2025-2026学年湖南永州市跨世纪天成高级中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.（）A.0 B. C. D.2.已知，是线段的中点，则点的坐标是（）A. B. C. D.3.已知，，，则实数（）A.2 B. C. D.4.已知，则（）A. B. C. D.5.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（）A. B. C. D.6.已知非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.7.如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（）A.15米 B.米C.30米 D.米8.课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以，由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图直线与的边、分别相交于点、．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于几何体的描述错误的有（）A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形10.在中，角的对边分别为，则下列结论不正确的是（）A.B.若，则C.若，则D.若，则三角形为锐角三角形11.已知向量满足，，且，则（）A. B.C.与的夹角为 D.与的夹角为第二部分非选择题（共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设为虚数单位，若为纯虚数，则实数_________.13.正四棱台的上、下底面的边长分别是2cm和3cm，高是cm，则它的体积是__________．14.已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则___________．四、解答题：（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）15.在中，角、、的对边分别为、、，，.（1）若，求；（2）若的面积，求，.16.已知、是平面直角坐标系中的两个向量，其中（1）若点的坐标是，，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角．17.（1）已知，，且，求；（2）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值．18.在中，已知分别为上的点，且.（1）求；（2）求证：；（3）若是线段上的动点，满足均为正常数，求的最大值.19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值；（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.（）A.0 B. C. D.答案：B解析：思路：利用向量的加法的三角形法则即可求解.解答过程.故选：B.2.已知，是线段的中点，则点的坐标是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，是线段的中点，所以，所以点的坐标是.3.已知，，，则实数（）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：根据共线向量的坐标表示即可求得结果.解答过程：已知，，所以，解得：故选：B4.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.解答过程：因为，故，故故选：C.5.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以，，所以.6.已知非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，，所以向量在向量方向上的投影向量为.7.如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（）A.15米 B.米C.30米 D.米答案：C解析：思路：根据题意，得到，在中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.解答过程：在中，因为，可得在中，因为，可得在中，因为由余弦定理得即，可得解得或（舍去），即塔的高度为30米.故选：C.8.课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以，由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图直线与的边、分别相交于点、．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：过点作，取单位向量，由结合平面向量数量积的定义化简可得结果.解答过程：如下图所示，过点作，在中，，取单位向量，则，即，，，，所以，，即.故选：A.方法提示：方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于几何体的描述错误的有（）A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形答案：ABC解析：思路：根据题意，结合棱柱、棱锥和棱台的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解.解答过程：对于A中，有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的两个扣在一起的斜棱柱组成的多面体就不是棱柱，所以A错误；对于B中，有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体，只有各个梯形的腰延长交于一点时，该多面体才是棱台，所以B错误；对于C中，长方体是四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体，所以C错误；对于D中，根据正棱锥的定义，可得正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，所以D正确.故选：ABC.10.在中，角的对边分别为，则下列结论不正确的是（）A.B.若，则C.若，则D.若，则三角形为锐角三角形答案：ACD解析：思路：A选项，根据三角形内角和与诱导公式即可判断；B选项结合正弦定理大边对大角即可判断；C选项，利用余弦函数在上的单调性即可比较大小；D选项，根据余弦定理只能判断角为锐角，故可作出判断.解答过程：对于A：在中，，所以，则，故A错误；对于B：若，由大角对大边得，根据正弦定理得：，由，所以，即，故B正确；对于C：因为在上单调递减，若，则，故C错误；对于D：由正弦定理，等价于，再由余弦定理：，得为锐角，但无法确定是否为锐角，所以不能判定是锐角三角形，故D错误.11.已知向量满足，，且，则（）A. B.C.与的夹角为 D.与的夹角为答案：AC解析：思路：对两边平方可判断A；计算出可判断B；利用求出可判断CD．解答过程：对于A，因为，，且，所以，则，则，故A正确；对于B，因为，所以与不垂直，故B错误；对于C，，又，所以与的夹角为，故C正确D错误．故选：AC．第二部分非选择题（共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设为虚数单位，若为纯虚数，则实数_________.答案：解析：思路：根据已知条件，列出方程即可求解.解答过程：因为为纯虚数，所以，即，所以.故13.正四棱台的上、下底面的边长分别是2cm和3cm，高是cm，则它的体积是__________．答案：##解析：解答过程：正四棱台的上底面面积，下底面面积，14.已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则___________．答案：##解析：思路：建立平面直角坐标系求得向量的坐标表示联立方程组即可求得，可得结果.解答过程：以为坐标原点，分别以为轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：易知，则，由可得，解得；可得.故四、解答题：（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）15.在中，角、、的对边分别为、、，，.（1）若，求；（2）若的面积，求，.答案：（1）（2），解析：思路：（1）由条件结合正弦定理求结论，（2）先结合三角形面积公式求，再利用余弦定理求.（1）由正弦定理定理可得，又，，，所以，所以，（2）由三角形面积公式可得的面积，所以，又，，所以，由余弦定理可得，所以，所以.16.已知、是平面直角坐标系中的两个向量，其中（1）若点的坐标是，，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量的坐标表示求解即可.（2）根据与垂直，得到，结合向量数量积的定义求解即可.（1）.设点的坐标为，则，所以，解得，，故点的坐标为.（2）因为与垂直，所以，即，又，，所以，解得.所以.又，所以.17.（1）已知，，且，求；（2）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值．答案：（1）；（2），解析：思路：（1）把两个复数代入条件，利用复数除法化简，可得．（2）由于是方程的一个根，所以把它代入方程，整理成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得方程组，即可解得.解答过程：（1）由，得．（2）由于是方程的一根，则，即，所以，解得，，．18.在中，已知分别为上的点，且.（1）求；（2）求证：；（3）若是线段上的动点，满足均为正常数，求的最大值.答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）根据数量积运算律及数量积定义，转化法计算得出模长；（2）根据数量积运算律及数量积定义，得出，即可证明；（3）应用平面向量基本定理结合共线得出结合基本不等式计算求出最大值.（1），-，，所以，；（2），所以，所以；（3）因为，由三点共线可得，，所以，所以，当且仅当时取最大值.19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值；（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．答案：（1）（2），（3）存在，解析