第03讲三角形内角和与外角和(原卷版+解析)八年级数学暑假预习课(人教版)

第03讲三角形内角和与外角和【学习目标】1、了解三角形的内角和的验证及证明过程；2、熟练利用三角形的内角和及直角三角形两锐角的关系解决问题；3、理解三角形的外角的概念．4、了解三角形外角的性质的推理过程；5、能综合利用三角形的内外角和定理及外角的性质解决问题.【基础知识】知识点01三角形内角和定理1、三角形的内角和定理(1)内容:三角形三个内角的和等于.(2)应用格式:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=.2、三角形内角和定理的证明：（1）拼接法【注意】由三角形的内角和为180°,可推出三角形中角的许多特定关系:(1)一个三角形中最多只有个钝角或直角﹔(2)一个三角形中最少有个角不小于60°;(3)等边三角形中每个角都是等.知识点02直角三角形的性质与判定1、直角三角形的组成2、直角三角形的性质与判定(1)表示:直角三角形可以用符号“”表示.【注意】直角三角形可以用符号“Rt”表示,如直角三角形ABC可以写成.(2)性质与判定:文字叙述几何语言图形性质直角三角形两锐角在Rt△ABC中，判定有两个角的三角形是直角三角形如果，则△ABC是知识点03三角形的外角1、三角形的外角概念:三角形的一边与另一边的组成的角.【注意】（1）三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角,这是内、外角联系的纽带.（2）一个三角形有6个外角,其中同一顶点处的两个外角互为对顶角，如图所示.2、三角形外角的性质（1）定义：三角形的外角等于与它的和.（2）数学语言表达：【注意】灵活应用外角性质变式:∠B=∠1－∠C或∠C=∠1－∠B.3、三角形外角和（1）规定:在每一个顶点上取一个外角,如图所示,取∠1,∠2,∠3.（2）三角形外角和定理:三角形的外角和等于.【考点剖析】考点一：对顶角、邻补角的识别例1．(1)在△ABC中,∠A=70°,∠C=45°,则∠B=；(2)已知在△ABC中,∠A=40°,∠B－∠C=40°,则∠B=；∠C=；考点二：直角三角形的性质与判定例2．如图,AB,CD相交于点O,AC⊥CD于点C,若∠BOD=38°,则∠A=例4．在△ABC中,∠B=2∠A,∠C=3∠A,试判断△ABC的形状,并说明理由.考点三：三角形的外角例4．如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,求∠1＋∠2的度数.【总结】(1)求度数:在外角及与其不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出与外角相邻内角的度数;(2)证明角相等:一般是把外角作为桥梁,通过等量代换证明角相等;(3)判断角的大小:外角大于与它不相邻的任意一个内角.考点四：三角形内角和定理的应用例5．在△ABC中,∠A:∠B:∠C=2∶3∶5,求三角形各内角的度数.【总结】(1)根据三角形内角和定理建立方程模型,可用代数知识解决几何问题;(2)三角形内角和等于180°是隐含的条件,可以直接应用.考点五：利用三角形外角性质求角例6计算下列角度：(1)如图,P为AABC中BC边的延长线上一点，∠A=50°,∠B=70°,则∠ACP=(2)如图所示,已知∠ABE=142°,∠C=72°,则∠A=,∠ABC=;(3)如图,∠3=120°,则∠1－∠2=【总结】(1)内外角结合:三角形的内外角可相互转化;(2)邻补角结合:外角和相邻的内角和为180°;(3)对顶角结合:两对顶角相等,但位置不同,可转化外角位置.考点六：直角三角形的性质与判定的运用例7．如图在△ABC中，∠ACB=90°,∠ACD=∠B,判断△ADC的形状.考点七：题型四三角形内角与外角的平分线的应用例8．如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线相交于点D,∠A=50°,求∠D的度数.【总结】考点八：三角形与平行线的综合应用例9．如图,已知DE//BC,CD是∠ACB的平分线,∠B=70°,∠A=60°,求∠EDC的度数.考点九：与三角形的角有关的规律探索型问题例10．如图①,在△ABC中,CD,BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线,且∠A=.(1)用含的式子表示∠CDB;(2)若把图①中∠ACB的平分线CD改为△ABC的外角∠ACE的平分线,如图②,怎样用含的式子表示∠CDB?(3)若把图①中“CD,BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线”改成“CD,BD分别是△ABC的外角∠BCF和∠CBE的平分线”,如图,怎样用含的式子表示∠CDB?【总结】考点十：三角形的高线易错题型例11．在△ABC中,BD是AC边上的高,∠ABD=30°,求∠BAC的度数.【即学即练】1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5，则△ABC是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形2．如图，将一副三角板按图中位置摆放，则∠BAD+∠DEC=（）A．165° B．210° C．220° D．255°3．如图，AB//CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（）A．34° B．56° C．66° D．54°4．在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（

）A．必有一个角等于 B．必有一个角等于C．必有一个角等于 D．必有一个角等于5．如图，三角形纸片ABC中，∠A=80º，∠B=60º，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=30º，则∠β的度数是（

）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）A．360º B．250º C．180º D．140º7．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为A． B． C． D．8．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（

）A．5° B．13° C．15° D．20°9．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④10．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE=______度．11．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_____．13．如图，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推，则的度数是___________（用含与的代数式表示）．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角为______度．15．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)=(180-∠A)=90-∠A∴∠BOC=180-(∠1+∠2)=180-(90-∠A)=90+∠A(1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中,O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）【课后巩固】1．若一个三角形的三个内角度数之比为2∶7∶5，那么这个三角形是()A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形2．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（）A．115° B．120°C．145° D．135°3．一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，则（

）A． B． C． D．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A比∠B大30°，则∠B=（

）A．30° B．40° C．50° D．60°5．如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°6．如图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，那么的度数为（）A．120O B．180O. C．240O D．30007．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（

）A．90° B．360° C．180° D．无法确定8．如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和为（

）A．180° B．360° C．270° D．540°9．已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=_________度．11．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____．12．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____．13．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_____根．14．AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B=40°，∠ACD=70°，则∠DAE的度数为_____．15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．第03讲三角形内角和与外角和【学习目标】1、了解三角形的内角和的验证及证明过程；2、熟练利用三角形的内角和及直角三角形两锐角的关系解决问题；3、理解三角形的外角的概念．4、了解三角形外角的性质的推理过程；5、能综合利用三角形的内外角和定理及外角的性质解决问题.【基础知识】知识点01三角形内角和定理1、三角形的内角和定理(1)内容:三角形三个内角的和等于180°.(2)应用格式:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.2、三角形内角和定理的证明：（1）拼接法【注意】由三角形的内角和为180°,可推出三角形中角的许多特定关系:(1)一个三角形中最多只有一个钝角或直角﹔(2)一个三角形中最少有一个角不小于60°;(3)等边三角形中每个角都是60°等.知识点02直角三角形的性质与判定1、直角三角形的组成2、直角三角形的性质与判定(1)表示:直角三角形可以用符号“”表示.【注意】直角三角形可以用符号“Rt”表示,如直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.(2)性质与判定:文字叙述几何语言图形性质直角三角形两锐角互余在Rt△ABC中，判定有两个角互余的三角形是直角三角形如果，则△ABC是直角三角形知识点03三角形的外角1、三角形的外角概念:三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角.【注意】（1）三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角,这是内、外角联系的纽带.（2）一个三角形有6个外角,其中同一顶点处的两个外角互为对顶角，如图所示.2、三角形外角的性质（1）定义：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）数学语言表达：【注意】灵活应用外角性质变式:∠B=∠1－∠C或∠C=∠1－∠B.3、三角形外角和（1）规定:在每一个顶点上取一个外角,如图所示,取∠1,∠2,∠3.（2）三角形外角和定理:三角形的外角和等于360°.【考点剖析】考点一：对顶角、邻补角的识别例1．(1)在△ABC中,∠A=70°,∠C=45°,则∠B=；(2)已知在△ABC中,∠A=40°,∠B－∠C=40°,则∠B=；∠C=；【答案】(1)65°；(2)90°50°【解析】解:（1）根据三角形内角和是180°,得∠B=180°－∠A－∠C=180°－70°－45°=65°.（2）由∠A=40°,得∠B＋∠C=140°，又因为∠B－∠C=40°，可解得∠B=90°，∠C=50°；考点二：直角三角形的性质与判定例2．如图,AB,CD相交于点O,AC⊥CD于点C,若∠BOD=38°,则∠A=【答案】52°【解析】因为AC⊥CD于点C,所以△AOC是直角三角形,所以∠C=90°.所以∠A=90°一∠AOC=90°—38°=52°.例4．在△ABC中,∠B=2∠A,∠C=3∠A,试判断△ABC的形状,并说明理由.【解析】解:△ABC是直角三角形.理由如下:设∠A=.x，则∠B,∠C的度数分别为2x°,3x°.根据三角形内角和定理,得x＋2x+3x=180,解得x=30，所以∠A＋∠B=3x°=90°，所以△ABC是直角三角形.考点三：三角形的外角例4．如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,求∠1＋∠2的度数.【答案】270°【解析】解:由三角形外角的性质,可知∠1=90°+∠AED,∠2=90°+∠ADE，所以∠1＋∠2=90°+∠AED＋90°+∠ADE=180°+∠AED+∠ADE.因为∠AED+∠ADE=90°，所以∠1+∠2=180°+90°=270°.【总结】(1)求度数:在外角及与其不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出与外角相邻内角的度数;(2)证明角相等:一般是把外角作为桥梁,通过等量代换证明角相等;(3)判断角的大小:外角大于与它不相邻的任意一个内角.考点四：三角形内角和定理的应用例5．在△ABC中,∠A:∠B:∠C=2∶3∶5,求三角形各内角的度数.【分析】三角形中三个内角的和是固定的,知道三角形中三个内角的比例关系,便可设出参数,列出方程求解.【解析】解:设三角形的三个角分别为2x°,3x°,5x°，则2x+3x+5x=180,解得x=18，所以∠A=2x°=36°,∠B=3x°=54°,∠C=5x°=90°.【总结】(1)根据三角形内角和定理建立方程模型,可用代数知识解决几何问题;(2)三角形内角和等于180°是隐含的条件,可以直接应用.考点五：利用三角形外角性质求角例6计算下列角度：(1)如图,P为AABC中BC边的延长线上一点，∠A=50°,∠B=70°,则∠ACP=(2)如图所示,已知∠ABE=142°,∠C=72°,则∠A=,∠ABC=;(3)如图,∠3=120°,则∠1－∠2=【答案】(1)120°；(2)70°，38°；(3)60°【分析】题中涉及三角形的内角和外角，可考虑应用三角形外角的性质或外角性质的变式.【解析】(1)由三角形外角的性质，知∠ACP=∠A＋∠B=50°＋70°=120°.(2)由三角形外角的性质,知∠A=∠ABE－∠C=142°－72°=70°.因为∠ABC与∠ABE互补,所以∠ABC=180°－142°=38°.(3)观察图形,根据三角形外角的性质,知∠1是三角形的一个外角，∠1－∠2=∠4,∠4与∠3互为邻补角,所以∠4=180°－∠3=180°－120°=60°,即∠1－∠2=60°.【总结】(1)内外角结合:三角形的内外角可相互转化;(2)邻补角结合:外角和相邻的内角和为180°;(3)对顶角结合:两对顶角相等,但位置不同,可转化外角位置.考点六：直角三角形的性质与判定的运用例7．如图在△ABC中，∠ACB=90°,∠ACD=∠B,判断△ADC的形状.【分析】结合题图可猜想△ADC是直角三角形,根据题图中的角度关系,可考虑根据“有两个角互余的三角形是直角三角形”进行最终确定.【解析】解:因为∠ACB=90°,所以∠A＋∠B=90°.因为∠ACD=∠B,所以∠ACD＋∠A=90°.所以△ADC是直角三角形.考点七：题型四三角形内角与外角的平分线的应用例8．如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线相交于点D,∠A=50°,求∠D的度数.【答案】25°【分析】由角平分线就能得到角的相等或倍分关系,遇到外角及角度问题则考虑外角等于与其不相邻的两内角之和.如图,应用两次三角形外角的性质:∠D=∠1－∠2,∠A=∠ACE－∠ABC，再根据角平分线的性质可求得结果.【解析】解:如图,因为∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线相交于点D，所以∠1=∠ACE,∠2=∠ABC.又因为∠D=∠1—∠2,∠A=∠ACE－∠ABC，所以∠D=∠1－∠2=∠ACE－∠ABC=(∠ACE－∠ABC)=∠A=25°.【总结】考点八：三角形与平行线的综合应用例9．如图,已知DE//BC,CD是∠ACB的平分线,∠B=70°,∠A=60°,求∠EDC的度数.【分析】遇平行线则首先寻找与所求角有关的内错角、同位角和同旁内角﹐由角平分线的性质可以得到角度相等关系,然后结合三角形内角和等于180°这一隐性条件即可得到所求.【答案】25°【解析】解:在△ABC中,因为∠B=70°,∠A=60°,所以∠ACB=180°－70°－60°=50°.又因为CD是∠ACB的平分线，所以∠DCB=∠ACB=25°.因为DE//BC,所以∠EDC=∠DCB=25°.考点九：与三角形的角有关的规律探索型问题例10．如图①,在△ABC中,CD,BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线,且∠A=.(1)用含的式子表示∠CDB;(2)若把图①中∠ACB的平分线CD改为△ABC的外角∠ACE的平分线,如图②,怎样用含的式子表示∠CDB?(3)若把图①中“CD,BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线”改成“CD,BD分别是△ABC的外角∠BCF和∠CBE的平分线”,如图,怎样用含的式子表示∠CDB?【分析】先利用角平分线得到两角相等,再利用三角形外角的性质将角度转移到同一个三角形中,即可结合三角形内角和定理得到规律.（1）根据∠A求得∠ABC+∠ACB的值,应用角平分线的性质可求得∠CDB;（2）根据外角∠ACE,∠DCE的性质,结合角平分线性质和外角性质求得∠D;（3）根据∠A求得∠EBC+∠FCB的值,应用角平分线性质可求得∠D.【解析】解:（1）因为CD,BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线﹐所以∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,所以∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°－∠A)=.所以∠BDC=180°—(∠DBC+∠DCB)=；（2）因为CD,BD分别是∠ACE和∠ABC的平分线，所以∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，所以∠ACD=∠DCE—∠DBC=(∠ACE一∠ABC)==.（3）因为CD,BD分别是△ABC的外角∠BCF和∠CBE的平分线，所以∠DBC=∠CBE，∠DCB=∠BCF，所以∠DBC＋∠DCB=(∠CBE＋∠BCF)=(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)=180°－(∠ABC+∠ACB)=180°(180°－∠A)=90°.所以∠CDB=180°－(∠DBC+∠DCB)=.【总结】考点十：三角形的高线易错题型例11．在△ABC中,BD是AC边上的高,∠ABD=30°,求∠BAC的度数.【解析】解:分两种情况讨论:(1)如图①,∠BAC=90°－∠ABD=60°.(2)如图②,∠BAC=90°+∠ABD=120°.故∠BAC的度数为60°或120°.【即学即练】1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5，则△ABC是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【解析】【分析】根据题意可设∠A=x°,则∠B=,∠C=,再结合∠A+∠B+∠C=180°，列出方程x+4x+5x=180;解方程即可求得x的值,继而可得出∠A、∠B、∠C的度数.【详解】解：设∠A=x°,则∠B=4x°,∠C=5x°，则x+4x+5x=180，18°，,故△ABC为直角三角形.故选C.【点睛】根据三角形的内角和定理可求得∠A、∠B、∠C的大小，进而判断△ABC的形状.2．如图，将一副三角板按图中位置摆放，则∠BAD+∠DEC=（）A．165° B．210° C．220° D．255°【答案】D【解析】【分析】由三角形的外角和定理进行计算可得答案.【详解】解：由题意得:∠BAD=∠BAC+∠CAD=+=，由外角性质得:∠DEC=∠D+∠DAC=+=，∠BAD+∠DEC=+=.故答案选D.【点睛】本题主要考查三角形的外角和定理.3．如图，AB//CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（）A．34° B．56° C．66° D．54°【答案】B【解析】【详解】解：∵AB∥CD，∴∠D=∠1=34°，∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．故选B．4．在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（

）A．必有一个角等于 B．必有一个角等于C．必有一个角等于 D．必有一个角等于【答案】D【解析】【分析】先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得第三个角(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.【详解】设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则第三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：①②③综上所述，必有一个角等于90°故选D.【点睛】本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.5．如图，三角形纸片ABC中，∠A=80º，∠B=60º，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=30º，则∠β的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求得∠C=40°，再由根据四边形内角和定理可得：∠α+∠β+（180°-∠C）+∠A+∠B=360°，代入即可求得∠β的度数【详解】∵∠A=80°，∠B=60°，∴∠C=40°，根据四边形内角和定理可得：∠α+∠β+（180°-∠C）+∠A+∠B=360°，∵∠α=30°，∴30°+∠β+180°-40°+80°+60°=360°，解得∠β=50°．故选C.【点睛】本题考查三角形的内角和定理及四边形内角和定理的应用，熟知四边形的内角和是360°是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）A．360º B．250º C．180º D．140º【答案】B【解析】【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=70°，∴∠A+∠B=180°-∠C=110°，∴∠1+∠2=360°-110°=250°，故选B．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键.7．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】∵如图可知，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，故选．点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此题难度不大．8．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（

）A．5° B．13° C．15° D．20°【答案】C【解析】【分析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE，问题得解．【详解】在△ABC中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=41°.又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°−∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=15°.【点睛】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.9．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+∠1，再结合三角形外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.【详解】∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠1）=90°-∠1，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-∠1）=90°+∠1，∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACD=（∠ABC+∠1），∵∠ECD=∠OBC+∠2，∴∠2=∠1，即∠1=2∠2，∴∠BOC=90°+∠1=90°+∠2，∴①④正确，②③错误，故选C.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识，熟练掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键.10．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE=______度．【答案】10【解析】【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分的定义，根据三角形内角和是180°，角平分线平分角的度数解答即可【详解】因为，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10°【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和是180度11．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_____．【答案】67°．【解析】【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，然后再利用三角形内角和计算∠AEC的度数．【详解】解：∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案为：67°．【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题解题过程中，有些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整体思想是解决此题的关键．12．如图，______°．【答案】180【解析】【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，由此不难证明结论．【详解】解：如图，∵∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＋∠D＋∠E＋∠C＝180°，故答案为：180．【点睛】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．13．如图，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推，则的度数是___________（用含与的代数式表示）．【答案】【解析】【分析】由∠P1CD＝∠P1＋∠P1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，而P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠P1CD，∠ABC＝2∠P1BC，于是有∠A＝2∠P1，同理可得∠P1＝2∠P2，即∠A＝22∠P2，因此找出规律．【详解】∵P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠P1CD，∠ABC＝2∠P1BC，而∠P1CD＝∠P1＋∠P1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，∴∠A＝2∠P1，∴∠P1＝∠A，同理可得∠P1＝2∠P2，即∠A＝22∠P2，∴∠A＝2n∠Pn，∴∠Pn＝．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角为______度．【答案】或【解析】【分析】根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可．【详解】解：①如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，，又∵BM是AC边上的高，∴，∴，∴②如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，，∵EN是DF边上的高∴，∴，∴故答案为或【点睛】本题考查了等腰三角形的分类讨论问题，涉及了三角形内角和和外角和的性质，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案．15．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)=(180-∠A)=90-∠A∴∠BOC=180-(∠1+∠2)=180-(90-∠A)=90+∠A(1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中,O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）【答案】（1）探究2结论：∠BOC=；（2）探究3：结论∠BOC=90°－；（3）拓展：结论【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；（3）同（1）的求解思路．【详解】（1）探究2结论：∠BOC=∠A．理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A，即∠BOC=∠A；（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），=180°-（180°+∠A），=90°-∠A；故答案为∠BOC=90°-∠A．（3）∠OBC+∠OCB=（360°-∠A-∠D），在△BOC中，∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）=（∠A+∠D）．故答案为∠BOC=（∠A+∠D）．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．【课后巩固】1．若一个三角形的三个内角度数之比为2∶7∶5，那么这个三角形是()A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】A【解析】【详解】设三角形的三个内角分别为：2x，7x，5x．∵三角形三个内角度数的比为2：7：5，∴2x+7x+5x=180°，∴7x=90°，∴这个三角形是直角三角形．故选A．2．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（）A．115° B．120°C．145° D．135°【答案】D【解析】【分析】由下图三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，∵∠1=45°（已知），∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），∵EF∥MN（已知），∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．故选D．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．3．一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意知图中是一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形，故，，由平行线的性质可知，由三角形内角和定理可求出的度数．【详解】由题意知，，∵，∴，在中，，故选A．【点睛】本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A比∠B大30°，则∠B=（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【解析】【分析】由∠C=90°，根据三角形内角和定理可得到∠A+∠B=90°，因为∠A比∠B大30°，列方程可以求得答案，进而求出∠B；【详解】∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，设∠A的度数为x，根据题意得：x+x−30°=90°，解得：x=60°，则∠B的度数为30°，故选A.【点睛】此题考查余角和补角，三角形内角和定理，解题关键在于得到∠A+∠B=90°.5．如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【解析】【分析】由折叠的性质可知,再利用平角的定义可求出的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数.【详解】由折叠的性质可知∵∴∴故选C【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键.6．如图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，那么的度数为（）A．120O B．180O. C．240O D．3000【答案】C【解析】【详解】如图，根据三角形内角和定理，得∠3+∠4+60°=180°，又根据平角定义，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，∴180°－∠1+180°－∠2+60°=180°.∴∠1+∠2=240°.故选C.7．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（

）A．90° B．360° C．180° D．无法确定【答案】C【解析】【详解】如图，连接BC，∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°.故选C.8．如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和为（

）A．180° B．360° C．270° D．540°【答案】B【解析】【分析】根据三角形的内角和定理，可知∠A＋∠C＋∠E＝180°，∠B＋∠D＋∠F＝180°，从而得出结果．【详解】解：∵∠A＋∠C＋∠E＝180°，∠B＋∠D＋∠F＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°．故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．9．已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】【分析】根据三角形的内角和外角之间的关系计算．【详解】解：（1）∵若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）∴∠P=90°+∠A；故（1）的结论正确；（2）∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）∠P=∠PCE-∠PBC∴2∠P=∠A故（2）的结论是错误．（3）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠FBC+∠ECB）=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°-（∠A+180°）=90°-∠A．故（3）的结论正确．正确的为：（1）（3）．故选C【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到三角形的内角和是180°这一隐含的条件．10．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=_________度．【答案】74【解析】【分析】首先根据三角形角平分线的定义求出∠BCE，然后在Rt△CBD中求出∠BCD，从而得到∠DCF，最终在Rt△CDF中求解即可得出结论．【详解】解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=180°-40°-72°=68°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=×68°=34°，∵CD⊥AB于D，∴∠BCD＋∠B=90°，∴∠BCD=90°-∠B=90°-72°=18°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=34°-18°=16°，∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠DCF＋∠CDF=90°，∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-16°=74°，故答案为：74．【点睛】本题考查三角形中角平分线相关的角度计算，掌握三角形中角平分线的定义以及直角三角形两锐角互余是解题关键．11．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____．【答案】40°【解析】【分析】先根据角平分线的定义得到∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，则∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，所以∠BOC=90°+∠A，然后把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．【详解】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，而∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°∴∠A=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．12．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____．【答案】##180度【解析】【分析】利用三角形的外角的性质将五个角转化为三角形的三个角的和即可．【详解】解：如图：利用三角形的外角的性质得：，，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角及三角形的内角和与外角和的知识，解题的关键是能够正确