2025-2026学年江西景德镇二中高二下册期中测数学试题 含解析

/数学一、单选题1.已知等比数列中，，，则公比（）A.2 B. C. D.2.已知随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.63.以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（）A. B.C. D.4.某校从2名女生和4名男生中选出3人参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（）A. B. C. D.5.记为等差数列的前项和.若，，则（）A.-6 B.-3 C.3 D.66.设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数k的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（）A.11 B.19 C.9 D.218.已知数列的首项，且满足，令，则数列的前2026项和为（）A. B. C. D.二、多选题9.已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（）A. B.C.当时，取得最大值 D.取得最小正值时为3110.下列说法正确的有（）A.在等差数列中，，，则前9项和．B.已知为等比数列的前项和，，，则．C.已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则．D.数列为等比数列，，，则．11.某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（）（参考：：计算结果精确到分）A.等额本息方案，每月还款金额为10196.07元B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元C.等额本金方案，所有的利息和为2340元D.等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案三、填空题12.已知是等差数列，，，则___________．13.数列中，，，记数列的前n项和为，则______．14.设，数列满足下列条件：，，，且对任意的，，都存在使得，其中互不相等，则数列前13项和为______．四、解答题15.记为等差数列的前n项和，已知.（1）求的通项公式an与前n项和公式；（2）求数列的前n项和.16.如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．（1）求证：平面；（2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．17.已知数列的首项，前项和为，且满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和．18.已知双曲线经过点，其渐近线方程为．（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由．19.已知数列满足.（1）求的值；（2）若，证明：是等比数列；（3）若，数列的前项和为，求证：．

数学一、单选题1.已知等比数列中，，，则公比（）A.2 B. C. D.答案：C解析：思路：利用等比数列的性质可求.解答过程：由题可得，则.故选：C.2.已知随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6答案：B解析：解答过程：因为，由正态分布的对称性可知，关于对称，又因为，所以，则所以3.以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误；对于B：两个变量不具有线性相关性，故B错误；对于C：两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误；对于D：两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相关程度较高；故D正确.4.某校从2名女生和4名男生中选出3人参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据古典概型利用组合求解概率.解答过程.5.记为等差数列的前项和.若，，则（）A.-6 B.-3 C.3 D.6答案：A解析：思路：方法一：由等差数列的性质得：，，成等差数列，则，求解即可.方法二：利用等差数列前项和公式，列出方程，求解即可.解答过程：方法一：因为为等差数列的前项和，则，，也成等差数列，所以，即，解得.方法二：设等差数列的首项为，公差为，则，解得，则.6.设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数k的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意有，解得的取值范围.解答过程：由数列是单调递增数列可得，对于都有成立，即，即对都成立，所以．7.已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（）A.11 B.19 C.9 D.21答案：B解析：思路：设等差数列共项，利用等差数列求和公式表示所有奇数项的和与偶数项的和列方程，结合等差数列性质解方程求即可.解答过程：设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列．偶数项和为，奇数项和为，因为，所以，解得．所以，即等差数列的项数为19．8.已知数列的首项，且满足，令，则数列的前2026项和为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意可得，计算，求证为单调递增数列，再得到为等差数列求解即可.解答过程：令，计算可得，所以，因为，则，两式相减可得，由递推公式及知，为单调递增数列，则，则，则，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，故所求为.二、多选题9.已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（）A. B.C.当时，取得最大值 D.取得最小正值时为31答案：ACD解析：思路：根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D.解答过程：对于A，设等差数列首项为，公差为，则，因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减，要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确；对于B，由等差数列性质可知，故B错误；对于C，因为，所以，所以时，取得最大值，故C正确；对于D，由可得，由，可得，所以取得最小正值时为31，故D正确.10.下列说法正确的有（）A.在等差数列中，，，则前9项和．B.已知为等比数列的前项和，，，则．C.已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则．D.数列为等比数列，，，则．答案：ACD解析：解答过程：对于A：因为是等差数列，所以，故A正确；对于B：因为为等比数列，当时，，由得：，不成立，所以；当时，由题意知，解得，所以，故B错误；对于C：因为等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，又由等差数列前项和的形式为关于的二次函数，且没有常数项，可设，其中，则，，所以；故C正确；对于D：数列为等比数列，所以，所以，所以，故D正确.11.某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（）（参考：：计算结果精确到分）A.等额本息方案，每月还款金额为10196.07元B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元C.等额本金方案，所有的利息和为2340元D.等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案答案：ABC解析：思路：对于BC，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可，对于A，等额本息的还款方案分析结合等比数列的判定及求和公式计算判断，对于D，通过比较两种还款方案的优劣进行判断.解答过程：对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为，则，，则，，则，同理得，，……，，所以数列是以为公比的递增等比数列，则有，得，所以每月还款的本息和为，所以A正确;对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元，本息和应为10030元，故B正确；对于C，利息和为（元），故C正确；对于D，由A知等额本息还款利息和为，两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误.故选：ABC.三、填空题12.已知是等差数列，，，则___________．答案：1011解析：解答过程：设等差数列的公差为，依题意，，则.13.数列中，，，记数列的前n项和为，则______．答案：解析：思路：先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算.解答过程：，.，又，14.设，数列满足下列条件：，，，且对任意的，，都存在使得，其中互不相等，则数列前13项和为______．答案：39解析：思路：分析得到前13项中各元素的个数，再求和即可.解答过程：由，数列满足下列条件：，可得数列不是递减数列，且必会出现，设数列前13项中分别有个，对任意的，都存在使得，其中互不相等，对于数列前13项中的1，由于前13项中必有2，不妨设，对于，则存在，使得，不妨设，而对于，，则必有，即，故；对于数列前13项中的5，同理，由于，同理可得；对于数列前13项中的2，由于，可得；对于数列前13项中的4，由于，可得；对于数列前13项中的3，由于，，，，，故，所以，，，所以前13项和为．四、解答题15.记为等差数列的前n项和，已知.（1）求的通项公式an与前n项和公式；（2）求数列的前n项和.答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据题意列式求解，进而可得结果；（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.（1）设的公差为，则，解得，所以的通项公式为，；（2）由（1）得，令，解得，当时，数列的前项均为正数，则；当时，数列的前7项为正数，从第8项至第项为负数，则，，综上，.16.如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．（1）求证：平面；（2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合向量法求线面角求解即可.（1）在三棱柱中，，，，则.又四边形是正方形，则，，所以.又，平面，因此平面.又平面，所以.在等边中，为中点，则，又，平面，所以平面.（2）取中点为，中点为，则，.由（1）知，平面，平面，则.又，故.又，平面，则平面.即两两垂直.以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，因为为线段中点，所以.，，.设平面的法向量为，则，即，故可取.设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知数列的首项，前项和为，且满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明；（2）由分组求和及错位相减法即可求解．（1）由，①当时，，由，解得，当时，，②①-②得：，即，从而，又因为，且也满足上式，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）得，则，从而，所以，，令，①则，②①-②得：，所以，又，所以．18.已知双曲线经过点，其渐近线方程为．（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由．答案：（1）（2）不能,理由见解析解析：思路：（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程；（2）假设是线段的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点.（1）双曲线经过点，得，由渐近线方程为，得，解得，，双曲线的方程为.（2）假设是线段的中点，设，则由两式相减，可得，因为是线段的中点，，代入上式，可得，即此时直线的斜率