北京市首都师范大附属中学2026-2027学年八年级数学第一学期期末监测试题含解析

北京市首都师范大附属中学2026-2027学年八年级数学第一学期期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC=（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：52．点的位置在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如图所示，在中，，平分，交于点D，，，DE⊥AB，则（）A． B． C． D．4．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么的值为（）.A．49 B．25 C．13 D．15．下面的计算中，正确的是（）A． B．C． D．6．下列运算正确的是（）A． B． C． D．7．以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（）A．4cm，8cm，7cm B．2cm，2cm，2cmC．2cm，2cm，4cm D．6cm，8cm，10cm8．下列图形①线段、②角、③等腰三角形、④直角三角形，是轴对称图形的是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④9．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（）A． B． C． D．10．某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg，关于这个近似数，下列说法正确的是（）A．它精确到百位 B．它精确到0.01C．它精确到千分位 D．它精确到千位11．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A． B．C． D．12．下列图形中，是轴对称图形的是()A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书上，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”，请计算的展开式中从左起第三项的系数为__________．14．解方程：.15．的平方根是．16．观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，根据前面各式的规律可得（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=______（其中n为正整数）．17．a，b互为倒数，代数式的值为__．18．如图，，，垂足分别为，，添加一个条件____，可得．三、解答题（共78分）19．（8分）现要在△ABC的边AC上确定一点D，使得点D到AB，BC的距离相等．（1）如图，请你按照要求，在图上确定出点D的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=4，BC=6，△ABC的面积为12，求点D到AB的距离．20．（8分）如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE21．（8分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则S△DEF+S△CEF＝S△ABC，求当S△DEF＝S△CEF＝2时，AC边的长；（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S△DEF+S△CEF＝S△ABC，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系；（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S△DEF+S△CEF＝S△ABC是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系．22．（10分）已知一次函数的图象经过点，并且与轴相交于点，直线与轴相交于点，点恰与点关于轴对称，求这个一次函数的表达式．23．（10分）先化简，再求值（1），其中，（2），其中24．（10分）解答下列各题（1）如图1，已知OA＝OB，数轴上的点A所表示的数为m，且|m+n|＝2①点A所表示的数m为；②求代数式n2+m﹣9的值．（2）旅客乘车按规定可以随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需购买行李票，设行李票y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，其图象如图2所示．①当旅客需要购买行李票时，求出y与x之间的函数关系式；②如果张老师携带了42千克行李，她是否要购买行李票？如果购买需买多少行李票？25．（12分）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到.（图中每个小方格边长均为1个单位长度）（1）在图中画出平移后的；（2）直接写出各顶点的坐标______，______，______.（3）在轴上找到一点，当取最小值时，点的坐标是______.26．按要求用尺规作图（要求：不写作法，但要保留作图痕迹．）已知：，求作：的角平分线．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】直接根据角平分线的性质即可得出结论．【详解】∵O是△ABC三条角平分线的交点，AB、BC、AC的长分别12，18，21，∴S△OAB：S△OBC：S△OAC=AB：OB：AC=12：18：21=2：3：1．故选C．本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．2、B【分析】根据各象限内点的坐标特点，再根据M点的坐标符号，即可得出答案．【详解】解：∵点M（-2019,2019），∴点M所在的象限是第二象限．故选B．本题考查各象限内点的坐标的符号特征，解题的关键是熟记各象限内点的坐标的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．3、C【分析】根据线段的和差即可求得DC，再根据角平分线的性质即可得出DE=DC．【详解】解：∵，，∴，∵，平分，DE⊥AB，∴DE=DC=6cm．故选：C．本题考查角平分线的性质．角平分线上的点到角两边距离相等．4、A【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果.【详解】根据题意，结合勾股定理a2+b2=25，四个三角形的面积=4×ab=25-1=24，∴2ab=24，联立解得：（a+b）2=25+24=1．故选A.5、A【分析】根据幂的运算法则依次计算判断即可.【详解】解：A.，故A选项正确；B.，故B选项错误；C.，故C选项错误；D.，故D选项错误.故选A.本题考查了幂的运算性质，掌握幂的运算性质是解题的关键.6、B【分析】根据整式的混合运算法则即可求解．【详解】A.，故错误；B.，正确；C.，故错误；D.，故错误；故选B．此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．7、D【解析】分析：本题用勾股定理的逆定理.即可得出.解析：A选项中，所以不能构成直角三角形，B选项是等边三角形，所以不能构成直角三角形，C选项不能构成三角形，所以不能构成直角三角形，D选项中，所以能构成直角三角形，故选D.8、C【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得到轴对称图形，再根据对称轴的条数进行进一步筛选可得答案．【详解】解：根据轴对称图形的性质得出：线段，角，等腰三角形都是轴对称图形，故一共有3个轴对称图形．故选：C．本题主要考查了轴对称图形，关键是找到图形的对称轴．9、A【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为8，可得到x、y之间的关系式．【详解】如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、，设点坐标为，点在第一象限，，，矩形的周长为8，，，即该直线的函数表达式是，故选．本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键．10、D【分析】根据近似数的精确度求解．【详解】解：1.36×105精确到千位．故选：D．本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位的说法．11、D【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、，故本选项错误；

B、，故本选项错误；

C、是整式的乘法，不是分解因式，故本选项错误；

D、符合因式分解的意义，是因式分解，故本选项正确；故选：D．本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．12、B【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【详解】A是中心对称图形,B是轴对称图形,C是中心对称图形,D即不是中心对称图形也不是轴对称图形．故选B．本题考查对称轴图形的判断,关键在于牢记对称轴图形的定义．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）10的展开式中第三项的系数．【详解】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；

（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；

（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；∴（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），

∴第三项系数为1+2+3+…+7=1，

故答案为：1．本题考查数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．14、方程无解【分析】先去分母得到整式方程，再解所得的整式方程即可，注意解分式方程最后要写检验.【详解】解：去分母得解得经检验是原方程的增根∴原方程无解.考点：解分式方程点评：解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.15、±1．【详解】解：∵∴的平方根是±1．故答案为±1．16、xn＋1－1【解析】观察其右边的结果：第一个是x2-1；第二个是x3-1；…依此类推，则第n个的结果即可求得．（x-1）（xn+xn-1+…x+1）=xn+1-1．17、1【解析】对待求值的代数式进行化简，得∵a，b互为倒数，∴ab=1.∴原式=1.故本题应填写：1.18、AB=AD或BC=DC【分析】由题意利用全等直角三角形的判定定理，即一斜边和一直角边相等，两个直角三角形全等进行分析即可.【详解】解：∵，，AC=AC，∴当AB=AD或BC=DC时，有（HL）.故答案为：AB=AD或BC=DC.本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等直角三角形的判定定理是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）【解析】试题分析：本题需先根据已知条件，再结合画图的步骤即可画出图形．过点作交于点，作交于点根据角平分线的性质得到根据即可求得点到的距离.试题解析：(1)作∠ABC的平分线，交AC于点D，点D就是所求作的AC边上到距离相等的点.（2）如图，过点作交于点，作交于点平分即解得：点到的距离为点睛：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.20、见解析.【分析】利用SAS证明△ACF≌△BDE，根据全等三角形的性质即可得.【详解】∵AE＝BF，∴AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，又AC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴CF＝DE.本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键.21、（1）4；（2）成立，理由详见解析；（3）不成立，S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，得出DEBC，AC＝2CE，同理DF＝AC，证出四边形DECF是正方形，得出CE＝DF＝CF＝DE，得出S△DEF＝S△CEF＝2＝DE•DF＝DF2，求出DF＝2，即可得出AC＝2CE＝4；（2）连接CD，证明△CDE≌△BDF，得出S△CDE＝S△BDF，即可得出结论；（3）不成立；连接CD，同（2）得出△DEC≌△DBF，得出S△DEF＝S五边形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC．【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形DECF是矩形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∵D为AB边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，AC＝2CE，同理：DF＝AC，∵AC＝BC，∴DE＝DF，∴四边形DECF是正方形，∴CE＝DF＝CF＝DE，∵S△DEF＝S△CEF＝2＝DE•DF＝DF2，∴DF＝2，∴CE＝2，∴AC＝2CE＝4；（2）S△DEF+S△CEF＝S△ABC成立，理由如下：连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，S△ABC＝2S△BCD，∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF．S△CDE＝S△BDF．∴S△DEF+S△CEF＝S△CDE+S△CDF＝S△BCD＝S△ABC；（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．本题考查三角形全等的性质与判定,中位线的性质,关键在于熟练掌握基础知识.22、y=-4x-1．【分析】先求出点Q的坐标，继而根据关于x轴对称的点的坐标特征求出点P的坐标，然后将（-2，5），点P坐标代入解析式利用待定系数法进行求解即可．【详解】∵直线与轴相交于点，当x=0时，y=-x+1=1，∴Q（0，1），∵点恰与点关于轴对称，∴P（0，-1），将（-2，5）、（0，-1）分别代入y=kx+b，得，解得：，所以一次函数解析式为：y=-4x-1．本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求出点P的坐标是解题的关键．23、（1）3；（2）【分析】（1）根据去括号与合并同类项的法则将代数式化简，然后把给定的值代入计算即可．（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把给定的值代入计算即可．【详解】（1）解：原式=，当时，上式=；（2）解：原式=当时，上式=．本题考查的是分式的化简求值、整式的混合运算，解题的关键是注意运算顺序以及符号的处理．24、（1）①﹣；②3或﹣5；（2）①y＝x﹣5；②她要购买行李票，需买2元的行李票．【分析】（1）①根据勾股定理可以求得OB的值，再根据OA＝OB，即可得到m的值；②根据m的值和|m+n|＝2，可以得到n的值，从而可以得到n2+m﹣9的值；（2）①根据函数图象利用待定系数法可以得到y与x的函数关系式；②根据①中的函数关系式，将y＝0，x＝42分别代入计算，即可解答本题．【详解】解：（1）①由图1可知，OA＝OB，∵OB＝＝，∴OA＝，