2025-2026学年河北省邢台市卓越联盟高一下册5月测评试题（2）数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.1 B. C.3 D.2.如图，，且与均不重合，，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.3.已知向量，，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.4.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，，，，，则原平面图形的面积为（）A. B. C. D.5.下列几何体是棱柱的是（）A. B. C. D.6.一个正方体被一个平面所截，其截面图形不可能为（）A.等边三角形 B.直角三角形C.梯形 D.邻边不垂直的菱形7.铜钱，古代铜质辅币，大多为圆形方孔，其几何形状如图所示．若图中正方形ABCD的边长为2，圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，则（）A.1 B.5 C.7 D.88.已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B. C. D.10.如图，在圆的内接四边形中，，，，则（）A. B.C. D.的面积为11.如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱，的中点，动点P在线段上，动点Q在正方形内（包含边界），平面，则（）A. B.PQ的最大值为C.存在P，Q，使得平面 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若一个正三棱锥的高是，底面边长是3，则该正三棱锥的体积为_______．13.如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______．14.如图，为测量山高MN，选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，以及，从C点测得．已知山高米，则山高_______米．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，．（1）若，求；（2）若，，求与夹角的余弦值．16.如图，在五面体中，平面，，四边形为矩形，，，，，G是的中点．（1）证明：平面．（2）求直线AE与直线所成角的余弦值．17.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求的取值范围．18.如图，在棱长为4的正方体中，点M，N分别在线段，上，且．（1）证明：平面．（2）记过且与平行的平面为，平面与直线交于点P，求的长．19.对于三维向量，定义“F变换”：，其中，，，．记．（1）若，求．（2）已知（），．(ⅰ)求p，q的值；(ⅱ)若经过m次“F变换”后，最小，求m的最小值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.1 B. C.3 D.答案：A解析：思路：将复数利用化为的形式，实部为，虚部为判断即可．解答过程：因为，所以复数的虚部为1．2.如图，，且与均不重合，，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据线面平行性质定理即可判断AB；根据线面平行判定定理即可判断C；由两平交即可判断D.解答过程：对于AB，由于，且与均不重合，由且，可得，又因，据线面平行性质定理可得，同理，故AB正确；对于C，且，可得，故C正确；对于D，由，可得相交，不可能平行，故D错误.3.已知向量，，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由投影向量的计算公式即可求解.解答过程：由，，则向量在上的投影向量为．4.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，，，，，则原平面图形的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：过点作轴，求出的长，然后作出原平面图形，结合梯形的面积公式求解即可.解答过程：过点作轴，如下图所示：因为，，，故为等腰直角三角形，所以，因为，轴，轴，故四边形为矩形，故，故，将直观图还原为原图形如下图所示：则，，，原平面图形为直角梯形，其下底边的长为，上底边的长为，高为，故原平面图形的面积为．5.下列几何体是棱柱的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由几何体的结构特点逐项判断即可.解答过程：由图可知，A是圆柱，BD不存在全等的两个底面，不是棱柱，C是棱柱.6.一个正方体被一个平面所截，其截面图形不可能为（）A.等边三角形 B.直角三角形C.梯形 D.邻边不垂直的菱形答案：B解析：思路：根据正方体的几何特征，可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．解答过程：如图，其截面可能为梯形、邻边不垂直的菱形、等边三角形，不可能为直角三角形．7.铜钱，古代铜质辅币，大多为圆形方孔，其几何形状如图所示．若图中正方形ABCD的边长为2，圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，则（）A.1 B.5 C.7 D.8答案：C解析：思路：结合图形将用，表示，再根据向量的数量积运算律计算即得．解答过程：连接，，，则；故，；故，，，故．8.已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积.解答过程：设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上，则球心到下底面圆距离为，因此，解得，所以球O的表面积为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：由复数的除法运算，结合共轭复数、模长概念逐项判断即可.解答过程：，，，A正确，B错误，C正确．虚数不能比较大小，D错误．10.如图，在圆的内接四边形中，，，，则（）A. B.C. D.的面积为答案：ACD解析：思路：根据余弦定理以及三角形面积公式依次判断即可.解答过程：对于AB，由于，，，在中，，即，在中，，即，联立两式解得，由于，所以，，故A正确，B错误．对于C，，故C正确．对于D，的面积，故D正确．11.如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱，的中点，动点P在线段上，动点Q在正方形内（包含边界），平面，则（）A. B.PQ的最大值为C.存在P，Q，使得平面 D.答案：BCD解析：思路：A选项，根据动点所在平面与已知平面平行，确定动点所在位置，进行判断线线平行；B选项，根据P，Q两点的移动轨迹，确定取最大值时P，Q两点的位置，计算最大值；C选项，当P，Q两点都在平面中时，可满足平面，故根据P，Q两点的移动轨迹判断即可；D选项，根据平面的平行线上的点到平面的距离都相等可将动点通过平行线转化为定点，从而保证同底等高的棱锥体积不变．解答过程：如图，连接，，，．因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面；因为，且平面，所以平面平面；因为平面，平面，所以平面；又平面平面，所以点在线段上，故与不一定平行，A错误．由A可知，当与或DC1重合时，取最大值为，B正确；当点与点重合，点与点重合时，平面，C正确；因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若一个正三棱锥的高是，底面边长是3，则该正三棱锥的体积为_______．答案：解析：思路：因为正三棱锥底面为正三角形，根据三角形面积公式即可求出底面积，利用三棱锥体积公式即可计算体积．解答过程：因为底面边长是3，底面为正三角形，故底面面积为：；则该正三棱锥的体积为．13.如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______．答案：解析：思路：将圆锥沿着母线展开，确定点的位置，结合勾股定理可求得的长，即为所求.解答过程：因为圆锥的底面半径为，底面圆的周长即扇形的弧长为，又因为圆锥的母线长为，所以展开图扇形的圆心角为，展开图如图所示．易知为半圆弧的中点，且，结合题意可知，，则，即其移动路径的最小值为．14.如图，为测量山高MN，选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，以及，从C点测得．已知山高米，则山高_______米．答案：解析：思路：要求山高，放在直角中，已知一角，故需再求一边即可，根据已知条件，放在直角与中计算即可．解答过程：在中，已知，，故米；在中，，，故，由正弦定理可得：，即，解得米；在中，因为，故米；所以山高为米．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，．（1）若，求；（2）若，，求与夹角的余弦值．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）由向量垂直关系求得，再由模长公式即可求解；（2）由平行关系求得，再由夹角公式即可求解.（1）因为，所以，解得，则，故．（2）因为，所以，解得，则，所以，即与夹角的余弦值为．16.如图，在五面体中，平面，，四边形为矩形，，，，，G是的中点．（1）证明：平面．（2）求直线AE与直线所成角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）．解析：思路：（1）过点作，垂足为．通过，即可求证；（2）设，分别为，的中点，连接，，．确定为直线与直线所成的角或补角，进而可求解.（1）在矩形中，，．因为，，平面，所以平面．因为平面，所以，即．因为平面，平面，所以．过点作，垂足为．又，，，，，所以，即．又，平面，所以平面．（2）设，分别为，的中点，连接，，．在中，．因为，，所以四边形为平行四边形，所以，可得为直线与直线所成的角或补角．过点作，垂足为，连接．又，，，，，所以，所以直线与直线所成角的余弦值为．17.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求的取值范围．答案：（1）；（2）．解析：思路：(1)根据正弦定理，将角度化为边，得到三边关系，再利用余弦定理计算角A的值即可；(2)由(1)可知角A的值，故利用正弦定理边角互化将边转化为角，利用三角函数的性质计算范围；（1）解：由正弦定理可知：（为三角形外接圆的半径），故，，；代入，可得．因为，所以，，即，即；因为，所以．（2）由（1）知，，则，故；因为，根据正弦定理可知：．在锐角三角形中，由解得，所以，，，即的取值范围为．18.如图，在棱长为4的正方体中，点M，N分别在线段，上，且．（1）证明：平面．（2）记过且与平行的平面为，平面与直线交于点P，求的长．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）作，交于点，作，交于点，再连接，通过说明四边形是平行四边形，即可求证；（2）过点作直线，设直线分别与，交于点，，说明平面即平面，进而可求解.（1）作，交于点，作，交于点，连接．因为，所以．同理可得．因为在正方体中，，，所以，所以．因为，所以．因为，所以四边形是平行四边形，所以．因为不在平面内，平面，所以平面．（2）过点作直线，设直线分别与，交于点，，连接，，，记．因为，所以，，即，分别为，的中点．因为，，所以四边形为平行四边形，，所以，平面即平面，延长，与的交点即为点．因为，所以，解得．19.对于三维向量，定义“F变换”：，其中，，，．记．（1）若，求．（2）已知（），．(ⅰ)求p，q的值；(ⅱ)若经过m次“F变换”后，最小，求m的最小值．答案：（1）4；（2）(ⅰ)，；(ⅱ)9．解析：思路：(1)根据题干给的定义，代入计算即可；(2)(ⅰ)根据给出的坐标设的坐标，根据给出的定义找出两参数的关系，代入中计算参数的值；(ⅱ)由第(ⅰ)问的结论推出向量坐标的规律，通过归纳总结判断结果．（1）因为，则，，，故，又因为：，，，故，所以．（2）(ⅰ)设，则，