2025-2026学年甘肃省天水市第二中学等校高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（）A.① B.② C.③ D.④2.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.3.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是（）A. B. C. D.4.已知，，则等于（）A. B.C. D.5.某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（）A. B.0 C. D.6.已知两个向量，，且，则的值为（）A.1 B. C. D.67.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（）．A. B.C. D.10.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点B.0是函数的极小值点C.函数的单调递增区间是D.函数的单调递减区间是11.若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（）A.的图象关于中心对称B.在点处的切线方程为：C.最小值为D.对任意，，都有第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为________.13.函数的单调增区间是___________.14.在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知空间三点，设（1）求；（2）若向量与互相垂直，求实数k的值.16.已知函数在时取得极大值4.（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.17.如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点．（1）求证：平面ABD；（2）求异面直线AC与BD所成角的余弦值．18.如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，.（1）求二面角的余弦值；（2）线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，求证：．

数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（）A.① B.② C.③ D.④答案：C解析：思路：分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.解答过程：①，②，③，④．故选：C．2.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用基本初等函数的导数即可得解.解答过程：对于A，因为(为常数),所以，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C3.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据空间中关于坐标轴对称的点的坐标特征可直接得到结果.解答过程：关于轴的对称点坐标为，即.故选：B.4.已知，，则等于（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据向量坐标运算即可.解答过程.故选：B.5.某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（）A. B.0 C. D.答案：C解析：思路：根据诱导公式化简函数，然后求出导函数，代入计算即可求解.解答过程：由题可得位移是关于时间的函数，且满足，则，则该弹簧振子在时的瞬时速度是.故选：C6.已知两个向量，，且，则的值为（）A.1 B. C. D.6答案：C解析：思路：由知必存在，使得，即，即可求解.解答过程：因为，所以存在使得，即，所以.故选：C.方法提示：事实上，若且，则必存在，使得，即，若均不为零，则有.7.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意可得在上恒成立，参变分离后计算即可得.解答过程：由题意可得在上恒成立，故在上恒成立，由，故.故选：B.8.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：结合题意可将问题转化为方程有两个不同正实数根、，解出方程组即可得.解答过程：，由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点，即当时，有两个不同正实数根，令方程有两个不同正实数根为、，则有，，则，解得，

即实数a的取值范围是.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（）．A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：由空间向量的线性运算进行求解即可．解答过程：对于A，四边形是平行四边形，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确．故选：ACD．10.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点B.0是函数的极小值点C.函数的单调递增区间是D.函数的单调递减区间是答案：BC解析：思路：根据导函数的正负，即可判断原函数单调性和极值，得出正确选项.解答过程：由题意可得，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误.故选：BC11.若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（）A.的图象关于中心对称B.在点处的切线方程为：C.最小值为D.对任意，，都有答案：ABD解析：思路：求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A，利用导数的几何意义即可判断B，由，即可判断C，利用作差法判断D.解答过程：因为，则，又是偶函数，所以，即，所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为，且，即为奇函数，所以的图象关于中心对称，故A正确；，，所以在处的切线方程为，即，故B正确；，故C错误；设任意，则，，则，又，所以，当且仅当时取等号，所以对任意，都有，故D正确；故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为________.答案：解析：思路：根据切点和斜率求得切线方程.解答过程：，，切线斜率，故切线方程为，即.故13.函数的单调增区间是___________.答案：##解析：思路：首先对求导，可得，令，解可得答案．解答过程：解：由得，故的单调递增区间是.故14.在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为______.答案：##解析：思路：先证明平面，再求出平面的法向量和直线的方向向量，应用点到平面的距离公式求得结果.解答过程：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，所以，所以，而平面，平面，故平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离.又，，设平面的法向量为，故，即，取，则，又，故点到平面的距离为.故答案为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知空间三点，设（1）求；（2）若向量与互相垂直，求实数k的值.答案：（1）（2）或解析：思路：（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得；（2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值.（1）由题意，，则；（2）由（1）可得因向量与互相垂直，则得：，解得，或.16.已知函数在时取得极大值4.（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.答案：（1）；（2）最大值为4，,最小值为0.解析：思路：（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.（1），由题意得，解得.此时，，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以在时取得极大值.所以.（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.17.如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点．（1）求证：平面ABD；（2）求异面直线AC与BD所成角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）．解析：思路：（1）取AB的中点F，连接DF，EF，可证得四边形是平行四边形，进而得到，根据线面平行的判定定理可证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据线线角的向量求法可求得结果.（1）如图，取AB的中点F，连接DF，EF，因为E是的中点，所以，且，又，，D是的中点，∴，，∴四边形是平行四边形．∴，又平面ABD，平面ABD，∴平面ABD．（2）以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，从而，．∴，∴直线AC与BD所成角的余弦值为．18.如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，.（1）求二面角的余弦值；（2）线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先利用面面垂直的性质定理证平面，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解；（2）利用共线关系表示点的坐标，利用列式求解即可求解.（1）取的中点为.平面平面平面，平面平面，平面.以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，过且平行的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量为即令，则.又平面的法向量为，则，设二面角的平面角为，由图形知为锐角，，即二面角的余弦值为.（2）设，，.又平面的法向量为平面，∴，∴，，即.∴，故在线段上存在点，使平面，且的值是.