的图象是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点的个数，从而得到，即可得出答案．【详解】解∶对于，当时，，当时，，∴抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点为，共4个，∴，∴反比例函数解析式为，当时，，∴反比例函数图象过点．故选：D【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象，解决本题的关键是求出k的值．5．（2021·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）二次函数的最小值为________．【答案】-2【分析】由二次函数可直接求解．【详解】解：由二次函数可得：开口向上，有最小值，∴二次函数的最小值为-2；故答案为-2．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6．（2023·上海金山·统考二模）抛物线在轴的右侧呈________趋势（填“上升”或者“下降”）．【答案】下降【分析】根据抛物线的性质判定即可．【详解】∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，∴抛物线在轴的右侧y随x的增大而减小，故答案为：下降．【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．7．（2023·上海浦东新·统考二模）抛物线在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）【答案】减小【分析】先求出该抛物线的对称轴，再根据其开口方向和增减性，即可进行解答．【详解】解：该抛物线的对称轴为直线，即该抛物线的对称轴为y轴，∵，抛物线开口向上，∴在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而减小．故答案为：减小．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是掌握时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．8．（2023·宁夏银川·校考一模）已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则抛物线的顶点坐标为______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再代入到抛物线解析式中，再求得顶点坐标即可．【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是a和b，∴，则抛物线解析式为：，∴抛物线顶点坐标为，故答案为：．【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．也考查了抛物线顶点坐标为9．（2020·浙江杭州·统考一模）在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.【详解】（1）解：如图：，与图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，与图象的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.10．（2021·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：…-4-3-2-101234……-0.4-0.5-100-2…其中，______，______，_____；（2）在平面直角坐标系中，描出相应的点，画出函数的图象．（3）观察函数图象，写出该函数图象的一条性质：_____________；（4）已知函数的图象如图所示，结合你画的函数图象，直接写出不等式的解集为______________（保留一位小数，误差小于0.2）．【答案】（1），-2，2；（2）见解析；（3）时，该函数取得最大值2；（4）或或．【分析】（1）当x=-2时，m=y==-，当x=0时，n=y==-2，当x=2时，同理可得y=2，即可求解；（2）通过描点连线即可绘制函数图象；（3）观察函数图象即可求解；（4）从图象看，两个函数交点的横坐标分别为：-1.4、0、2.4，进而求解．【详解】解：（1）当x=-2时，m=y==-，当x=0时，n=y==-2，当x=2时，同理可得y=2，故答案为：-，-2，2；（2）通过描点连线绘制函数图象如下：（3）从图象看，时，该函数取得最大值2；（4）两个函数的位置关系如下：从图象看，两个函数交点的横坐标分别为：-1.4、0、2.4，观察函数图象，y1≤y2的解集为x≤-1.4或x=0或x≥2.4，故答案为：x≤-1.4或x=0或x≥2.4．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、函数作图等，正确作图是本题解题的关键．1．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据形如的顶点坐标的特征解答即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标为.故答案为：B.【点睛】本题主要考查了确定抛物线的顶点坐标，掌握顶点坐标的形式是解题的关键．即形如的顶点坐标是．2．抛物线的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】B【分析】用对称轴公式，直接求出对称轴．【详解】解：∵，∴对称轴是直线．故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数对称轴的求法，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．已知点，点在抛物线上，且，且的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据抛物线图像，确定图像开口，对称轴，再根据函数的增减性即可求解．【详解】解：抛物线的对称轴为，当时，函数开口向上，对称轴为，则时，函数值随自变量的增大而增大，∵点，点中，，，∴，故选：．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键．4．下列对于二次函数图象描述中，正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是y轴C．图象有最低点 D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势【答案】B【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可．【详解】解：A.∵，∴抛物线开口向下，故选项错误，不符合题意；B.抛物线的对称轴是y轴，故选项正确，符合题意；C.∵，∴抛物线开口向下，∴抛物线图象有最高点；故选项错误，不符合题意；D.∵开口向下，抛物线的对称轴是y轴，∴当时，y随着x的增大而减小，即在对称轴右侧的图象从左往右呈下降趋势，故选项错误，不符合题意．故选：B【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．5．已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数图象开口向上，距离对称轴越远函数值越大即可比较．【详解】解：∵函数的对称轴为y轴，开口向上，∴距离对称轴越远函数值越大．∵，，到y轴的距离依次为：2，0，1，∴．故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握：当二次函数的图象开口向上时，距离对称轴越远函数值越大；开口向下时，距离对称轴越远函数值越小．6．如图，小红在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出同心圆与横线的一些交点．她发现这些点的位置有一定的规律，于是以圆心为原点，如图建立平面直角坐标系，相邻横线的间距为一个单位长度．则所描的点都在二次函数（

）的图象上．A． B． C． D．【答案】B【分析】设在半径为的同心圆上，与直线的交点为，利用勾股定理可得横纵坐标间的关系，即可求解．【详解】解：设在半径为的同心圆上，与直线的交点为，，，即，，点在抛物线上，故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．7．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）A.函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；

B.函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；

C.函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；

D.函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；

故选D．【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．8．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（

）A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值【答案】C【分析】根据二次函数的性质，表示出、的值，即可求解．【详解】解：二次函数．开口向上，对称轴为，当时，随增大而增大．．．即是的一次函数．，一次函数上升趋势．．有最小值，没有最大值．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．关键在于表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质．比较综合．9．已知关于x的二次函数的图像不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c的值为______．【答案】0（答案不唯一）【分析】根据二次函数图像的特点解答即可．【详解】解：∵关于x的二次函数的图像不经过第一、二象限∴，故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，根据二次函数解析式的系数确定图像位置是解答本题的关键．10．已知点，是抛物线上的两点，若，则_____（填“”“”或“”）．【答案】＜【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：由抛物线可知：，开口向下，对称轴为，∴当时，y随x的增大而增大，∴当点，是抛物线上的两点，且，则；故答案为＜．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．11．通过_______法画出和的图像：通过图像可知：的开口方向________，对称轴_