2025-2026学年甘肃省兰州市某校高二下册期中数学试题 含解析

/数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，，则等于（）A. B.C. D.2.下列求导运算正确的是（）A.(a为常数) B.C. D.3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为（）A.30 B.20 C.10 D.64.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（）A.12 B. C.24 D.5.设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（）A. B. C. D.6.已知函数的导函数的图像如图所示，则（）A.有极小值，但无极大值 B.既有极小值，也有极大值C.有极大值，但无极小值 D.既无极小值，也无极大值7.某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（）A.120种 B.360种 C.240种 D.720种8.已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（）A. B.2 C.1 D.二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）9.下列关于空间向量的命题中，正确的为（）A.长度相等､方向相同的两个向量是相等向量B.平行且模相等的两个向量是相等向量C.只有零向量的模等于零D.若，则是钝角10.在展开式中（）A.展开式中不存在含的项 B.展开式所有项系数和为243C.展开式中含项的系数为30 D.展开式共21项11.已知函数有两个零点，，且，则下列说法正确的是A. B.C. D.有极小值点，且三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在二项式的展开式中，的系数为___________．13.某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有___________．14.已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点．（1）求的值；（2）证明：C，E，F，G四点共面．16.有件次品，件正品混放在一起这件产品均不相同，现对这件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．（1）若恰在第次检测时，找到第一件次品，且第次检测时，才找到最后一件次品，则有多少种不同的抽法（2）一共抽取了次，检测结束，则有多少种不同的抽法（3）若至多检测次就能找到所有次品，则有多少种不同的抽法17.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若2是的极小值点，求及函数的极值．18.设函数（1）时，求函数的最大值.（2）讨论的单调性.（3）当时，证明.19.已知，其中．（1）求证：当时，；（2）讨论取不同值的时候，函数的零点个数；（3）证明：，其中．

数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，，则等于（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据空间向量的坐标运算直接求解即可.解答过程：因为，，，所以，故选：B2.下列求导运算正确的是（）A.(a为常数) B.C. D.答案：B解析：思路：根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项.解答过程：A：因为a为常数，所以，故A错误；B：，故B正确；C：，故C错误；D：，故D错误.故选：B3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为（）A.30 B.20 C.10 D.6答案：D解析：思路：分取出的两数都是偶数和取出的两数都是奇数两类求解即可.解答过程：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法．故由分类加法计数原理得，共有N=3+3=6(种)取法．答案：D4.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（）A.12 B. C.24 D.答案：C解析：思路：对求导得，根据已知有即可求，进而求.解答过程：由，得，∵当时，，解得，∴，∴当时，.故选：C.5.设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由求，解不等式求单调区间.解答过程：定义域为，，所以，解得，所以，，由解得，所以的单调递减区间为.故选：A.6.已知函数的导函数的图像如图所示，则（）A.有极小值，但无极大值 B.既有极小值，也有极大值C.有极大值，但无极小值 D.既无极小值，也无极大值答案：A解析：思路：通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值.解答过程：由导函数图像可知：导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减，在上大于等于0，于是原函数在上单调递增，所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选：A.7.某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（）A.120种 B.360种 C.240种 D.720种答案：C解析：思路：由捆绑法结合排列数计算即可求解.解答过程：先将2位老师看作一个整体和4名学生全排有，2位老师自身有，所以2位老师相邻，不同的排法共有，故选：C8.已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（）A. B.2 C.1 D.答案：A解析：思路：先将不等式变形可得，然后通过分析可得，代入，通过求导求解函数的最值即可求解.解答过程：将不等式变形，可得，要使不等式恒成立，需满足：当时，，因此需，当时，，因此需，若同时满足上述两个要求，则，下面验证时，恒成立，当时，，所以，所以，当时，，所以，所以，当时，，所以时，不等式恒成立，所以，令，所以，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最大值，最大值为，所以的最大值为.故选.二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）9.下列关于空间向量的命题中，正确的为（）A.长度相等､方向相同的两个向量是相等向量B.平行且模相等的两个向量是相等向量C.只有零向量的模等于零D.若，则是钝角答案：AC解析：思路：根据相等向量的定义判断即可；利用零向量的定义判断C；根据向量数量积的定义，结合余弦函数的图象分析即可判断.解答过程：对于A，根据相等向量的定义即可判断，故A正确；对于B，因一对相反向量满足平行且模相等，但不是相等向量，故B错误；对于C，因任何非零向量的模都是正数，只有零向量的模等于零，故C正确；对于D，由可得，结合余弦函数的图象知，当时，满足，但是不是钝角,故D错误.故选：AC.10.在展开式中（）A.展开式中不存在含的项 B.展开式所有项系数和为243C.展开式中含项的系数为30 D.展开式共21项答案：BCD解析：思路：表示个相乘，含的项是在个中选个，个，即可判断A，令，即可得到展开式的系数和，从而判断B，含项是在个中选个，个，个，根据组合数公式判断C，将问题转化为盒子中取元素，即可得到展开式的项数，即可判断D.解答过程：表示个相乘，含的项是在个中选个，个，所以展开式中含的项的系数为，故A错误；令，则展开式所有项系数和为，故B正确；含项是在个中选个，个，个，所以展开式中含的项的系数为，故C正确；的展开式的项可以理解为有个盒子，每个盒子中均有、、三个元素，现在从每个盒子中各取出个元素，再将它们相乘，若只选一个字母则有种，若选个字母则有种，若选个字母则有种，故展开式共有项，故D正确；故选：BCD11.已知函数有两个零点，，且，则下列说法正确的是A. B.C. D.有极小值点，且答案：ABD解析：思路：求得函数的导数，得到函数的单调区间，利用函数的性质，逐项判定，即可求解.解答过程：由题意，函数，则，当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为函数有两个零点且，则，且，所以，解得，所以A项正确；又由，取，则，所以，所以，所以B正确；由，则，但不能确定，所以C不正确；由函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值点为，且，所以D正确；故选ABD.方法提示：本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与极值，以及研究函数的零点问题，其中解答中熟记导数在函数的应用，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在二项式的展开式中，的系数为___________．答案：解析：解答过程：2x2−1x令，解得，则的系数为−13213.某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有___________．答案：72解析：思路：分选中甲和没有选中甲两种情况分别求解即可.解答过程：当选中甲时，则只需从剩下的4人中选3人，先排甲，共有种安排方法；当没有选中甲时，则就是除甲外的4个人的全排列，共有种安排方法；所以一共有种安排方法.14.已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．答案：18解析：思路：求出函数的导数，可得的表达式，由此化简推出，结合说明，继而利用基本不等式，即可求得答案.解答过程：由于，故，故，，则，由，得，由，即，知位于之间，不妨设，则，故，当且仅当，即时等号成立，故则的最小值为18，故18方法提示：关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达式推出，并说明，然后利用基本不等式求最值即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点．（1）求的值；（2）证明：C，E，F，G四点共面．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，写出向量坐标，利用数量积公式即得；（2）求出，得到四点共面.（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以平面，又因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系，∵，∴，，，，∴，，∴.（2）证明：由（1）得：，因为，，因为不共线，所以令，即，解得，∴.故C，E，F，G四点共面.16.有件次品，件正品混放在一起这件产品均不相同，现对这件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．（1）若恰在第次检测时，找到第一件次品，且第次检测时，才找到最后一件次品，则有多少种不同的抽法（2）一共抽取了次，检测结束，则有多少种不同的抽法（3）若至多检测次就能找到所有次品，则有多少种不同的抽法答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由题意可得第次和第次为次品，第次测试为正品，由此求解即可；（2）由题意可得前次有次为次品剩下次为正品，由此求解即可；（3）分第次测出次、前次有次测出次品第次测出次品、前次有次测出次品第次测出次品三种情况求解即可.（1）第次和第次为次品，第次测试为正品种；（2）一共抽取次结束，则前次有次为次品剩下次为正品，第5次检测时，恰好满足找到全部2件次品或全部4件正品的条件，因此前4次检测中有1件次品和3件正品，第5次检测的是剩下的2件产品（1次品，1正品）之一，故不同的抽法有

C2（3）第次测出次品结束：；前次有次测出次品第次测出次品结束：；前次有次测出次品第次测出次品结束.共有种.17.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若2是的极小值点，求及函数的极值．答案：（1）（2），的极小值为，极大值为.解析：思路：（1）根据导数的几何意义求函数在处的切线方程.（2）法一：讨论函数的单调性，确定函数的极值，根据极小值确定，进而确定极大、极小值；法二：根据函数在处的导数为0，得到的值，再分别验证，保证在处取得极小值，求出的值，进而确定极大、极小值.（1）当时，，则，又，则，即曲线在处的切线斜率，故在处的切线方程为.（2）法一：，令，得或.因为是函数的极小值点，所以必有，则，当或时，，当时，.所以函数在和上单调递增，在上单调递减.则时取极小值，即，此时，则的极大值为，极小值为．法二：，2是的极小值点，则，得或6，若时，，．则当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.此时2是的极大值点，不符合题意，舍去．若时，，，则当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.故2是的极小值点，符合题意，此时极小值为，极大值为．综上所述，，且的极小值为，极大值为．18.设函数（1）时，求函数的最大值.（2）讨论的单调性.（3）当时，证明.答案：（1）（2）答案见解析（3）证明见解析解析：思路：（1）求出导函数，根据导函数正负判断出原函数单调性，即可得出