2025-2026学年广东广州思源学校高二下册4月份月考数学试题 含解析

/数学一、单选题（40分）1.如图所示，运动方程在，两点间的平均速度等于（）A.1 B. C.2 D.2.函数的图像如图所示，则（）A. B.C. D.的正负不确定3.小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（）A.5 B.6 C.8 D.94.计算：（）A.120 B.90 C.60 D.305.已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（）A.1 B. C. D.6.函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.7.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A.120 B.60 C.30 D.208.函数，若存在，使有解，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（18分）9.下列命题正确的有（）A.已知函数，若，则B.已知函数在上可导，若，则C.D.设函数的导函数为，且，则10.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）A.从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D.若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的单调递减区间是B.若，则方程有两个不等的实根C.若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为D.若过点可以作曲线的三条切线，则三、填空题（15分）12.函数在区间上的最小值为__________．13.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答）14.设，若函数在区间上单调，则的取值范围是______．四、解答题（13+15+15+17+17=77分）15.（1）求函数在处的导数；（2）求函数在处的导数（3）计算的值.（4）用排列数表示（且）.16.口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球．（1）至少有一个白球的取法有多少种？（2）两球的颜色相同的取法有多少种？17.用0，1，2，3，4，5可组成多少个：（1）没有重复数字的四位数？（2）没有重复数字且被5整除的四位数？（3）比2000大且没有重复数字的自然数？18.已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．思考题：20.已知，恒成立，求正数的取值范围.

数学一、单选题（40分）1.如图所示，运动方程在，两点间的平均速度等于（）A.1 B. C.2 D.答案：B解析：解答过程：由平均变化率公式可知：平均速度为．2.函数的图像如图所示，则（）A. B.C. D.的正负不确定答案：B解析：思路：由导数的几何意义求解即可.解答过程：由题中图像可知，函数在上单调递减，故在上有．故．故选：B3.小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（）A.5 B.6 C.8 D.9答案：B解析：思路：根据分步乘法计数原理可得.解答过程：先选羽绒服有3种情况，再选棉裤有2种情况，根据分步乘法计数原理，共有搭配种数．故选:B．4.计算：（）A.120 B.90 C.60 D.30答案：A解析：解答过程.5.已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（）A.1 B. C. D.答案：D解析：思路：根据和求出即可求解.解答过程：依题意有，，又，即，，，.故选：D.6.函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求得函数的导函数，进而求出其单调递减区间，再借助集合的包含关系即可求解.解答过程：函数的定义域为，求导得，令，解得，所以函数的单调递减区间为，又函数在上单调递减，所以.所以实数的取值范围为.故选：B.7.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A.120 B.60 C.30 D.20答案：B解析：思路：利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.解答过程：不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.故选：B.8.函数，若存在，使有解，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围.解答过程：若存在，使得有解，即．设，，则．令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以．故的取值范围为．故选：A二、多选题（18分）9.下列命题正确的有（）A.已知函数，若，则B.已知函数在上可导，若，则C.D.设函数的导函数为，且，则答案：BD解析：思路：A选项，根据复合函数的导数运算，求出，再由，解方程即可判断A错；B选项，根据导数的概念，可判断B正确；C选项，由导数的除法运算法则，可判断C错；D选项，对函数求导，令，即可判断D正确；解答过程：A选项，由，得，则，解得，故A错；B选项，由题意，根据导数的概念可得，则，故B正确；C选项，根据导数的运算法则可得，，故C错；D选项，由得，则，解得，故D正确；故选：BD10.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）A.从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D.若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法答案：BD解析：思路：根据分类与分步计数原理逐个计算即可.解答过程：A选项：取2个球，红、黄各1，有种选法，该选项错误.B选项：每种颜色选出1个球，共取3个，有种选法，该选项正确.C选项：要选出不同颜色的2个球，有3种情况：若取1红1黄，有种选法；若取1红1绿，有种选法；若取1黄1绿，有种选法；因此共有种选法，该选项错误.D选项：甲先选有15种选法，乙再选有14种选法，所以共有种选法，该选项正确.故选：BD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的单调递减区间是B.若，则方程有两个不等的实根C.若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为D.若过点可以作曲线的三条切线，则答案：ACD解析：思路：对A，由及函数连续性可判断；对B、D，将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断；对C，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，求出点坐标，用点到直线距离公式求最值.解答过程：对于A：，由得，又函数在连续，所以的单调递减区间是，A正确；对于B：当时，单调递增；当时，单调递减；当时，取得最大值，又时，；时，，所以的图象大致如图：当时，函数与函数图象有两个交点，即方程有两个不等的实根，B错误；对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，设点，则，解得，此时，点到直线的距离，C正确；对于D：设过点的切线切点为，则，整理得，若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点，对函数，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.又当时，；当时，；时，；时，，所以函数的图象大致如下：则当时，函数与函数有三个交点，此时过点可以作曲线的三条切线，D正确.故选：ACD.三、填空题（15分）12.函数在区间上的最小值为__________．答案：解析：思路：根据函数求导判断函数单调性，进而求得最值.解答过程：由，得.令，解得，.在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以最小值为.故-2.方法提示：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．13.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答）答案：72解析：思路：本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色依次讨论即可.解答过程：按照使用颜色的种类分类，第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有(种)，第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有(种)所以共有48+24=72(种)故7214.设，若函数在区间上单调，则的取值范围是______．答案：解析：思路：由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得.解答过程：，设，则，故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，的取值范围是.故四、解答题（13+15+15+17+17=77分）15.（1）求函数在处的导数；（2）求函数在处的导数（3）计算的值.（4）用排列数表示（且）.答案：（1）；（2）；（3）720；（4）解析：思路：（1）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数即可求解；（2）先根据导数的除法法则求解出的导函数，然后将代入导函数即可求解（3）利用排列数公式计算即得；（4）根据连乘积式，联想到排列数公式，求出最大数和因数个数即可表示出来.解答过程：（1）因为函数可以看作函数和的复合函数，所以，所以当时，y'x（2）根据导数的除法法则可知y′所以当时，y'x（3）；（4）∵中的最大数为，且共有69−n−55−∴55−n16.口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球．（1）至少有一个白球的取法有多少种？（2）两球的颜色相同的取法有多少种？答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解；（2）根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解；（1）根据题意分2类完成任务：第一类：白球红球各一个有种，第二类：均为白球，种，所以共有种；（2）根据题意分2类完成任务：第一类：均为白球，种，第二类：均为红球，种，所以共有种．17.用0，1，2，3，4，5可组成多少个：（1）没有重复数字的四位数？（2）没有重复数字且被5整除的四位数？（3）比2000大且没有重复数字的自然数？答案：（1）300；（2）108；（3）1440解析：思路：（1）先考虑千位，再考虑剩余的百位，十位和个位；（2）考虑个位是0或5两种情况，再用分类加法原理计算；（3）从四位数，五位数和六位数考虑，再用分类加法原理计算.解答过程：（1）千位可以从1，2，3，4，5中任选一个，有种，剩余的百位，十位和个位，可以从剩余的5个数中任意选择，所以有种，所以没有重复数字的四位数共有种（2）没有重复数字且被5整除的四位数，分两种情况：个位数字为0时，有种；个位数字为5时，千位可以从从1，2，3，4种任选一个，有4种，剩下的百位和十位可以从剩余的四个数种选择两个的排列，有，则有种，利用分类加法原理可得：共有种.（3）比2000大的自然数，当是四位数时，首先从2，3，4，5中选一个有4种选法，再从剩下的元素中选3个，有种，共有种；当是五位数时，共有种选法；当是六位数时，共有种选法；故共有240+600+600=1440种，所以比2000大的自然数共有1440种.18.已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案；（2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案.（1）由函数，求导可得，由函数在处取极大值，则，解得或，当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极大值，符合题意.综上所述，.（2）由（1）可得函数，求导可得，令，解得或，可得下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的极大值为，极小值为，函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，如下图：由图可得，则.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：