2025-2026学年海南海口英雅盛彼德高级中学高二下册期中检测数学试题 含解析

/数学一、单选题1.4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（）A.种 B.种 C.种 D.种2.已知函数，则函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.3.在的展开式中，的系数是（）A. B.21 C.35 D.4.学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同的组合方案共有()A.36种 B.78种 C.87种 D.90种5.若（），则（

）A. B.C. D.6.奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（

）A. B.C. D.7.已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（）A. B. C.或 D.或二、多选题8.已知，则（）A.的导函数关于直线对称B.曲线在处的切线方程为C.函数的极小值点为D.函数的极大值点为09.将，，，，这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生，且每个实习医生只到一个科室轮岗学习，则下列判断正确的是（）A.若急诊科要安排两名实习医生，则有60种不同的安排方法B.若每个科室至多安排两名实习医生，则有180种不同的安排方法C.若，被安排在同一科室，则有36种不同的安排方法D.若被安排在内科，则有56种不同的安排方法10.下列结论正确的是（）A.B.（m，n为正整数且）C.D.满足方程的x值可能为1或5三、填空题11.如图，对某市的个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法有________种.12.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是________.13.展开式中的第3项与第5项的二项式系数相等，则______，展开式中的的系数为______．四、解答题14.（1）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求的值；（2）曲线在点处的切线与直线平行，求的值；15.从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；（3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；（4）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒．16.已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大.（1）求奇数项的二项式系数和；（2），且，若能被20整除，求的值；（3）求的值.17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）记的极小值为，证明：．18.已知函数．（1）求函数的最小值；（2）求证：函数存在两个零点（记为），且．

数学一、单选题1.4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：B解析：思路：直接根据乘法原理计算得到答案.解答过程：每个学生有3种选择，根据乘法原理共有种不同方法.故选.方法提示：本题考查了乘法原理，属于简单题.2.已知函数，则函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据函数的导数与函数单调性的关系，即可求得答案.解答过程：由题意知，定义域为，得，令，即或，结合函数定义域可得，故函数的单调递减区间为，故选：C．3.在的展开式中，的系数是（）A. B.21 C.35 D.答案：A解析：解答过程：根据二项式定理可知的展开式通项为.其中，化简通项.令，解得.所以项的系数为.4.学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同的组合方案共有()A.36种 B.78种 C.87种 D.90种答案：B解析：思路：由题意得1名主唱只能从3人里面选,然后根据多面手进行分类即可得到结果.解答过程：根据题意有三种情况:(1)从只会弹吉他的4人选2人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人:种;(2)从只会弹吉他的4人选2人,只会唱歌的3人选1人,鼓手从多面手中选:种;(3)从只会弹吉他的4人选1人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人,多面手作为吉他手:种;共有:种.故选:B.5.若（），则（

）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：对于A：因为，所以多项式最高次项的次数为6，所以，所以，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：在中，令，得，所以，令，得，所以，故C正确；对于D：对两边同时求导，得，令，得，故D错误.6.奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（

）A. B.C. D.答案：A解析：思路：构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解.解答过程：令,则，所以为奇函数，故.因为当时，，所以当时，，故在上单调递增.因为为奇函数，所以在上也单调递增.又，所以当时，当时，所以不等式的解集为.故选：A.7.已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（）A. B. C.或 D.或答案：C解析：思路：分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围.解答过程：当时，函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为；当时，在上递增，函数值集合为R，在直角坐标系内作出函数的图象与直线，由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个实数解.故选：C.二、多选题8.已知，则（）A.的导函数关于直线对称B.曲线在处的切线方程为C.函数的极小值点为D.函数的极大值点为0答案：BCD解析：思路：求出的导函数，根据二次函数的性质求得其对称轴，判断A；利用导数的几何意义求得曲线在处的切线方程，判断B；利用导数求出函数的极小值点和极大值点判断C，D.解答过程：函数的定义域为，，所以导函数关于直线对称，所以A错误；因为，所以曲线在处的切线方程为，即，所以B正确；因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以函数的极小值点为，函数的极大值点为0，所以C，D正确.9.将，，，，这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生，且每个实习医生只到一个科室轮岗学习，则下列判断正确的是（）A.若急诊科要安排两名实习医生，则有60种不同的安排方法B.若每个科室至多安排两名实习医生，则有180种不同的安排方法C.若，被安排在同一科室，则有36种不同的安排方法D.若被安排在内科，则有56种不同的安排方法答案：AC解析：思路：根据排列、组合的定义，结合分类计数原理、分步计数原理逐一求解判断即可.解答过程：若急诊科要安排两名实习医生，则有种不同的安排方法，A正确．若每个科室至多安排两名实习医生，则有种不同的安排方法，B错误．若，被安排在同一科室，则有种不同的安排方法，C正确．当内科只安排一名实习医生时，有种不同的安排方法；当内科安排两名实习医生时，有种不同的安排方法；当内科安排三名实习医生时，有种不同的安排方法．故被安排在内科，有种不同的安排方法，D错误．10.下列结论正确的是（）A.B.（m，n为正整数且）C.D.满足方程的x值可能为1或5答案：AB解析：思路：根据组合数公式和性质判断选项.解答过程：对于A，由公式可知A正确；对于B，，，所以（m，n为正整数且），故B正确；对于C，因，故C错误；对于D，因为，所以，解得，当时，，成立，故D错误.三、填空题11.如图，对某市的个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法有________种.答案：解析：思路：利用分步乘法计数原理来求得正确答案.解答过程：按①②③④的顺序进行着色，按分步计数原理可得不同的着色方法有.故12.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是________.答案：解析：思路：首先求函数的导数，利用导函数有2个零点，求参数的取值范围.解答过程：因为有两个不同的极值点，所以在有2个不同的零点，所以在有2个不同的零点，所以，解得.所以的取值范围是.13.展开式中的第3项与第5项的二项式系数相等，则______，展开式中的的系数为______．答案：①.6；②.-10.解析：思路：解方程即得解；设的通项为，令和，即得解.解答过程：解：由题可知，解得．设的通项为，令，则；令，则.所以展开式中的的系数为．故四、解答题14.（1）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求的值；（2）曲线在点处的切线与直线平行，求的值；答案：（1）0或；（2）1.解析：思路：（1）先求得曲线在点处的切线方程，再分和，由切线方程与曲线联立求解；（2）由，求导，得到在点处的切线的斜率为2a，然后根据题意，由求解.解答过程：（1）由，得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即，当时，由，解得，所以曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点；当时，由，得，由，解得，符合题意；综上：实数的值为0或；（2）由，得，则在点处的切线的斜率为2a，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以，解得.15.从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；（3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；（4）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒．答案：（1）60（2）480（3）180（4）180解析：思路：（1）先固定甲、乙在中间两棒的顺序，再从剩余6人选2人排在首尾两棒即可；（2）先选甲、乙中的1人并安排在首尾棒，再从剩余6人中选3人排列剩余3棒即可；（3）先将甲、乙捆绑成一个整体并确定相邻位置，再排列整体内部顺序，最后从剩余6人中选2人排列剩余位置即可；（4）先从剩余6人中选2人排列，再将甲、乙插入其形成的空位中即可.（1）先排甲、乙在第2、3棒，有种排法；再从剩下6人中选2人跑第1、4棒，有种排法，所以共有种排法.（2）先从甲、乙中选1人，有种选法；再安排他跑第1或第4棒，有种排法；最后从剩下6人中选3人排剩下的3棒，有种排法，所以共有种排法.（3）先把甲、乙看成一个整体，相邻的位置有三种，整体内部有种排法；再从剩下6人中选2人排剩下的2棒，有种排法，所以共有种排法.（4）先从除甲、乙外的6人中选2人进行排列，有种排法，此时形成3个空位；再将甲、乙两人插入空位中，有种排法，所以共有种排法.16.已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大.（1）求奇数项的二项式系数和；（2），且，若能被20整除，求的值；（3）求的值.答案：（1）2048（2）19（3）25解析：思路：（1）使用二项式系数的性质求解；（2）使用二项式定理求解；（3）将展开后求导，使用赋值法求解.（1）因为展开式中只有第7项二项式系数最大，所以，解得，所以奇数项的二项式系数和为.（2）由（1）知，则，由二项式定理可得，除了第一项外，其余各项都能被20整除，若能被20整除，则能被20整除，又因为，且，所以，解得.（3），求导得，令，则，，所以.17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）记的极小值为，证明：．答案：（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.解析：思路：（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求出函数的导数，按分类讨论求出函数的单调性.（3）由（2）求出极小值，再建立函数，利用导数求出最小值证明不等式.（1）当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程的为.（2）函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递增；当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，上单调递增，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，上单调递增.（3）由（2）知，若有极小值，则，极小值，令函数，求导得，函数在上单调递增，且，则当时，，当时，，函数在上单调递减，上单调递增，则，即，所以.18.已知函数．（1）求函数的最小值；（2）求证：函数存在两个零点（记为），且．答案：（1）（2）证明过程见解析.解析：思路：（1