2025-2026学年江苏连云港市赣榆区高二下册期中学业水平质量监测数学试题 含解析

/数学满分150分，共4页，考试时间120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）1.已知集合，，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.2.已知向量，，，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则与的夹角为锐角3.若，则（）A. B. C. D.4.已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形5.已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.6.在复平面内，复数（为虚数单位）与点对应，则（）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，的平分线交线段于点，则点的坐标为（）A. B. C. D.8.已知在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）9.下列命题正确的是（）A.若，则B.若，为复数，则C.若，则D.若，则的取值范围为10.在中，，则下列等式恒成立的是（）A.B.C.D.11.在圆的内接四边形中，，，，则下列结论正确的是（）A.B.圆的半径为4C.四边形面积为D.若、分别为，中点，则三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.在复数集中，若复数z满足，则___________．13.若，则_____.14.在边长为6的菱形中，，是菱形内的一点，且，则的最小值为_____四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知复数，，，i为虚数单位.（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）若为正实数，求.16.已知，，且与的夹角为，求：（1）；（2）向量与的夹角的余弦值.17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）若，的面积，线段中点为，求的长.18.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若为的内角，当时，.（i）求；（ii）若，其对边，求面积的取值范围.19.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（1）若，，①求；②角的内角平分线交于，求线段的长；（2）求的取值范围.

数学满分150分，共4页，考试时间120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）1.已知集合，，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，，，，所以，所以.2.已知向量，，，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则与的夹角为锐角答案：B解析：解答过程：对于A，如，，，而，故A错误；对于B，因为，所以与方向相同，故，故B正确；对于C，若，满足，，但与不一定平行，故C错误；对于D，当为非零向量，且共线同向时，满足，此时与的夹角为0，故D错误.3.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，得，解得.4.已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形答案：C解析：思路：由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果.解答过程：由，可得，，，所以，，因为，所以，即，所以是等腰三角形.故选：C.5.已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由求得，再根据投影向量的概念求解.解答过程：由，得，解得，所以，所以，则，所以在上的投影向量为.6.在复平面内，复数（为虚数单位）与点对应，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题可得，两式平方相加得，所以，解得.7.在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，的平分线交线段于点，则点的坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由角平分线的性质可得，再根据，计算求得结果，从而得到点的坐标.解答过程：由题可得，，，由角平分线性质可得，所以，，所以点的坐标为.8.已知在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转化，得到，再结合三角形是锐角三角形求出角的范围，最后化简所求式子并根据角的范围确定其取值范围.解答过程：因为，又，所以，化简得，由正弦定理得，即，所以，即，因为是锐角三角形，所以，即，又，即，解得，由正弦定理，，因为，所以，则，所以的取值范围是.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）9.下列命题正确的是（）A.若，则B.若，为复数，则C.若，则D.若，则的取值范围为答案：BD解析：解答过程：对于A，若为非零向量，由，又，则，又，所以，不满足，故A错误；对于B，设，，，则，所以，又，，所以，所以，故B正确；对于C，若，满足，但与不一定相等，故C错误；对于D，设，则表示的对应点在圆心为，半径为2的圆上，所以表示圆上的点到原点的距离，故的取值范围为，故D正确.10.在中，，则下列等式恒成立的是（）A.B.C.D.答案：ACD解析：解答过程：对A：因为，所以，故A正确；对B：，故B错误；对C：，故C正确；对D：，,所以，故D正确.11.在圆的内接四边形中，，，，则下列结论正确的是（）A.B.圆的半径为4C.四边形面积为D.若、分别为，中点，则答案：ACD解析：思路：对A，在和中，分别利用余弦定理表示，运算得解；对B，由选项A得，在中利用正弦定理求解；对C，由四边形的面积，运算得解；对D，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出四边形外接圆的方程，结合求出点的坐标，进而求出的坐标，得解.解答过程：对于A，由圆内接四边形对角互补，即，故，在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，，故A正确；对于B，由，，故，四边形的外接圆即是的外接圆，故的外接圆的半径，故B错误；对于C，四边形的面积，故C正确；对于D，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于为轴，建立平面直角坐标系，由，，则，，直线的斜率，则的中垂线斜率为，的中点为，所以的中垂线方程为，即，又线段的中垂线方程为，则四边形外接圆圆心坐标为，所以四边形外接圆的方程为，设，由，得，两式相减得，代回，得，解得或，当时，代回，得，即，此时点在之间，不合题意；当时，得，即，故点，又点，所以，故D正确.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.在复数集中，若复数z满足，则___________．答案：解析：思路：设出，再利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出结果.解答过程：设，则，则，解得，或，所以或，故13.若，则_____.答案：##解析：解答过程.14.在边长为6的菱形中，，是菱形内的一点，且，则的最小值为_____答案：解析：思路：以菱形的对角线的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据已知条件求得点的轨迹方程，利用向量数量积的坐标表示得出的表达式，再根据其几何意义，结合圆上的点到定点的距离的最小值求法，求得其最小值．解答过程：如图，以菱形的对角线的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，因为，所以.设，则，所以.因为，所以，即.所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分.，可看作是圆Q在菱形中的部分上的点到定点的距离，所以其最小值为.所以的最小值为，所以的最小值为.四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知复数，，，i为虚数单位.（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）若为正实数，求.答案：（1）（2）5解析：（1），因为为纯虚数，所以且，得.（2），因为，所以为实数，所以且，得，所以，所以.16.已知，，且与的夹角为，求：（1）；（2）向量与的夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：（1）已知，，且与的夹角为，所以.（2）设与夹角为，因为，，且与的夹角为，则，，所以.17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）若，的面积，线段中点为，求的长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）将条件式利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换化简求得答案；（2）由（1）结合三角形面积公式求得，再由余弦定理得，根据，利用向量运算得解.（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，所以，又，，所以，即，所以，又，所以，故.（2）由（1），，因为，所以，所以，又因为，所以，得，又，所以，所以，所以.18.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若为的内角，当时，.（i）求；（ii）若，其对边，求面积的取值范围.答案：（1）（2）（i）或；（ii）解析：思路：（1）由向量共线的坐标表示，结合诱导公式、辅助角公式、二倍角公式可得的值，根据二倍角的余弦公式可得到的值，或求出，从而得到的值；（2）由数量积的坐标表示，结合三角恒等变换公式可得的值；由三角形面积公式，结合三角恒等变换可将面积表示成的函数，根据的取值范围可得的取值范围.（1）因为，所以即即，即，所以.方法二：由，得.那么所以（2）因为，所以即，，即又因为，而，所以.所以或，所以或.（ii）因为，所以由（2）知，所以.由正弦定理知，.又因为，所以所以.即面积的取值范围是.19.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（1）若，，①求；②角的内角平分线交于，求线段的长；（2）求的