2025-2026学年甘肃省庆阳市西峰区学院路实验学校高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学（考试时间120分钟，满分150分）一､单选题（每小题5分，总分40分）1.若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（）A. B. C. D.2.如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（）A. B. C. D.3.已知平面向量，，若，则实数（）A. B. C. D.24.在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.5.已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（）A. B. C. D.6.已知，，则的值等于（）A. B. C. D.7.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.8.若，则的值为（）A. B. C. D.二､多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，总分18分）9.下列能使成立的是（）A. B. C.与方向相反 D.或10.下列计算结果正确的是（）A. B.C. D.11.已知函数，则（）A.是偶函数 B.的最小正周期为C.的最大值为 D.在上单调递增三､填空题（每小题5分，总分15分）12.如图，，且，则实数________.13.若复数在复平面内所对应的点在直线上．请写出一个满足上述条件的复数＝_____．14.已知，，则______.四､解答题（总分77分）15.已知内角的对边分别是，若，，.（1）求；（2）求的面积.16.已知复数．（1）若复数为纯虚数，求实数的值；（2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围．17.，，（1）若，求值；（2）若，且三点一线.，求的值；（3）若，求的值.18.如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．19.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求图象的对称中心､对称轴，的单调递增区间；（3）当时，求的最值.

数学（考试时间120分钟，满分150分）一､单选题（每小题5分，总分40分）1.若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据复数相等直接求解即可.解答过程：因为，所以，所以．故选：C2.如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据路程、位移的概念分别求出、即可得解.解答过程：因为一架飞机向西飞行，再向东飞行，则飞机飞行的路程，位移为向东，所以，所以.故选：A3.已知平面向量，，若，则实数（）A. B. C. D.2答案：A解析：思路：利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.解答过程：平面向量，，由，得，所以.故选：A4.在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先利用同角三角函数的基本关系求，再运用三角形面积公式计算即得结果.解答过程：因为，，故，所以的面积为.故选：A.5.已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据向量的数量积运算律运算即可.解答过程：由题得，所以.故选.6.已知，，则的值等于（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由诱导公式得，结合角的范围求，应用倍角正弦公式求.解答过程：，又，则，∴.故选：A7.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将两式平方作差，化简即可求出答案.解答过程：由，，两式作差可得．故选：C．8.若，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据所求先利用诱导公式转化为，由于有正切值，无角度范围，结合平方公式，将所求化为分式齐次式，同除，转化为只含的式子，即可求解.解答过程：解：故选：C.二､多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，总分18分）9.下列能使成立的是（）A. B. C.与方向相反 D.或答案：ACD解析：思路：根据向量共线的定义判断可得；解答过程：解：对于A，若，则与大小相等且方向相同，所以；对于B，若，则与的大小相等，而方向不确定，因此不一定有；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若与方向相反，则有；对于D，零向量与任意向量平行，所以若或，则.故选：方法提示：本题考查平行向量共线的定义的理解，属于基础题.10.下列计算结果正确的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：根据二倍角的正弦公式即可判断A；根据二倍角的余弦公式即可判断B；先利用商数关系化弦为切，再根据两角和的正切公式即可判断C；先化切为弦，再根据二倍角的正弦公式即可判断D.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则（）A.是偶函数 B.的最小正周期为C.的最大值为 D.在上单调递增答案：AC解析：思路：由偶函数的定义可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据，结合倍角公式可得选项C正确；当时，函数可化为，根据正弦型函数的性质可得选项D错误.解答过程：因为定义域为，，所以，为偶函数，选项A正确．因为，的最小正周期不为选项，B错误．，选项C正确．，，，时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，选项D错误．故选：AC.三､填空题（每小题5分，总分15分）12.如图，，且，则实数________.答案：解析：思路：根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可得解.解答过程：由，得，所以.故答案为.13.若复数在复平面内所对应的点在直线上．请写出一个满足上述条件的复数＝_____．答案：（答案不唯一）解析：思路：设，根据题意列出，即可得出答案.解答过程：设，则在复平面内所对应的点为，所以，满足上式的有无数个，如，，等.故（答案不唯一）14.已知，，则______.答案：##0.75解析：思路：利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.解答过程：由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：，当，此时，不合题意；当，符合题意；所以.故四､解答题（总分77分）15.已知内角的对边分别是，若，，.（1）求；（2）求的面积.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值；（2）由（1）求得，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积．解答过程：（1）在中，，，，由正弦定理得，由余弦定理得，解得或不合题意，舍去，（2）由（1）知，所以，所以的面积为．方法提示：本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．16.已知复数．（1）若复数为纯虚数，求实数的值；（2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）根据纯虚数的定义即可求解，（2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解.（1）因为复数为纯虚数，所以，解的解得，；（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以解之得得．所以实数的取值范围为．17.，，（1）若，求值；（2）若，且三点一线.，求的值；（3）若，求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据向量的线性坐标运算求出，然后利用向量共线的坐标公式列方程求解即可；（2）根据向量的线性坐标运算求出，的坐标，然后利用向量共线的坐标公式列方程求解即可；（3）根据向量的线性坐标运算求出，然后利用向量垂直的坐标公式列方程求解即可．（1）因为，，所以，又，且，所以，解得；（2）因为，，所以，，又三点共线，所以，所以，解得；（3）因为，，所以，又，且，所以，解得.18.如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．答案：（1）航行速度为（2）航行方向为北偏东30°，航行速度为30,理由见解析解析：思路：（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解；（2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由(1)利用余弦定理得到方程解得对应的时间，再解得相应角，即可求解.（1）如图设小艇的速度为，时间为相遇，则由余弦定理得:,叩:,当时，取得最小值，此时速度，此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为.（2）要用时最小，则首先速度最高，即为:30，则由(1)可得:,即:,解得:，此时,此时，在中，，故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°，航行速度为30，小艇能以最短时间与轮船相遇.19.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求图象的对称中心､对称轴，的单调递增区间；（3）当时，求的最值.答案：（1）（2）对称中心：；