2025-2026学年广东省广州市番禺区石楼镇三校高二下册期中教学质量监测数学试题 含解析

/数学本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量．若，则（）A. B.4 C.1 D.2.下列求导正确的是（）A. B. C. D.3.用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.24 B.32 C.52 D.604.某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种5.已知，则不等式的解集是（）A. B. C. D.6.现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（

）A.将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法B.将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法C.将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种D.将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法7.已知，则下列描述正确的是（）A. B.除以5所得的余数是1C. D.8.已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（）A. B. C. D.10.已知直线，圆，则下列说法正确的是（）A.直线与圆相交B.直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为C.若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条D.若，是圆上任意一点，则11.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A.B.在上单调递减C.的极值点个数为2D.若方程有三个实数根，则t的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数是______.（用数字作答）13.已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点且直线与轴垂直，若，则的面积为______.14.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值．（1）求函数的极值；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．16.各项均不相等的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.17.如图，在四棱锥中，平面，是的中点．（1）求证：平面；（2）若，（i）求平面与平面夹角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18.某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：企业ABCDEFG研发投入x（万元）3006009001200200028004000年度专利产出数y（件）357691011（1）现从这7家企业中随机抽取1家．记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”．（i）求条件概率的值（ii）判断事件M与N是否相互独立，并说明理由；（2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列．19.已知函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有两个零点，求a的取值范围.

数学本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量．若，则（）A. B.4 C.1 D.答案：C解析：解答过程：由题意，，即.2.下列求导正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解.解答过程：选项A：是常数，常数的导数为，即，错误；选项B：由指数函数求导公式，得，错误；选项C：由复合函数求导法则，，错误；选项D：由基本三角函数求导公式，，正确.3.用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.24 B.32 C.52 D.60答案：C解析：思路：结合题意，分这个三位数的末尾数字为0和不为0两种情况讨论求解即可.解答过程：当这个三位数的末尾数字为0时，只需从1，2，3，4，5，这5个数字选两个数字排到百位与十位上，有个没有重复的三位数；当这个三位数的末尾数字不为0时，先从2，4，这两个数字中选一个排在个位，有种情况；再排百位，由于百位不能为0且不能与个位数字重复，有种情况；最后排十位，从剩下的4个数字中任选一个，有种情况；所以，根据分步乘法计数原理，共有个没有重复的三位数，综上，满足题意的偶数有52个.4.某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：C解析：思路：直接用间接法计算可得.解答过程：因为从人中选人一共有种不同的选法，若选中的人均为专家人员的有种不同的选法，所以至少有一名工程师被选中的选法共有种不同的选法.5.已知，则不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，且等号仅在

时成立，所以在上严格单调递增，由可得，解得或，所以不等式的解集为.6.现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（

）A.将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法B.将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法C.将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种D.将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法答案：D解析：思路：根据分步计数乘法原理即可求解判断A；把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书进行排列即可计算求解判断B；先全排再根据定序问题计算求解即可判断C；根据先分组后排序计算即可求解判断D.解答过程：对于A，将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，每本书均有6种不同的放法，根据分步计数乘法原理，共有种放法，所以A不正确；对于B，将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，可把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书，共有种放法，所以B不正确；对于C，将五本书并排成一排，，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的排法有种，所以C不正确；对于D，将5本不同的书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有种分组方法，再将其分给三人，共有种分法，所以D正确.故选：D7.已知，则下列描述正确的是（）A. B.除以5所得的余数是1C. D.答案：B解析：思路：结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案.解答过程：对于A：令得：；令，得．，因此A错误；对于B：，因此B正确对于C：因为二项展开式的通项公式为，由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以，由，令，得到，令，得到，所以，因此C错误对于D：对原表达式的两边同时对求导，得到，令，得到，令，得所以，所以选项D错误．故选：B8.已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据方程联立求得，再代入椭圆方程构造齐次式即可得解.解答过程：如图，因为椭圆关于原点对称，直线过原点，所以，关于原点对称，设椭圆的左焦点为，连接，，由椭圆的对称性可得，所以四边形为平行四边形，又因为，所以平行四边形是矩形，所以，，所以点在圆上，则，解得，代入椭圆方程，又，可得：，设（），则上式可化为，化简可得，即，因为，所以，解得.所以椭圆的离心率为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：由对立事件概率可得A；利用条件概率公式可求B；根据可得C；由全概率公式可判断D.解答过程：因为，所以，故A正确；因为，所以，故B正确；因为，根据乘法公式得，，故C正确；由全概率公式可得，，故D错误，故选：ABC．10.已知直线，圆，则下列说法正确的是（）A.直线与圆相交B.直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为C.若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条D.若，是圆上任意一点，则答案：ABD解析：思路：对于A，判断直线的定点与圆的位置关系，进而确定直线与圆的位置关系；对于B，根据直线被圆截得的弦长最短和最长时，直线与的关系确定弦长的最小值和最大值；对于C，根据圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，结合圆心到直线的距离公式求出的值；对于D，根据两点距离公式列出等式，化简即可.解答过程：对于A，直线的方程变形为，过定点，设为点.将点代入圆方程的左侧得，所以点在圆内，所以直线与圆相交，A正确；对于B，圆方程变形为，圆心，半径为.当与弦垂直时，此时直线被圆截得弦长取最小值，为，当直线为所在的直线时，此时直线被圆截得弦长取最大值，为.所以直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为，B正确；对于C，因为圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则圆心到直线的距离为.则，化简得，解得，所以圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有1条，C错误；对于D，设，因为，所以，因为，所以，等式两边平方得，化简得，与圆的方程一致，所以D正确.11.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A.B.在上单调递减C.的极值点个数为2D.若方程有三个实数根，则t的取值范围是答案：BC解析：思路：选项A：计算时的函数值，再利用奇函数的性质得出；选项B：对时的函数求导以确定其在上的单调性，然后利用奇函数在对称区间单调性相同的性质进行推断；选项C：利用导数求出时的极值点，结合对称性得出时的极值点，并分析极限排除是极值点的可能；选项D：根据单调性、极值和零点作出函数的大致图像，运用数形结合寻找直线与图像有三个交点时的范围.解答过程：对于A，，由奇函数可得，故A错误；对于B，时，，当时，x−1<0,x+3>0,e即在上单调递减，由奇函数可得在上单调递减，故B正确；对于C，当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故为的极小值点，由奇偶性可得，为的极大值点，当时，，当时，由奇偶性可得，故不满足局部最大或最小，故不是极值点，则一共有2个极值点，故C正确；对于D，由上知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，当时，，根据奇偶性作图象如下，若方程有三个实数根，即与的图象有3个交点，则，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数是______.（用数字作答）答案：24解析：思路：利用二项式展开的通项公式，求出项对应的值，再计算该项的系数.解答过程：二项式的展开式通项公式为.令，则含项的系数为.故2413.已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点且直线与轴垂直，若，则的面积为______.答案：解析：解答过程：由题意得，所以，所以，所以.14.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.答案：解析：思路：先求出曲线在点处的切线方程，再设出该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和切点既在切线上又在曲线上进行求解.解答过程：由题意可得：，当时，，所以曲线在点处的切线为：，即，设切线与曲线的切点为，对求导可得：，又因为切线的斜率等于曲线在切点处的导数，所以，即，又因为在切线上，所以，所以在曲线上，即，求解可得.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值．（1）求函数的极值；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．答案：（1）极大值为，极小值为；（2）解析：思路：（1）利用导数的几何意义，函数极值与导数值为0的关系，可求解参数，再利用单调性可求出极值;（2）利用存在性问题满足的条件是，则只需要利用单调性结合端点值可求最小值，即可得参数范围.（1）由题得：，结合题意可得:，解得，可得：，．当，，所以在上单调递增，当，，所以在上单调递减，当，，所以在上单调递增，所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，故函数取得极大值为，极小值为（2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以在时有最小值，所以要使不等式能成立，则．所以故取值范围是．16.各项均不相等的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得，则可得通项公式.（2）根据（1）的结论可得，然后利用裂项相消求和，可得结果.解答过程：（1）因为各项均不相等，所以公差由等差数列通项公式且，所以，又成等比数列，所以，则，化简得，所以即可得即（2）由（1）可得化简可得由所以方法提示：本题主要考查利用裂项相消法求和，属基础题.17.如图，在四棱锥中，平面，是的中点．（1）求证：平面；（2）若，（i）求平面与平面夹角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析（2）（i）（ii）存在，解析：思路：（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行；（2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值；（ii）设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可.（1）取中点，连接，因为为中点，所以，且，又，所以，所以四边形为平行四边形，即，又平面，平面，所以平面；（2）（i）因为平面，且，以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，因为平面，平面，所以平面平面，又因为平面平面平面，所以平面，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则不妨取，则，则，所以平面与平面夹角的正弦值为；（ii）存在点满足题意，易知，假设存在点满足题意，设，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离，化简可得，解得或（舍去），即.18.某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：企业ABCDEFG研发投入x（万元）3006009001200200028004000年度专利产出数y（件）357691011（1）现从这7家企业中随机抽取1家．记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”．（i）求条件概率的值（ii）判断事件M与N是否相互独立，并说明理由；（2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列．答案：（1）（i）；（ii）事件与不相互独立，理由见上述解析.（2）解析：0123思