2022长沙数学试卷+答案+解析

2022年长沙市初中学业水平考试一、选择题(每小题3分,共30分,下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的)1.(2022湖南长沙,1,3分)-6的相反数是 ()A.-16 B.-6 C.162.(2022湖南长沙,2,3分)如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体,该几何体的主视图是 ()A B C D3.(2022湖南长沙,3,3分)下列说法中,正确的是 ()A.调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查B.“太阳东升西落”是不可能事件C.为了直观地介绍空气各成分的百分比,最适合使用的统计图是条形统计图D.任意投掷一枚质地均匀的硬币26次,出现正面朝上的次数一定是134.(2022湖南长沙,4,3分)下列计算正确的是 ()A.a7÷a5=a2B.5a-4a=1C.3a2·2a3=6a6D.(a-b)2=a2-b25.(2022湖南长沙,5,3分)在平面直角坐标系中,点(5,1)关于原点对称的点的坐标是 ()A.(-5,1) B.(5,-1)C.(1,5) D.(-5,-1)6.(2022湖南长沙,6,3分)《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程,并做出明确规定.某班7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为3,5,4,6,3,3,4.则这组数据的众数和中位数分别是 ()A.3,4 B.4,3 C.3,3 D.4,47.(2022湖南长沙,7,3分)为落实“双减”政策,某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲,乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的价格为10元/本,乙种读本的价格为8元/本,设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为 ()A.8x元 B.10(100-x)元C.8(100-x)元 D.(100-8x)元8.(2022湖南长沙,8,3分)如图,AB∥CD,AE∥CF,∠BAE=75°,则∠DCF的度数为 ()A.65° B.70° C.75° D.105°9.(2022湖南长沙,9,3分)如图,PA,PB是☉O的切线,A、B为切点,若∠AOB=128°,则∠P的度数为 ()A.32° B.52° C.64° D.72°10.(2022湖南长沙,10,3分)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点A、B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交于P、Q两点②作直线PQ交AB于点D;③以点D为圆心,AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM.若AB=22,则AM的长为 ()A.4 B.2 C.3 D.2二、填空题(每小题3分,共18分)11.(2022湖南长沙,11,3分)若式子x−19在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是12.(2022湖南长沙,12,3分)分式方程2x=5x+313.(2022湖南长沙,13,3分)如图,A、B、C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为.

14.(2022湖南长沙,14,3分)关于x的一元二次方程x2+2x+t=0有两个相等的实数根,则实数t的值为.

15.(2022湖南长沙,15,3分)为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况,从该校全体1000名学生中,随机抽取了100名学生进行调查,结果显示有95名学生知晓.由此,估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有名.

16.(2022湖南长沙,16,3分)当今是大数据时代,“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点,它已被广泛应用于我们的日常生活中,尤其在全球“新冠”疫情防控期间,区区“二维码”已经展现出无穷威力,看似“码码相同”,实则“码码不同”.通常,一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成,其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码,这相当于1000个方格中只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识,这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码.现有四名网友对2200的理解如下:YYDS(永远的神):2200就是200个2相乘,它是一个非常非常大的数;DDDD(懂的都懂):2200等于2002;JXND(觉醒年代):2200的个位数字是6;QGYW(强国有我):我知道210=1024,103=1000,所以我估计2200比1060大.其中对2200的理解错误的网友是(填写网名字母代号).

三、解答题(本大题共9个小题,第17、18、19题每小题6分,第20、21题每小题8分,第22、23题每小题9分,第24、25题每小题10分,共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(2022湖南长沙,17,6分)计算:|-4|+13−1-(2)2+203518.(2022湖南长沙,18,6分)解不等式组:319.(2022湖南长沙,19,6分)为了进一步改善人居环境,提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图,AB表示该小区一段长为20m的斜坡,坡角∠BAD=30°,BD⊥AD于点D.为方便通行,在不改变斜坡高度的情况下,把坡角降为15°.(1)求该斜坡的高度BD;(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.(假设图中C,A,D三点共线)20.(2022湖南长沙,20,8分)2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”,在此期间,某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理,复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛.为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况,从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计,得到如下不完整的统计图表.成绩x/分频数频率60≤x<70150.170≤x<80a0.280≤x<9045b90≤x<10060c(1)表中a=,b=,c=;

(2)请补全频数分布直方图;(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分,从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛,请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率.21.(2022湖南长沙,21,8分)如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.22.(2022湖南长沙,22,9分)电影《刘三姐》中,有这样一个场景,罗秀才摇头晃脑地吟唱道:“三百条狗交给你,一少三多四下分,不要双数要单数,看你怎样分得均?”该歌词表达的是一道数学题.其大意是:把300条狗分成4群,每个群里,狗的数量都是奇数,其中一个群,狗的数量少,另外三个群,狗的数量多且数量相同,应该如何分?请你根据题意解答下列问题:(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案:“九十九条打猎去,九十九条看羊来,九十九条守门口,剩下三条给财主.”请你根据以上信息,判断以下三种说法是否正确,在题后相应的括号内,正确的打“√”,错误的打“×”.①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的,但不是唯一正确的答案. ()②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案. ()③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种. ()(2)若罗秀才再增加一个条件:“数量多且数量相同的三个群里,每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”,求每个群里狗的数量.23.(2022湖南长沙,23,9分)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.(1)求证:AC⊥BD;(2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=32,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长24.(2022湖南长沙,24,10分)如图,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC,BD相交于点E,点F在边AD上,连接EF.(1)求证:△ABE∽△DCE.(2)当DC=CB,∠DFE=2∠CDB时,AEBE-DECE=;AFAB+FEAD=;1AB+1AD-1(3)①记四边形ABCD,△ABE,△CDE的面积依次为S,S1,S2,若满足S=S1+S2,试判断△ABE,△CDE的形状,②当DC=CB,AB=m,AD=n,CD=p时,试用含m,n,p的式子表示AE·CE.25.(2022湖南长沙,25,10分)若关于x的函数y,当t-12≤x≤t+12时,函数y的最大值为M,最小值为N,令函数h=M−N2,我们不妨把函数(1)①若函数y=4044x,当t=1时,求函数y的“共同体函数”h的值;②若函数y=kx+b(k≠0,k,b为常数),求函数y的“共同体函数”h的解析式.(2)若函数y=2x(x≥1),求函数y的“共同体函数”h的最大值(3)若函数y=-x2+4x+k,是否存在实数k,使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.2022年长沙市初中学业水平考试1.D求一个数的相反数,只需改变这个数前面的符号,所以-6的相反数为6.2.B从正面看,得到该几何体的主视图,为选项B中的图形.3.A“太阳东升西落”是必然事件,B错误;为了直观地介绍空气各成分的百分比,最适合使用的统计图是扇形统计图,C错误;任意投掷一枚质地均匀的硬币26次,出现正面朝上的次数不一定是13,D错误.解后反思各统计图的优点:折线统计图能清楚地表示出事物的变化情况;条形统计图能清楚地表示出每个项目的数量;扇形统计图能清楚地表示出各部分占总体的百分比.4.Aa7÷a5=a7-5=a2,A正确;5a-4a=a,B错误;3a2·2a3=3×2×a2+3=6a5,C错误;(a-b)2=a2+b2-2ab,D错误.5.D由“关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数”知,点(5,1)关于原点对称的点的坐标为(-5,-1).6.A众数是一组数据中出现次数最多的数据,易知这组数据的众数是3;将这组数据按从小到大的顺序排列为3,3,3,4,4,5,6,易知这组数据的中位数为4.7.C由题意知,购买乙种读本的数量为(100-x)本,又因为乙种读本的价格为8元/本,所以购买乙种读本的费用为8(100-x)元.8.C设AE与CD的交点为H.∵AB∥CD,∴∠DHE=∠BAE=75°.∵AE∥CF,∴∠DCF=∠DHE=75°.9.B∵PA、PB是☉O的切线,A、B为切点,∴∠PAO=∠PBO=90°,∴∠P=360°-∠PAO-∠PBO-∠AOB=360°-90°-90°-128°=52°.10.B由题意知,PQ垂直平分线段AB,AD=DM,∴AD=DM=12AB=2,∠ADM=90°,∴△AMD为等腰直角三角形,∴AM=2AD=211.答案x≥19解析由题意得x-19≥0,解得x≥19.12.答案x=2解析分式方程两边同乘x(x+3),得2(x+3)=5x.解得x=2.经检验,x=2是原分式方程的解.13.答案7解析由OC⊥AB得AD=BD,△AOD与△BCD均为直角三角形,又∵点D为OC的中点,∴OD=DC,∴Rt△AOD≌Rt△BCD,∴BC=OA=7.14.答案1解析因为关于x的一元二次方程x2+2x+t=0有两个相等的实数根,所以Δ=22-4t=0,解得t=1.15.答案950解析1000×95100=950(名)16.答案DDDD解析根据幂的意义易知,2200就是200个2相乘,它是非常大的数,YYDS理解正确;易知2200>2002,DDDD理解错误;21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,……,所以个位数字循环节为4,200÷4=50,所以2200的个位数字为6,JXND理解正确;因为210=1024,103=1000,所以210>103,所以(210)20>(103)20,即2200>1060,QGYW理解正确.17.解析原式=4+3-2+1=6.18.解析解不等式①,得x>-2,解不等式②,得x≤4,∴不等式组的解集为-2<x≤4.19.解析(1)∵BD⊥AD于点D,∴∠BDA=90°.在Rt△BDA中,sin∠BAD=BDAB,∵∠BAD=30°,AB=20m∴BD=AB·sin30°=20×12=10(m)∴该斜坡的高度BD为10m.(2)∵∠BAD是△CAB的外角,∴∠BAD=∠C+∠CBA,又∠BAD=30°,∠C=15°,∴∠CBA=∠BAD-∠C=15°,∴∠CBA=∠C,∴CA=AB.又∵AB=20m,∴CA=20m,∴斜坡新起点C与原起点A之间的距离是20m.20.解析(1)30;0.3;0.4.a=150×0.2=30,b=45150=0.3,c=60150=0.(2)补全频数分布直方图如图所示:(3)将3名女生分别表示为A1、A2、A3,男生表示为B,画树状图如图:共有12种等可能的结果,其中恰好为一名男生、一名女生的结果有6种,所以选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为612=121.解析(1)证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,又∵CB⊥AB,CD⊥AD,∴∠B=∠D=90°,在△ABC与△ADC中,∠∴△ABC≌△ADC.(2)∵△ABC≌△ADC,且AB=4,CD=3,∴AD=AB=4,S△ABC=S△ADC.又∵CD⊥AD,∴S△ADC=12AD·CD=12∴S四边形ABCD=2S△ADC=2×6=12.22.解析(1)①√②×③×提示:设其中3个狗群中狗的数量均为a,另一个狗群中狗的数量为b,a,b均为奇数,则3a+b=300,利用赋值法可知,当b=9,a=97时,满足题意;当a=21,b=93时,也满足题意.据此可判断说法的正误.(2)设数量少的群里有x条狗,则数量多的三个群里,每一个群里有(x+40)条狗,由题意可得3(x+40)+x=300,解得x=45,x+40=45+40=85.答:数量多的三个群里分别有85,85,85条狗,数量少的群里有45条狗.23.解析(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,且AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.(2)∵E、F分别为AD,AO的中点,∴EF是△AOD的中位线,∵EF=32,∴OD=2EF=3∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,∴BD=2OD=6.∵AC⊥BD,∴∠AOD=90°,在Rt△AOD中,由勾股定理得AD=AO2+OD∴四边形ABCD的周长为4AD=413.24.解析(1)证明:∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ACD=∠ABD,又∵∠DEC=∠AEB,∴△ABE∽△DCE.(2)∵△ABE∽△DCE,∴AEBE=DECE,∴AEBE-如图所示,设∠CDB=α,∵DC=CB,∠DFE=2∠CDB,∴∠DAC=∠BAC=∠CDB=α,∴∠DAB=2∠CDB=∠DFE=2α.∴EF∥AB,∴∠FEA=∠BAC=∠DAC=α,∴FA=FE.∴AFAB+FEAD=EFAB+AFAD=DFDA+∴1AB+1AD=1AF,∴1AB+1(3)①△ABE,△CDE都是等腰三角形.理由:记△ADE,△BCE的面积依次为S3,S4,∵S3S1=DEBE=S2S4,∴S2S由S=S1+S2两边平方得S=S1+S2+2∴S=S1+S2+S3+S4=S1+S2+2S1∴S3+S4=2S1S2=2S3S4,配方得(S∴S3=S4,∴S3=S又∵∠DAE=∠CBE,∴AEBE=DECE=S∴AE=BE,DE=CE,∴