2025-2026学年甘肃省平凉市泾川县高平中学高三下册考前模拟B卷数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的共轭复数的虚部为（）A.1 B. C. D.i2.已知集合，，若，则（）A. B. C. D.3.若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.在2026年春节联欢晚会《武BOT》节目中，机器人的集群表演实现了0.001秒级响应.节目组随机抽取了甲、乙两组各5台机器人，记录其完成“空中转体”动作的响应时间（单位：秒）数据如下：甲组：0.008，0.009，0.010，0.011，0.012乙组：0.007，0.009，0.010，0.011，0.013则下列关于两组数据的统计结论，正确的是（）A.甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 B.甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数C.甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D.甲组数据的极差大于乙组数据的极差5.已知命题；命题在区间内恰有一个零点，则p是q的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.已知向量，满足，，若向量在向量方向上的投影向量恰好是，则（）A. B.4 C. D.7.过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（）A. B. C. D.8.若，，，，则a，b的大小关系为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知离散型随机变量的分布列如表所示.其中,且，则下列说法正确的是（）012P0.2caA. B.C. D.10.已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（）A.点在C上B.C关于x轴对称C.过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点D.若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为11.在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，.点是棱的中点；点在线段上（不包括端点），.则下列结论正确的是（）A.存在某个点，使得平面B.当时，直线与直线所成角的正弦值为C.四棱锥的外接球的表面积为D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知定义域为R的偶函数，当时，，则________.13.有，两批数量相同的零件，其中批零件全部合格，批零件有25%不合格.制定如下规则：随机从一批零件中任取1件零件，经检验不合格，则直接判定这两批零件整体不合格；经检验合格，则放回原处，并在该零件所在批次中再取1件零件，若检验合格则判定这两批零件整体合格，若检验不合格则判定这两批零件整体不合格.已知这两批零件整体不合格，则第二次检验后整体不合格的概率为________.14.的末两位数为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列中，，.（1）求；（2）求数列的前n项和，并证明.16.已知锐角的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，公差，.（1）若，求a；（2）设角B的平分线交AC于点M，若与的面积之比为，求BM的长.17.如图，是边长为1的正三角形，在中，，.（1）将沿AC翻折，使二面角为直二面角.（ⅰ）求证：；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.（2）若将沿着AC折起后，使得，求此时平面与平面所成角的余弦值.18.已知椭圆的离心率为，且过点，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求的取值范围.19.已知函数（，e为自然对数的底数）.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的极值点的个数；（3）若有两个极值点，证明.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的共轭复数的虚部为（）A.1 B. C. D.i答案：C解析：解答过程：

因，而的共轭复数为

，其虚部为.2.已知集合，，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由子集的定义分类讨论参数的取值，并通过集合的互异性进行验证，最后由补集的运算求解即可.解答过程：由题意得或，当时，，此时集合不满足互异性，舍去，当时，，此时，满足题意，则.3.若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：双曲线的顶点为，虚轴的一个端点为由题意，这三点构成直角三角形，且直角顶点只能是.则，即，整理得，即双曲线的渐近线方程为，代入，得渐近线方程为.4.在2026年春节联欢晚会《武BOT》节目中，机器人的集群表演实现了0.001秒级响应.节目组随机抽取了甲、乙两组各5台机器人，记录其完成“空中转体”动作的响应时间（单位：秒）数据如下：甲组：0.008，0.009，0.010，0.011，0.012乙组：0.007，0.009，0.010，0.011，0.013则下列关于两组数据的统计结论，正确的是（）A.甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 B.甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数C.甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D.甲组数据的极差大于乙组数据的极差答案：C解析：解答过程：甲组平均数，乙组平均数，故，选项A错误，两组数据均已按从小到大排序，共5个数据，中位数为第3个数据，甲组中位数为，乙组中位数为，二者相等，选项B错误，甲组方差，乙组方差，得到，选项C正确，甲组极差为，乙组极差为，故甲组极差小于乙组极差，选项D错误.5.已知命题；命题在区间内恰有一个零点，则p是q的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：令，得，即．要求在内恰有一个零点，故且，解得．命题是范围的真子集，故是的充分不必要条件．6.已知向量，满足，，若向量在向量方向上的投影向量恰好是，则（）A. B.4 C. D.答案：A解析：解答过程：由投影向量的性质得向量在向量方向上的投影向量是，设，则，，得到投影向量是，而向量在向量方向上的投影向量恰好是，可得，则，由模长公式得，因为，所以，解得或，则或，当时，，由模长公式得，当时，，由模长公式得，综上可得，，故A正确.7.过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据圆的切线的性质，求得，得到点的轨迹方程为，令，转化为圆上的动点到定点的连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.解答过程：如图所示，根据圆的切线的性质，可得，因为为正三角形，可得，所以，即点的轨迹方程为，令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率，由，可得，则圆心到直线的距离为，令，即，整理得，即，解得，即的取值范围为.8.若，，，，则a，b的大小关系为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由题可得，设，利用导数得到函数的单调性，进而可得，再判断与零的大小即可．解答过程：，，则，设，，令，，在上单调递增，则时，，即，则，在上单调递减，，即，，，，则．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知离散型随机变量的分布列如表所示.其中,且，则下列说法正确的是（）012P0.2caA. B.C. D.答案：ACD解析：思路：由分布列期望的计算公式，可得，再结合基本不等式，逐项判断即可.解答过程：由期望的计算公式可得，得.对于A：因,则，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B：由，可得，又由A可知，，故，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于C：因，则，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；对于D：令，则，则，则又因为，故，故，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.10.已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（）A.点在C上B.C关于x轴对称C.过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点D.若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为答案：ABC解析：思路：根据给定条件求出轨迹的方程，验证判断A；利用轴对称的特征判断B；求出点的坐标，进而求出直线的方程判断C；求出点到圆心距离判断D.解答过程：设点，由点P到点F的距离比到直线l的距离大2，则得，整理得轨迹的方程为，对于A，当时，，因此点在C上，A正确；对于B，显然点满足方程，而点与关于轴对称，因此轨迹C关于x轴对称，B正确；对于C，设直线方程为，由，得,则直线的方程为，由，得或，则得点，同理可得点，当直线不垂直于轴时，直线的方程为，整理得，当直线时，由，解得,则直线，故直线恒过定点，C正确；对于D，圆的圆心，半径，设，则，于是，当且仅当时取等号，因此的最小值为，D错误.11.在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，.点是棱的中点；点在线段上（不包括端点），.则下列结论正确的是（）A.存在某个点，使得平面B.当时，直线与直线所成角的正弦值为C.四棱锥的外接球的表面积为D.的最小值为答案：BC解析：思路：建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，由线面垂直的性质结合空间向量法得出矛盾判断A；由异面直线所成角空间向量法计算判断B；计算外接球半径可得外接球表面积计算判断C；将侧面展开，由将军饮马模型计算可判断D.解答过程：以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，因为，则，解得，所以，对于A，，，若平面成立，而平面，则，，则，点在线段上（不包括端点），所以不存在某个点，使得平面，故A错误；对于B，当时，，，则，所以，即直线与直线所成角的正弦值为，故B正确；对于C，由题意可得四棱锥的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同，所以四棱锥的外接球的半径为，所以四棱锥的外接球的表面积为，故C正确；对于D，将平面与平面展开如下图所示，则的最小值为，此时为与的交点，，设，由余弦定理可得，，则，，，因为，所以的最小值不是.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知定义域为R的偶函数，当时，，则________.答案：解析：思路：先利用函数的奇偶性求出时的表达式，结合指数与对数运算法则代入后即可求解.解答过程：设，则，，因为为偶函数，则，即，因为，则.13.有，两批数量相同的零件，其中批零件全部合格，批零件有25%不合格.制定如下规则：随机从一批零件中任取1件零件，经检验不合格，则直接判定这两批零件整体不合格；经检验合格，则放回原处，并在该零件所在批次中再取1件零件，若检验合格则判定这两批零件整体合格，若检验不合格则判定这两批零件整体不合格.已知这两批零件整体不合格，则第二次检验后整体不合格的概率为________.答案：解析：思路：根据全概率公式及贝叶斯公式计算求解即可.解答过程：记事件：随机选取的是批零件；事件：随机选取的是批零件，事件：第一次检验不合格；事件：第一次检验合格，第二次检验不合格，事件：两批零件整体不合格（即，且与互斥），由题意可知，，所以，，，，所以，所以第二次检验后整体不合格的概率为.14.的末两位数为________.答案：61解析：解答过程：由题意得，由题意得，从第三项开始，每一项都是100的倍数，则的末两位数由前两项决定，而，，且，则的末两位数为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列中，，.（1）求；（2）求数列的前n项和，并证明.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据题意，求得，化简得，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）得，利用等比数列的求和公式，求得，根据，得到，结合等比数列的求和公式，即可得证.（1）解：由数列满足，因为，所以，设，即，所以，解得，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，即数列的通项公式为.（2）解：由（1）知：，所以，下面证明：，因为，当为奇数时，；当为偶数时，，所以，又因为当时，；当且时，，则，所以，若，可得，此时满足，若且，可得，因为，所以，综上可得：对于任意，都有.16.已知锐角的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，公差，.（1）若，求a；（2）设角B的平分线交AC于点M，若与的面积之比为，求BM的长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理得到，然后根据余弦定理得到，根据等差数列的性质及已知条件求出即可.（2）根据三角形面积公式和等差数列的性质求出，然后根据余弦定理和面积之比求出结果即可.（1）已知，由正弦定理可得，化简得.因为是三角形内角，，所以.根据余弦定理，则，即.因为成等差数列，所以，即.将代入中可得.又因为，代入上式得，即，化简得，因为，，所以，解得，当时，，所以.（2）因为角B的平分线交AC于点M，所以，所以，即，因为a，b，c成等差数列，所以，所以.则，又因为且，，所以，即，当时，，根据余弦定理.因为，所以.又因为，所以.化简得，由于.所以.17.如图，是边长为1的正三角形，在中，，.（1）将沿AC翻折，使二面角为直二面角.（ⅰ）求证：；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.（2）若将沿着AC折起后，使得，求此时平面与平面所成角的余弦值.答案：（1）（ⅰ）由二面角为直二面角，得平面平面，由，得，而平面平面，平面，则平面，又平面，所以.（ⅱ）；（2）.解析：思路：（1）（ⅰ）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证；（ⅱ）利用等体积法求出点到平面的距离，再利用线面角的定义法求解.（2）取中点，利用空间向量数量积的运算律求解.（1）（ⅰ）略（ⅱ）由是边长为1的正三角形，得，由，得，由（ⅰ）知平面，而平面，则，，等腰的面积，而，设点到平面的距离为，由，得，即，解得，令直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）取中点，连接，则，由，得，由（1）知，则二面角的平面角为，由，得，即，解得，所以平面与平面所成角的余弦值为.18.已知椭圆的离心率为，且过点，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求的取值范围.答案：（1）（2）或（3）解析：思路：（1）根据椭圆离心率和经过点及求解即可；（2）设直线l的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，得到点坐标，再写出AB的垂直平分线方程，得到点坐标，表示出，列方程求解；（3）又