第3章勾股定理全章复习与测试(原卷版+解析)

第3章勾股定理全章复习与测试1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2.掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．4.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．5.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.6.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.一．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．三．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．四．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．五．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…六．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．一．直角三角形的性质（共1小题）1．（2020秋•苏州期中）在△ABC中，有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．勾股定理（共10小题）2．（2022秋•南京期末）如图，已知点P是射线OM上一动点（P不与O重合），∠AOM＝45°，OA＝2，当OP＝时，△OAP是等腰三角形．3．（2021秋•新吴区校级期中）已知一直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则第三边的长为．4．（2022秋•句容市期末）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为．5．（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么点D到直线AB的距离是cm．6．（2022秋•海陵区校级期末）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为．7．（2023•盱眙县模拟）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若，BC＝12，则△ABE的周长为．8．（2022秋•广陵区校级期末）直角三角形纸片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分线，则BD＝．9．（2022秋•广陵区校级期末）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为．10．（2022秋•太仓市期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为1，2，则这个直角三角形的斜边的长为．11．（2022秋•亭湖区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到AB的距离是．三．勾股定理的证明（共1小题）12．（2022秋•阜宁县期中）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，古今中外已有几百种证明方法．2002年世界数学家大会在中国北京举行，大会的会标选用验证勾股定理的“弦图”，它标志着我国古代数学的成就．“弦图”由4个全等的直角三角形拼成大正方形（如下图示）设直角三角形的两直角边分别为a、b（a＜b），斜边为c，请你利用“弦图”验证勾股定理．四．勾股定理的逆定理（共15小题）13．（2022秋•工业园区校级期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 C．a2+b2＝c2 D．a：b：c＝3：4：514．（2022秋•溧阳市期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH15．（2022秋•东台市期中）在△ABC的三边分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，判断△ABC的形状，证明你的结论．16．（2022秋•徐州期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，连接CD．（1）若∠B＝50°，求∠DCA度数；（2）若点E是AB上的一个动点，则线段CE的最小值为．17．（2022秋•兴化市期中）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的面积；（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．18．（2022秋•无锡期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．5，7，9 C．6，8，10 D．7，8，919．（2022秋•建湖县期中）以下四组代数式作为△ABC的三边：①3n，4n，5n（n为正整数）；②n，n+1，n+2（n为正整数）；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数）．其中能使△ABC为直角三角形的有（）A．0组 B．1组 C．2组 D．3组20．（2022秋•邗江区期中）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A． B． C． D．21．（2022秋•高新区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．22．（2021秋•沭阳县期末）如图，在四边形ABCD地块中，AB＝6，AD＝8，BC＝26，CD＝24，∠A＝90°，求该四边形ABCD地块的面积．23．（2022秋•邗江区期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题．（1）若∠C＝90°，，求b；（2）若a、b、c三边满足|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，试判断△ABC的形状．24．（2022秋•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，且CB2＝AE2﹣CE2．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）若AC＝12，BC＝9，求CE的长．25．（2022秋•南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°．求证：∠C＝90°．26．（2022秋•邗江区校级月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．请求出线段DE的长．27．（2022秋•滨海县期中）如图所示的一块土地，测量得AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，∠ABC＝90°，求这块土地的面积．五．勾股数（共1小题）28．（2022秋•江都区期末）下面各组数中，勾股数是（）A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1，，2六．勾股定理的应用（共7小题）29．（2021秋•洪泽区校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．7 B．8 C．9 D．1030．（2022秋•邗江区校级月考）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm31．（2022秋•金湖县期中）将一根24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为5cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．h≤19 B．11≤h≤19 C．12≤h≤19 D．13≤h≤1932．（2022秋•工业园区校级月考）放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是100米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，则小红和小颖家的直线距离为（）A．300米 B．400米 C．500米 D．700米33．（2022秋•惠山区期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B离远处竹子C的距离BC为3尺，则折断后的竹子AC＝尺．（注：1丈＝10尺．）34．（2022秋•江阴市期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？35．（2022秋•锡山区期中）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．（1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？一．选择题（共7小题，满分21分，每小题3分）1．（3分）如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（）A． B．2 C． D．2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．6，7，8 B．1，，5 C．6，8，10 D．，2，3．（3分）若三角形三条边的长分别是7，24，25，则这个三角形的最大内角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．（3分）下列各组数中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．4，5，65．（3分）下列各组数中，可以构成勾股数的是（）A．13，16，19 B．5，13，15 C．18，24，30 D．12，20，376．（3分）边长为a的正六边形的内切圆的半径为（）A．a B．a C．2a D．a7．（3分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C． D．二．填空题（共9小题，满分27分，每小题3分）8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝2，BC＝，∠ABD+∠BDC＝60°，则四边形ABCD的面积是．9．（3分）若△ABC的三边长分别是1、、，则最长边上的中线长为．10．（3分）有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是．11．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，则AD的长度为．12．（3分）若三角形的两边长为6和8，要使其成为直角三角形，则第三边的长为．13．（3分）附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．14．（3分）如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍放入（填“能”或“不能”）．15．（3分）如图，一棵大树在一次台风中于离地面4米处折断倒下，大树顶端落在离大树底部3米处，这棵大树在折断前的高度为米．16．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，若图中小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半，则θ＝．三．解答题（共8小题，满分72分，每小题9分）17．（9分）如图，已知一根长8米的竹杆在离地3米处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有多少米？18．（9分）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝12cm，BD＝5cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求AB的长．19．（9分）如图，AB⊥CD，AC＝4，BC＝3，BD＝．（1）求AD的长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．20．（9分）如图，某工厂制作一个三角形工件，若∠A＝45°，∠B＝60°，BC＝6．求AC的长．21．（9分）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，求这块空地的面积？22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，AD＝12，CD＝13，点E是CD的中点，求AE的长．23．（9分）如图是证明勾股定理的一种方法：用4个全等的直角三角形，拼成一个图形，请你利用面积证明勾股定理的真实性．24．（9分）请选择一个图形来证明勾股定理．（可以自己选用其他图形进行证明）

第3章勾股定理全章复习与测试1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2.掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．4.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．5.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.6.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.一．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．三．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．四．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．五．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…六．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．一．直角三角形的性质（共1小题）1．（2020秋•苏州期中）在△ABC中，有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据三角形内角和定理来判断．【解答】解：①由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：2∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∠A+∠B+∠C＝180°得到：6x＝180°，则x＝30°，∠C＝3x＝90°，所以△ABC是直角三角形；③由∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+∠A＝180°，则∠A＝（）°，所以△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+2∠A＝180°，则∠A＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180度．二．勾股定理（共10小题）2．（2022秋•南京期末）如图，已知点P是射线OM上一动点（P不与O重合），∠AOM＝45°，OA＝2，当OP＝或2或2时，△OAP是等腰三角形．【分析】分三种情况，当OP＝AP，OA＝AP，OA＝OP时，由等腰三角形的性质可求出答案．【解答】解：当△AOP为等腰三角形时，分三种情况：①如图，OP＝AP，∴∠O＝∠OAP，∵∠AOM＝45°，∴∠APO＝90°，∴OP＝；②如图，OA＝OP＝2；③如图，OA＝AP，∴∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°，∴OP＝＝＝2．综上所述，OP的长为或2或2．故答案为：或2或2．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021秋•新吴区校级期中）已知一直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则第三边的长为13．【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为5和12，∴第三边的长＝＝13．故答案为：13．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．4．（2022秋•句容市期末）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为4．【分析】设AC＝a，BC＝b，由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，再根据完全平方公式的变式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求出ab的值，根据直角三角形的面积计算方法即可得出答案．【解答】解：设AC＝a，BC＝b，由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，∴△BCD的面积＝ab＝×8＝4．图中△BCD的面积为4．故答案为：4．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．5．（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么点D到直线AB的距离是5cm．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出DE＝CD，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，AC⊥CD，DE⊥AB，∴DE＝CD，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD＝＝5，∴DE＝5cm，故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及勾股定理是解题的关键．6．（2022秋•海陵区校级期末）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为10．【分析】设AH＝a，则HD＝14﹣a，根据图2可知，EK＝HD，由已知条件正方形IJKL的边长为2，可得JK＝2，即可得出AH＝EJ＝EK﹣JK＝14﹣a﹣2＝12﹣a，即可列出等式a＝12﹣a，求出a的值即可得出HD＝AE的长度，再根据勾股定理即可得出答案．【解答】解：设AH＝a，则HD＝14﹣a，由图可得，EK＝HD，JK＝2，∵AH＝EJ＝EK﹣JK＝14﹣a﹣2＝12﹣a，∴a＝12﹣a，∴a＝6，在Rt△AEH中，∵AH＝6，HD＝AE＝14﹣6＝8，∴HE＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了勾股定理，正确理解题目所给图形勾股定理进行求解是解决本题的关键．7．（2023•盱眙县模拟）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若，BC＝12，则△ABE的周长为18．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得到AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，再利用勾股定理求出AB＝5即可得到答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，∵BC＝12，∴，∴△ABE的周长为，故答案为：18．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．8．（2022秋•广陵区校级期末）直角三角形纸片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分线，则BD＝．【分析】根据勾股定理得到BC＝＝6，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据全等三角形的性质得到AE＝AC＝8，求得BE＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，过D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的角平分线，∴CD＝DE，在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝8，∴BE＝2，∵DE2+BE2＝BD2，∴（6﹣BD）2+22＝BD2，∴BD＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（2022秋•广陵区校级期末）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为9或21．【分析】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，在Rt△ABD中，∵AB＝17，AD＝8，∴BD＝＝15；在Rt△ACD中，∵AC＝10，AD＝8，∴CD＝＝6，∴当AD在三角形的内部时，BC＝15+6＝21；当AD在三角形的外部时，BC＝15﹣6＝9．∴BC的长是21或9．故答案为：21或9．【点评】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．10．（2022秋•太仓市期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为1，2，则这个直角三角形的斜边的长为．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，这个直角三角形的斜边的长＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．11．（2022秋•亭湖区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到AB的距离是．【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，∵BC＝4，AC＝3，∴AB＝＝5，设AB边上的高为h，则S△ABC＝AC•BC＝AB•h，∴h＝，故答案为：【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边．三．勾股定理的证明（共1小题）12．（2022秋•阜宁县期中）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，古今中外已有几百种证明方法．2002年世界数学家大会在中国北京举行，大会的会标选用验证勾股定理的“弦图”，它标志着我国古代数学的成就．“弦图”由4个全等的直角三角形拼成大正方形（如下图示）设直角三角形的两直角边分别为a、b（a＜b），斜边为c，请你利用“弦图”验证勾股定理．【分析】用等面积法，大的正方形面积等于小正方形的面积与4个直角三角形面积之和，列等式化简即可证明．【解答】解：根据题意有，大正方形面积：c2，小正方形面积：（b﹣a）2，4个直角三角形面积之和：4×a×b×＝2ab，∵大正方形面积等于小正方形的面积与4个直角三角形面积之和，∴（b﹣a）2+2ab＝c2，∴a2+b2＝c2．【点评】本题考查了勾股定理的证明，用等面积法列出等式，并化简是解本题的关键，综合性较强，难度适中．四．勾股定理的逆定理（共15小题）13．（2022秋•工业园区校级期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 C．a2+b2＝c2 D．a：b：c＝3：4：5【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；B、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝78°，故△ABC不是直角三角形；C、∵a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形；D、∵a：b：c＝3：4：5，∴可设a＝3k，则b＝4k，c＝5k，那么a2+b2＝c2，故△ABC为直角三角形．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．14．（2022秋•溧阳市期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB2＝32+42＝25，CD2＝22+12＝5，EF2＝42+22＝20，GH2＝22+32＝13．因为CD2+EF2＝AB2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、CD、EF．故选：A．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．也考查了勾股定理．15．（2022秋•东台市期中）在△ABC的三边分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，判断△ABC的形状，证明你的结论．【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：△ABC是直角三角形，理由：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，c2＝（n2+1）2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．16．（2022秋•徐州期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，连接CD．（1）若∠B＝50°，求∠DCA度数；（2）若点E是AB上的一个动点，则线段CE的最小值为4.8．【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝DB，从而利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DCB＝50°，最后进行计算即可解答；（2）根据垂线段最短可得：当CE⊥AB时，线段CE有最小值，然后利用面积法进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵点D是AB的中点，∴CD＝DB＝AB，∴∠B＝∠DCB＝50°，∴∠DCA＝∠ACB﹣∠DCB＝40°，∴∠DCA度数为40°；（2）当CE⊥AB时，线段CE有最小值，∵△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，∴AB•CE＝AC•BC，∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8，∴线段CE的最小值为4.8，故答案为：4.8．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质，垂线段最短，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．17．（2022秋•兴化市期中）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的面积；（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．【分析】（1）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解；（2）先利用勾股定理求出三边AB，BC，AC的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断．【解答】解：（1）S△ABC＝4×4﹣×4×2﹣×3×4﹣×1×2＝16﹣4﹣6﹣1＝5；（2）∵AC2＝22+12＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝42+32＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是求边长AB，BC，AC．18．（2022秋•无锡期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．5，7，9 C．6，8，10 D．7，8，9【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、42+52≠62，不能组成直角三角形，不符合题意；B、52+72≠92，不能组成直角三角形，不符合题意；C、62+82＝102，能组成直角三角形，符合题意；D、72+82≠92，不能组成直角三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．19．（2022秋•建湖县期中）以下四组代数式作为△ABC的三边：①3n，4n，5n（n为正整数）；②n，n+1，n+2（n为正整数）；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数）．其中能使△ABC为直角三角形的有（）A．0组 B．1组 C．2组 D．3组【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【解答】解：①3n，4n，5n（n为正整数），（3n）2+（4n）2＝（5n）2，能构成直角三角形；②n，n+1，n+2（n为正整数），n2+（n+1）2≠（n+2）2，不能构成直角三角形；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数），（n2﹣1）2+（n2+1）2＝（2n）2，能构成直角三角形；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数），（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，能构成直角三角形．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．20．（2022秋•邗江区期中）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．【解答】解：∵52＝25，122＝144，92＝81，152＝225，132＝169，∴52+122＝132，52+92≠122，92+122＝152，52+132≠152，∴A错误，B错误，C正确，D错误．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．21．（2022秋•高新区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接AC，根据勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根据AC2＝DA2+DC2即可得出结论；（2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．【解答】（1）解：∠D是直角．理由：连接AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；（2）解：∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AD•CD，＝，＝234．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．22．（2021秋•沭阳县期末）如图，在四边形ABCD地块中，AB＝6，AD＝8，BC＝26，CD＝24，∠A＝90°，求该四边形ABCD地块的面积．【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理推出△CBD是直角三角形，然后将两个直角三角形的面积相加即可．【解答】解：连接BD，在Rt△BAD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝10，在△CBD中，CD2＝BD2+BC2，∴△CBD是直角三角形．∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD＝AD•AB+BD•BC＝×6×8+×10×24＝24+120＝144．故四边形ABCD的面积为144．【点评】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理推出△CBD是直角三角形，然后即可得出答案．23．（2022秋•邗江区期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题．（1）若∠C＝90°，，求b；（2）若a、b、c三边满足|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，试判断△ABC的形状．【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）根据绝对值的非负性可得a﹣9＝0，b﹣12＝0，c﹣15＝0，从而可得a＝9，b＝12，c＝15，然后利用勾股定理的逆定理进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，，∴b＝＝＝2；（2）△ABC是直角三角形，理由：∵|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，∴a﹣9＝0，b﹣12＝0，c﹣15＝0，∴a＝9，b＝12，c＝15，∵a2+b2＝92+122＝225，c2＝152＝225，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了绝对值的非负性，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．24．（2022秋•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，且CB2＝AE2﹣CE2．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）若AC＝12，BC＝9，求CE的长．【分析】（1）根据垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理可以判断△BEC的形状，从而可以得到∠ACB＝90°；（2）根据（1）中的结果和勾股定理，可以计算出CE的长．【解答】（1）证明：连接BE，如图所示，∵ED垂直平分AB，∴AE＝BE，∵CB2＝AE2﹣CE2，∴CB2＝BE2﹣CE2，∴CB2+CE2＝BE2，∴△BEC是直角三角形，∴∠ACB＝90°；（2）解：设CE＝x，则AE＝12﹣x，∵BE＝AE，∴BE＝12﹣x，∵∠ECB＝90°，BC＝9，∴CB2+CE2＝BE2，∴92+x2＝（12﹣x）2，解得x＝，即CE＝．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2022秋•南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°．求证：∠C＝90°．【分析】连接BD，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，然后再利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，即可解答．【解答】证明：连接BD，∵AB＝20，AD＝15，∠A＝90°，∴BD＝＝＝25，在△BCD中，BC2+CD2＝242+72＝625，BD2＝252＝625，∴BD2＝BC2+CD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠C＝90°．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．26．（2022秋•邗江区校级月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．请求出线段DE的长．【分析】求出BD，求出AD2+BD2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°即可；求出AC＝AB＝10，根据三角形的面积公式求出DE即可．【解答】解：∵BC＝12，AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC＝6，∵AD＝8，AB＝10，∴BD2+AD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC；∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，∴AB＝AC，∵AB＝10，∴AC＝10，∵△ADC的面积S＝AD•DC＝AC•DE∴＝，解得：DE＝4.8．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．27．（2022秋•滨海县期中）如图所示的一块土地，测量得AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，∠ABC＝90°，求这块土地的面积．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，再分别求出△CAD和△CBA的面积即可．【解答】解：连接AC，∵AB＝3m，BC＝4m，∠ABC＝90°∴AC2＝BC2+AB2＝25，∴AC＝5m，∵CD＝13m，AD＝12m，∴AC2+AD2＝CD2，∴△CAD是直角三角形，即∠CAD＝90°，∴这块土地的面积S＝S△CAD﹣S△CAB＝﹣＝＝24（m2），答：这块土地的面积是24m2．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出△CAD是直角三角形是解此题的关键．五．勾股数（共1小题）28．（2022秋•江都区期末）下面各组数中，勾股数是（）A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1，，2【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【解答】解：A、都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；B、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；C、52+122＝132，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；D、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股数的概念，正确记忆满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解题关键．六．勾股定理的应用（共7小题）29．（2021秋•洪泽区校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝＝10（米）．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．30．（2022秋•邗江区校级月考）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；故橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．31．（2022秋•金湖县期中）将一根24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为5cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．h≤19 B．11≤h≤19 C．12≤h≤19 D．13≤h≤19【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后根据勾股定理求出AB的长，即可解决问题．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，此时h＝24﹣5＝19（cm），当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝12cm，BD＝5cm，∴AB＝＝＝13（cm），此时h＝24﹣13＝11（cm），所以h的取值范围是11≤h≤19．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．32．（2022秋•工业园区校级月考）放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是100米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，则小红和小颖家的直线距离为（）A．300米 B．400米 C．500米 D．700米【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．【解答】解：根据题意得：如图：OA＝100×4＝400（米）．OB＝100×3＝300（米）．在直角△OAB中，AB＝＝＝500（米）．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题的关键．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．33．（2022秋•惠山区期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B离远处竹子C的距离BC为3尺，则折断后的竹子AC＝尺．（注：1丈＝10尺．）【分析】设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝，故答案为：．【点评】此题考查了勾股定理的应用以及数学常识，由勾股定理得出方程是解题的关键．34．（2022秋•江阴市期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？【分析】设绳索AD的长度为xm，则AC＝（x﹣2）m，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，设绳索AD的长度为xm，则AC＝（x﹣2）m，∴x2＝62+（x﹣2）2，解得：x＝10，答：绳索AD的长度是10m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．（2022秋•锡山区期中）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．（1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝600米，求得PQ＝1200米，于是得到结论．【解答】解：（1）村庄能听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，∴村庄能听到宣传；（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，∴BP＝BQ＝＝600（米），∴PQ＝1200米，∴影响村庄的时间为：1200÷300＝4（分钟），∴村庄总共能听到4分钟的宣传．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．一．选择题（共7小题，满分21分，每小题3分）1．（3分）如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（）A． B．2 C． D．【分析】根据网格特征和勾股定理求出△ABC的边长和面积，利用三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，由网格特征和勾股定理可得，AB2＝12+12＝2，AC2＝22+22＝8，BC2＝12+32＝10，∴AB2+AC2＝2+8＝10＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AB•AC＝BC•AD，即×2＝AD，∴AD＝，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，分母有理化，掌握网格特征和勾股定理是正确解答的关键．2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．6，7，8 B．1，，5 C．6，8，10 D．，2，【分析】欲判断是否是直角三角形，则需满足较小两边平方的和等于最大边的平方．【解答】解：A、62+72≠82，故不是直角三角形；B、12+（）2≠52，故不是直角三角形；C、62+82＝102，故是直角三角形；D、（）2+（2）2＝（）2，故不是直角三角形；故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3．（3分）若三角形三条边的长分别是7，24，25，则这个三角形的最大内角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根据勾股定理逆定理可得此三角形是直角三角形，进而可得答案．【解答】解：∵72+242＝252，∴此三角形是直角三角形，∴这个三角形的最大内角是90°，故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．（3分）下列各组数中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．4，5，6【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；B、62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；C、72+242＝252，是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意；D、42+52≠62，不是勾股数，此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．5．（3分）下列各组数中，可以构成勾股数的是（）A．13，16，19 B．5，13，15 C．18，24，30 D．12，20，37【分析】根据勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数进行分析．【解答】解：A、132+162≠192，不能构成直角三角形，故此选项错误；B、132+52≠152，不能构成直角三角形，故此选项错误；C、182+242＝302，能构成直角三角形，故此选项正确；D、122+202＝372，不能构成直角三角形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．6．（3分）边长为a的正六边形的内切圆的半径为（）A．a B．a C．2a D．a【分析】首先求出正多边形的内切圆的半径，即为每个边长为a的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为a的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝a，∴OG＝OA•sin60°＝a，∴边长为a的正六边形的内切圆的半径为a，故选：A．【点评】本题涉及到正多边形、等边三角形及特殊角的三角函数值，作出图形，理解定义是解答此题的关键．7．（3分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C． D．【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积．【解答】解：设小正方形的边长为x，∵a＝3，b＝4，∴AB＝3+4＝7，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（3+x）2+（x+4）2＝72，整理得，x2+7x﹣12＝0，而长方形面积为x2+7x+12＝12+12＝24∴该矩形的面积为24，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键．二．填空题（共9小题，满分27分，每小题3分）8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝2，BC＝，∠ABD+∠BDC＝60°，则四边形ABCD的面积是+3．【分析】将△BCD沿BD中垂线对折，使B与D重合，C的对应点为C′，证明△AC′B是等边三角形，再求出△AC′D是直角三角形，故可求解．【解答】解：如图，将△BCD沿BD中垂线对折，使B与D重合，C的对应点为C′，∴BC′＝DC＝3，DC′＝BC＝，∠DBC′＝∠BDC，∴∠ABC′＝∠ABD+∠DBC′＝∠ABD+∠BDC＝60°，又AB＝BC′＝3，∴△AC′B是等边三角形，∴AC′＝AB＝3，∵DC′＝，AD2+AC′2＝22+32＝13，∴△AC′D是直角三角形，且∠DAC′＝90°，∴四边形ABCD的面积＝S△ABC′+S△ADC′＝×32+×2×3＝+3．故答案为：+3．【点评】本题考查了翻折的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，四边形的面积，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．9．（3分）若△ABC的三边长分别是1、、，则最长边上的中线长为．【分析】先根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可。【解答】解：∵12+（）2＝（）2，∴△ABC是直角三角形，斜边的长度是，∴最长边（斜边）上的中线长为＝，故答案为：。【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形斜边上的中线性质，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．10．（3分）有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是35．【分析】根据勾股定理即可求得另一个数．【解答】解：根据勾股定理得，中间一个数为：＝35．【点评】本题考查了勾股定理，是基础知识比较简单．11．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，则AD的长度为．【分析】过D作DM⊥BD交AB于M，过M作MN⊥AC于N，由勾股定理的BC＝12，再证△DMN≌△BDC（AAS），得DN＝BC＝12，MN＝CD＝5，然后证△AMN∽△ABC，得＝，解得AN＝，即可求解．【解答】解：如图，过D作DM⊥BD交AB于M，过M作MN⊥AC于N，则∠BDM＝∠MND＝∠MNA＝90°，在△BCD中，∠C＝90°，BD＝13，CD＝5，∴BC＝＝＝12，∵∠ABD＝45°，∴△BDM是等腰直角三角形，∴MD＝BD，∵∠MND＝∠BDM＝90°，∴∠DMN+∠MDN＝∠MDN+∠BDC＝90°，∴∠DMN＝∠BDC，在△DMN与△BDC中，，∴△DMN≌△BDC（AAS），∴DN＝BC＝12，MN＝CD＝5，∴CN＝DN+CD＝17，∵MN⊥AC，BC⊥AC，∴MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，即＝，解得：AN＝，∴AD＝AN+DN＝+12＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．12．（3分）若三角形的两边长为6和8，要使其成为直角三角形，则第三边的长为10或2．【分析】分情况考虑：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理求得第三边长是10；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理求得第三边的长是＝2．【解答】解：①当6和8为直角边时，第三边长为＝10；②当8为斜边，6为直角边时，第三边长为＝2．故答案为：10或2．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．13．（3分）附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：11，60，61．【分析】勾股定理和了解数的规律变化是解题关键．【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：112+x2＝（x+1）2，解得x＝60，则得第5组数是：11、60、61．故答案为：11、60、61．【点评】本题考查了勾股数的概念也是找规律题，发现第一个数是从3，5，7，9，…的奇数．14．（3分）如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍能放入（填“能”或“不能”）．【分析】在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．【解答】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2＝502+402+302＝5000，702＝4900，因为4900＜5000，所以能放进去．故答案是：能．【点评】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．15．（3分）如图，一棵大树在一次台风中于离地面4米处折断倒下，大树顶端落在离大树底部3米处，这棵大树在折断前的高度为9米．【分析】设出大树原来高度，用勾股定理建立方程求解即可；【解答】解：设这棵大树在折断之前的高度为x，根据题意得，42+32＝（x﹣4）2，∴x＝9或x＝﹣1（舍）∴这棵大树在折断之前的高度为9米，故答案为9，【点评】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．此题也可以直接用算术的算法求解．16．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，若图中小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半，则θ＝75°．【分析】先根据小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半，得出2sinθcosθ＝，再判断出sin∠BDC＝，进而求出∠BDC，即可求出∠A＝15°，即可求出答案．【解答】解：如图，作AC的中垂线交AB于D，交AC于E，连接CD，则AD＝CD，AC＝2AE，∴∠BDC＝2∠BAC，设AD＝x，则CD＝x，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°﹣∠A＝θ，∴DE＝xcosθ，AE＝xsinθ，∴AC＝2xsinθ，∴大正方形的边长为2xsinθ，在Rt△ABC中，AB＝2xsinθ•sinθ，BC＝2xsinθ•cosθ，∴小正方形的边长为AB﹣BC＝2xsinθ•sinθ﹣