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南京师大附中2025高一入学数学分班考试练习题含答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知函数$f(x)=x^22x+1$，则$f(x)$的最小值为（）

A.0B.1C.1D.2

答案：B

2.若$a^2+b^2=1$，则$a^2+4b^2$的取值范围是（）

A.$[0,1]$B.$[0,2]$C.$[1,2]$D.$[1,+\infty)$

答案：D

3.设函数$g(x)=x^33x+1$，则$g(x)$在区间$(\infty,+\infty)$内的单调递增区间为（）

A.$(\infty,1)$B.$(1,+\infty)$C.$(\infty,+\infty)$D.$(\infty,0)$

答案：C

4.若直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=1$相切，则$k$的取值范围是（）

A.$[1,1]$B.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$C.$(\infty,1]$D.$[1,+\infty)$

答案：B

5.若$a+b=1$，则$a^2+b^2$的最小值为（）

A.0B.1C.$\frac{1}{2}$D.2

答案：C

6.设$f(x)=x^22x+1$，$g(x)=x^33x+1$，则$f(x)$与$g(x)$在区间$(\infty,+\infty)$内的公共零点为（）

A.1B.0C.1D.2

答案：A

7.若$a+b+c=1$，$a^2+b^2+c^2=3$，则$a^3+b^3+c^3$的取值范围是（）

A.$[1,1]$B.$[0,1]$C.$[1,2]$D.$[2,3]$

答案：C

8.若直线$y=mx+1$与圆$x^2+y^2=1$有交点，则$m$的取值范围是（）

A.$[1,1]$B.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$C.$(\infty,1]$D.$[1,+\infty)$

答案：D

二、填空题（每题5分，共30分）

9.已知函数$f(x)=x^22x+1$，求$f(x)$在$x=1$处的切线方程。

答案：$y=2x1$

10.若$a^2+b^2=1$，求$a^2+4b^2$的最大值。

答案：2

11.设函数$g(x)=x^33x+1$，求$g(x)$在区间$(\infty,+\infty)$内的单调递减区间。

答案：$(\infty,0)$

12.若直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=1$相切，求$k$的取值。

答案：$k=\pm1$

13.若$a+b=1$，求$a^2+b^2$的最大值。

答案：$\frac{1}{2}$

14.设$f(x)=x^22x+1$，$g(x)=x^33x+1$，求$f(x)$与$g(x)$在区间$(\infty,+\infty)$内的公共零点。

答案：1

三、解答题（共30分）

15.（本题10分）已知函数$f(x)=x^22x+1$，求$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。

答案：最大值为1，最小值为0。

16.（本题10分）若$a+b+c=1$，$a^2+b^2+c^2=3$，求$a^3+b^3+c^3

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