2025-2026学年河北省唐山市迁西县第二中学高三下册模拟预测数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（

）A. B. C. D.2.已知，i为虚数单位，则（）A. B. C. D.3.下列命题是真命题的为（）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.若，，则4.设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（

）A. B. C. D.5.某校有名教师和名学生参加志愿者活动，需从中选出人组成服务小组，若要求至少包含名教师，则不同的选法有（

）A.种 B.种 C.种 D.种6.已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（

）A.6 B.8 C.14 D.357.在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（）A. B.20 C.16 D.8.四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（

）A. B. C. D.二、多选题:本题共3小题，每小題6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（）A. B. C.最小 D.10.已知函数满足，且在内恰有两个极值点，则（

）A. B.C. D.在上单调递增11.抛物线的焦点为过点作的切线，与轴、轴分别交于点、；过坐标原点作的垂线，与直线交于点，则（

）A.的斜率为 B.C. D.是等腰三角形三、填空題:本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某市10000名高一学生的某次数学测试得分（单位：分）服从正态分布，若，则得分高于50分的人数约为_________．13.已知直线与圆相交于两点，则的最大值为_________．14.若方程有唯一解，则_________．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.16.如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为线段和上的动点，且，其中.（1）求四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比；（2）若二面角的大小为，求的值.17.某学校对学生是否喜欢跑步锻炼进行调查，随机抽取男女学生共n人进行问卷调查，统计得到如下列联表：

喜欢不喜欢合计男生10020

女生

20

合计

n若采用比例分配的分层随机抽样从这n人中抽取5人，则有男生3人，女生2人．（1）求以及这人中喜欢跑步锻炼的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关？（3）用样本估计总体，将频率视为概率，从该校全体学生中随机抽取2人，记其中喜欢跑步锻炼的人数为X，求X的数学期望.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.已知，分别为椭圆的左，右顶点，为的上顶点，，直线的斜率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线，分别交轴于，两点：（ⅰ）是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（ii）当面积取最大值时，求的值．19.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若在上的最大值为0，求实数的值；（3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．

数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（

）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：已知，因此，，，因此.2.已知，i为虚数单位，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用复数的除法运算化简，从而求得.解答过程：，.故选：C3.下列命题是真命题的为（）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.若，，则答案：D解析：思路：利用赋值法可判断ABC；利用不等式性质可判断D.解答过程：当，时，，故A错误；当，，，时，，故B错误；当时，可得，故C错误；若，，则，故D正确.故选：D.4.设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（

）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：利用偶函数性质得，得.周期，，因此.，且，则因此.5.某校有名教师和名学生参加志愿者活动，需从中选出人组成服务小组，若要求至少包含名教师，则不同的选法有（

）A.种 B.种 C.种 D.种答案：C解析：思路：利用间接法求解即可.解答过程：某校有名教师和名学生参加志愿者活动，需从中选出人组成服务小组，若要求至少包含名教师，其反面为“人全是学生”，由间接法可知，不同的选法种数为种.6.已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（

）A.6 B.8 C.14 D.35答案：A解析：思路：利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算得到，最后结合点到直线的距离公式求出最小值.解答过程：设的中点为，根据圆的性质可得，如图所示.则，所以，点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，其方程为.因为,所以，.的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2，因为，所以.7.在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（）A. B.20 C.16 D.答案：D解析：思路：根据正弦定理、余弦定理求解即可.解答过程：因为，，所以.由正弦定理可知，，所以，，又，所以，所以.由余弦定理知，，所以，即.又，所以，所以.故选：D.8.四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：1.本题的核心是利用面面垂直的性质和外接球的球心判定来求解.2.在直角三角形中，斜边即为外接圆的直径，由已知条件及勾股定理计算出斜边的长.3.结合,可推出外接圆的直径也是，最终确定球心位置，求出球体半径，进一步求出球体的体积.解答过程：如图，设的外心为，过点作于点，连接、、，取的中点，连接，则.因为面面，面面，平面，所以，面，因为平面，所以.在直角三角形中，，，,得.在中，由正弦定理得，，解得，.在直角三角形中，，则，在直角三角形中，由面积公式得，，解得，，则，.在直角三角形中，则，在直角三角形中，则，即，所以，点为该四面体外接球的球心，故其体积为.方法提示：方法归纳：1.对于含面面垂直的四面体外接球问题，通常是先找出其中一个面的外接球直径，再利用面面垂直的性质确定球心的位置.2.外接球的球心到四面体各个顶点的距离相等，是确定球心位置的关键.易错归纳：1.容易忽视面面垂直这个条件，错误地以的外接圆作为球的大圆.2.球体的体积公式记错，混淆了半径与体积的关系式.二、多选题:本题共3小题，每小題6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（）A. B. C.最小 D.答案：BC解析：思路：利用等差数列前项和公式代入条件计算可得数列是公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前项和公式依次判断选项即可.解答过程：因为是等差数列的前项和，的公差为，则，故，所以，故数列是公差为的等差数列．对于A选项，由题意可得，故，所以，A错；对于B选项，，解得，B对；对于C选项，由题意可得，解得，所以，故当时，取最小值，即最小，C对；对于D选项，，所以，D错．10.已知函数满足，且在内恰有两个极值点，则（

）A. B.C. D.在上单调递增答案：AC解析：思路：由题设可得，进而求得可判断A；结合可求得，即可判断B；根据正弦函数的性质可得函数关于对称，进而判断C；根据正弦函数的单调性判断D.解答过程：由，且在内恰有两个极值点，则，即，则，故A正确；而，则或，即或，又，则，即，故B错误；由，则函数关于对称，即，故C正确；当时，，因为函数在上不单调递增，所以在上不单调递增，故D错误.11.抛物线的焦点为过点作的切线，与轴、轴分别交于点、；过坐标原点作的垂线，与直线交于点，则（

）A.的斜率为 B.C. D.是等腰三角形答案：BCD解析：思路：设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由可判断A选项；求出点的坐标，利用斜率的关系证明出，可判断C选项；证明出为的中点，结合中垂线的性质可判断B选项；求出点的坐标，可得出，可判断D选项.解答过程：对于A选项，由图可知，直线的斜率存在且不为零，设其斜率为，则直线的方程为，即，联立可得，由，整理可得，解得，故直线的斜率为，故A错误；对于C选项，由A选项可知直线的方程为，则点，易知点，直线的斜率为，则，即，又因为，所以，故C正确；对于B选项，在直线的方程中，令，可得，即点，又因为点，则为线段的中点，又因为，故，故B正确；对于D选项，，所以直线的方程为，即，直线的方程为，联立可得，即点，所以，故为等腰三角形，故D正确.三、填空題:本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某市10000名高一学生的某次数学测试得分（单位：分）服从正态分布，若，则得分高于50分的人数约为_________．答案：7500解析：解答过程：在正态分布中，，由，得，所以得分高于50分的人数约为.13.已知直线与圆相交于两点，则的最大值为_________．答案：解析：思路：先将圆的一般方程化为圆的标准方程得圆心的坐标，再求直线的定点坐标，设线段的中点为，得，进而得，最后利用两点间的距离公式即可求解.解答过程：由圆得：，所以，又直线，令，得，即，所以直线过定点，设线段的中点为，所以，所以.14.若方程有唯一解，则_________．答案：解析：思路：令，转化为有唯一的解，设，求得是偶函数，结合偶函数的性质，得到唯一的解只能是，进而求得的值.解答过程：令，原方程即为，则原方程有唯一的解，即方程有唯一的解，设，可得，函数是偶函数，其图像关于轴对称，所以方程有唯一的解，这个唯一的解只能是，当时，可得，解得，经验证：当时，方程，即为，当时，，，等式成立；当时，方程即为，根据指数函数的增长速度远快于函数，即，所以在上，方程没有实数根，又因为为偶函数，所以在上，方程没有实数根，综上可得，实数的值为.四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解；（2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数有界性运算求解.（1）因为，由正弦定理可得，则，即，又因为，则，即，且，则，即，可得，又因为，则，可得，所以.（2）由正弦定理得，则，由余弦定理得，即，可得，又因为，因为为锐角三角形，则，解得，则，可得，则，可得，即，所以的取值范围为.16.如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为线段和上的动点，且，其中.（1）求四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比；（2）若二面角的大小为，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）取中点，结合锥体和柱体的体积公式运算求解；（2）建系并标点，求平面和平面的法向量，利用空间向量求二面角，列式求解即可.（1）在正三棱柱中，取中点，则四棱锥的体积，正三棱柱的体积，四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为.（2）在正三棱柱中，取的中点，连结，因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，且平面，所以平面，且，故以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，因为，则，可得设平面的一个法向量为，则，令，则，可得，由题意可知：平面的一个法向量为，因为二面角的大小为，则，整理得，解得.17.某学校对学生是否喜欢跑步锻炼进行调查，随机抽取男女学生共n人进行问卷调查，统计得到如下列联表：

喜欢不喜欢合计男生10020

女生

20

合计

n若采用比例分配的分层随机抽样从这n人中抽取5人，则有男生3人，女生2人．（1）求以及这人中喜欢跑步锻炼的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关？（3）用样本估计总体，将频率视为概率，从该校全体学生中随机抽取2人，记其中喜欢跑步锻炼的人数为X，求X的数学期望.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828答案：（1），（2）不能认为学生喜欢跑步锻炼与其性别有关（3）解析：思路：（1）由条件求男生人数，再结合分层抽样性质求出，由此求出女生人数及女生中喜欢跑步锻炼的人数，结合古典概型概率公式求结论；（2）完善列联表，提出零假设，计算，比较与临界值的大小即可判断结论；（3）结合二项分布的定义判断，再根据二项分布期望公式求结论.（1）由已知男生人数为，又采用比例分配的分层随机抽样从这人中抽取人，则有男生人，女生人，所以，解得，所以女生人数为，女生中喜欢跑步锻炼的人数为，所以这人中喜欢跑步锻炼的总人数为，所以这人中喜欢跑步锻炼的概率，（2）由（1）可得列联表为：

喜欢不喜欢合计男生女生合计零假设为：假设是否喜欢跑步锻炼与性别无关，则，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即不能认为是否喜欢跑步锻炼与性别有关.（3）的可能取值为0，1，2，，，.的分布列为01.18.已知，分别为椭圆的左，右顶点，为的上顶点，，直线的斜率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线，分别交轴于，两点：（ⅰ）是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（ii）当面积取最大值时，求的值．答案：（1）（2）（ⅰ）存在,使得；（ii）解析：思路：（1）由椭圆顶点坐标,结合直线斜率得比例关系,再由线段长联立方程,求出,即得椭圆方程.（2）（ⅰ）设直线联立椭圆,由韦达定理得纵横坐标关系,求出纵坐标,代入向量比例化简消参,可得为定值3.（ⅱ）由设出纵坐标,写出直线方程并联立椭圆,得到点横坐标表达式；用底乘高表示面积,构造函数求导分析单调性,找到面积最大值对应的参数,代入算出此时的值.（1）已知，直线的斜率.由斜率公式得，即.由两点间距离公式得.因为，联立解得，.所以椭圆的方程为.（2）（ⅰ