江苏常州市溧阳市2025-2026学年度第二学期期末调研考试高一数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏常州市溧阳市2025-2026学年度第二学期期末调研考试高一数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间中，l，m是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是(

)A.若l⊂α，m⊂β，α//β，则l//m

B.若l//m，m⊂β，则l//β

C.若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β

D.若l⊥α，l//m，α//β，则m⊥β2.AB−ADA.BC B.BD C.CB D.DB3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数.设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则(

)A.事件乙和事件丙互斥 B.事件丙和事件丁互为对立

C.事件甲与事件丙相互独立 D.事件乙与事件丁相互独立4.若z(1+i)=2i，则z=(

)A.−1−i B.−1+i C.1−i D.1+i5.现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第k (k=1,2,3⋯6)个盒子中有k张龙形图案的卡片，6−k张兔形图案的卡片.现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为23，则k=(

)A.2 B.3 C.4 D.56.已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为(

)A.10 B.10.6 C.12.6 D.13.67.在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温，一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料，若在高脚杯内放入一个半径为6cm的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是(

)A.180πcm3 B.270πcm3 C.8.在锐角▵ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若sinBsinC3sinA=cosA.[3,23) B.(6,4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为A.EF⊥BD1

B.EF//面A1B1C1D1

C.直线BD1与平面10.已知a，b表示直线，α,β,γ表示平面，则下列推理不正确的是(

)A.α∩β=a,b⊂α⇒a//b B.α∩β=a,a//b⇒b//α，且b//β

C.a//β,b//β,a⊂α,b⊂α⇒α//β D.α//β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a//b11.在△ABC中，有如下四个命题正确的有(

)A.若AC⋅AB>0，则△ABC为锐角三角形

B.若|BA+BC|=|AC|，则△ABC的形状为直角三角形

C.△ABC内一点G满足GA+GB+GC=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点(包含边界)，则AP⋅AC的取值范围为

．

13.已知圆锥的顶点为S，母线SA、SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为

14.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=DD1=1，AB=3，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某校高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本．(1)求抽取男生、女生的人数;(2)观测样本的指标值(单位：cm)，计算得到男生样本的均值为170，方差为14，女生样本的均值为160，方差为34，求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差．16.(本小题15分)已知向量a=(6,1)，b=(−2,3)，c=(2,2)(1)求a+2(2)若(a+2c(3)若与d的夹角是钝角，求实数k的取值范围．17.(本小题15分)《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥底面ABCD,AB=2，PA=AD=1,E,F(1)证明：EF//平面PAD；(2)证明：EF⊥平面PCD(3)求直线BF与平面ABCD所成角的大小．18.(本小题17分)如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．(1)证明：OA⊥平面BCD；(2)若▵OCD是边长为1的等边三角形﹐点E在棱AD上，DE=2EA，且三棱锥E−BCD的体积为39，求侧面ACD与底面BCD19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3．

(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH //平面PAD；(2)求证：PA⊥平面PCD；(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】ABC

11.【答案】BC

12.【答案】[0,3]

13.【答案】4014.【答案】715.【答案】解：(1)抽取男生人数为50×6001000=30人，抽取女生人数为50×400把男生样本记为x1,x2,⋯,把女生样本记为y1,y2,⋯,把样本数据的平均数记为z，方差记为s2根据平均数的定义，总样本均值为：z=根据方差的定义，总样本方差为：s=1由i=130(x同理，j=120因此，s==150×[30×14+30×(170−166)2+20×34+20×(160−166)2]

16.【答案】解：(1)因为a=(6,1)，b=(−2,3)，c=(2,2)(2)a+2c∵(a+2c)//(c(3)∵a⇀与d的夹角是钝角，∴cos∴a⋅d=6×(−3)+k<0，且−36

17.【答案】解：(1)作PD的中点M，连接AM,MF，由M,F得分别为PD,PC的中点，所以MF//DC且MF=1又因为AE//DC且AE=12DC，所以MF//AE所以四边形AMFE为平行四边形，所以EF//AM，因为AM⊂平面PAD,EF⊄平面PAD，所以EF//平面PAD(2)因为AD=PA，M为PD的中点，所以AM⊥因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA又因为CD⊥AD,PA,AD⊂平面PAD所以CD⊥平面PAD，AM⊂平面PAD所以CD⊥因为EF//AM，AM⊥PD，所以CD⊥又因为PD∩CD=D,PD,CD⊂所以EF⊥平面PCD(3)连接AC,BD交于点O，连接OF，因为点O,F分别为AC,PC的中点，所以OF//PA，所以OF⊥平面ABCD所以BO为BF在平面ABCD中的射影，所以BF与平面ABCD所成角为∠FBO由已知得BO=所以tan∠FBO=因为∠FBO为锐角，所以∠所以BF与平面ABCD所成角为π6

18.【答案】解：(1)在三棱锥A−BCD中，因为AB=AD，O为BD的中点，所以OA⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，OA⊂平面ABD，所以OA⊥平面BCD；(2)因为点E在棱AD上，DE=2EA，又三棱锥A−BCD与三棱锥E−BCD底面积相同，高之比等于32所以体积之比也为32所以VA−BCD=32VE−BCD=32又▵OCD是边长为1的等边三角形，所以S▵OCD所以S▵BCD所以VA−BCD=1取CD的中点M，连接OM、AM，则OM⊥CD，又OA⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD，又AO∩OM=O，AO,OM⊂平面AOM，所以CD⊥平面AOM，又AM⊂平面AOM，所以CD⊥AM，所以∠AMO为侧面ACD与底面BCD所成二面角的平面角，又AO=1，OM=12−122=32所以AM=12所以侧面ACD与底面BCD所成二面角的余弦值为21

19.【答案】(1)解：如图所示，连接BD，易知AC∩BD=H，BH=DH．

又由BG=PG，故GH/​/PD．

又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH/​/平面PAD．(2)证明：如图所示，取棱PC的中点N，连接DN．

依题意，得DN⊥PC，

又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PA