2025-2026学年广东省华附、省实、广雅、深中四校高二下册期末联考试卷数学 含解析

/华附、省实、广雅、深中2023级高二下学期四校联考数学深圳中学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B. C. D.【正确答案】A【详解】由抛物线化为标准方程得，则抛物线的焦点到准线的距离为，故选：A.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】不等式等价于，解得：且，因为且是的真子集，所以是的必要不充分条件.故选：B.3.已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为（）A. B. C.3 D.－3【正确答案】C【详解】由题意知向量，，则故向量在向量方向上的投影向量为，故向量在向量方向上的投影向量的模为，故选：C4.已知数列的前项和，，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】由可得：，则，解得.故选：C.5.函数的极小值点是（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】对函数求导得，.令，则或.若，则或；若，则.所以函数在，上单调递增，在上单调递减.所以函数的极小值点是.故选：C.6.若随机事件满足，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】因为，所以，所以.所以.故选：C.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（）A B. C. D.【正确答案】B【详解】因为在双曲线的右支上，所以由双曲线的定义可得：，又因为，所以，.则，即.故选：B.8.若曲线()与圆有公共点，且在点处的切线相同，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】对曲线求导得，，所以切点所在的切线的斜率为，因为圆的方程为，所以，求导得，因为，所以，所以有，化简得，解得.所以点，所以切线方程为.因为该切线雨圆相切，所以圆心到该直线的距离等于半径，即，解得.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（）A. B.的虚部为C.对应的点位于复平面的第三象限 D.【正确答案】BCD【详解】因为，则.对于A选项，，A错；对于B选项，的虚部为，B对；对于C选项，对应点的坐标为，位于第三象限，C对；对于D选项，，D对.故选：BCD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.关于中心对称 B.关于直线对称C.的最小正周期为 D.的最大值为【正确答案】BD【详解】A选项，不恒等于4，故不关于中心对称，A错误；B选项，，故关于直线对称，B正确；C选项，，故不是的一个周期，C错误；D选项，，令，则，即，，故当时，取得最大值，最大值为，D正确.故选：BD11.统计是研究数据的学问，一组数据的特征数能反映数据的取值规律，如平均数、众数、中位数能刻画数据的集中程度，极差、标准差、方差能刻画数据的离散程度.已知10个数的平均数为5，根据下列选项的结果，能判断这组数据的中位数不超过7的是（）A.标准差为0 B.众数为3 C.极差为5 D.方差为5【正确答案】ACD【详解】对于A：若标准差为0，10个数的平均数为5，则10个数都是5，此时这组数据的中位数为，不超过7，故A正确；对于B：设这10个数依次为，则它们的平均数为，满足题意，此时这组数据的中位数为，超过7，故B错误；对于C：若极差为5，则可设这10个数的最小值为，最大值为，这10个数为，其中，∵它们的平均数为10，则，∵，∴，此时这组数据的中位数为，∵，∴，故C正确；对于D：设已经从小到大排列好了，即，现在我们用反证法说明若方差为5，这组数据的中位数不超过7，证明如下：设这组数据的中位数超过7，即，∴，又∵，∴，即，所以，所以，所以，同理，又∵，∴，∴，∴方差为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有_______种.【正确答案】60【详解】由题意知，一个7，两个3，三个5共6个数字全排列，共种方法，又因为6个数字中有两个3和三个5是重复的，所以共有种方法.故60.13.随机变量服从正态分布，若函数为偶函数，则_______________.【正确答案】【详解】因为函数为偶函数，所以，即所以，故答案为.14.已知正四面体的顶点均在一个底面半径为1的圆柱侧面上(圆柱的高足够大)，且点到圆柱下底面的距离相等，则该四面体的边长的取值集合是_______________.【正确答案】【详解】由于到圆柱下底面的距离相等，故在平行于底面的一个截面圆上，若也在平行于底面的截面上，根据正四面体的性质可知，投影到底面圆上分别为，时，此时显然可知与互相平分且垂直，因此与为底面圆上两条互相垂直的直径，因此，若不在平行于底面的截面上，如图（1），设正四面体的棱长为，过的中点以及为平面，则平面，取中点为,，由于平面，平面,故,因此，由于,则,故，如图（2）：在过且平行于圆柱底面的截面圆中，由勾股定理可得，解得，综上可得或，故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的周长为，且.（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的度数.【正确答案】（1）（2）【小问1详解】解：由正弦定理知，，，的周长为，，．【小问2详解】解：的面积，，由（1）知，，，由余弦定理知，，．16.如图，矩形和菱形所在的平互垂直，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求，，求直线与面所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】证明：连接，因为四边形为菱形，则，又因为，则为等边三角形，又因为为的中点，则，，则，因为四边形为矩形，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，、平面，平面.【小问2详解】解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，，所以，直线与面所成角的正弦值为.17.已知函数的定义域为，导函数为，满足，.（1）讨论函数()在上的单调性，并证明：；（2）求函数的图象与函数的图象的交点个数.【正确答案】（1）单调性见解析，证明见解析（2）2【小问1详解】令，则，当时，，所以在上单调递增；当时，由，得，①当时，，在上单调递增；②当时，对任意恒成立，此时在恒成立，在上单调递减；③当时，，所以对任意恒成立，此时在恒成立，在上单调递增；④当时，令得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，上单调递增,在上单调递减；因此，取得，，即；取得，，即;故.【小问2详解】法一：题意等价于方程的不同解的个数，令，又等价于函数的不同零点个数，则.令，则.因此在上单调递增，由于为增函数，，故，因此存在，使得当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，而，，故在，分别存在唯一零点因此函数的图象与函数的图象的交点个数为.法二：题意等价于方程的不同解的个数，令，又等价于函数的不同零点个数，则，令，则，，故在上单调递增，且，，因此存在，使得当时，；当时，，故在递减，在递增，而，，，故在，分别存在唯一零点，因此函数的图象与函数的图象的交点个数为.18.已知两点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线.两个不同点在上运动，满足直线与直线的斜率之比是.（1）求曲线的方程；（2）直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由；（3）证明：三角形是钝角三角形.【正确答案】（1）（或）（2）是，定点（3）证明见解析【小问1详解】设，由题意得且，，整理得因此曲线的方程为：（或）【小问2详解】由题意得，又，设，若直线的斜率不存在，则解得，此时直线过，若直线的斜率存在，设，与双曲线联立得，依题意且由韦达定理得，.整理得，此时恒成立，过综上所述，直线过定点.【小问3详解】由（2）知，①当时，，均在的右支，如图2，此时故为钝角.②当时，，在的两支，如图1，不妨设在的右支记，此时故为锐角，因此为钝角综上所述，三角形为钝角三角形图1图219.在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率.（1）若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率；（2）记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：；（3）教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【小问1详解】设事件为“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利法一：事件等效于甲乙进行5局比赛且甲至少赢3局.记5局比赛中甲赢的局数为，由题意得.法二：事件分三种情况①比赛局数为3，甲3局全胜②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局.【小问