2025-2026学年江苏连云港市海州区高二下册期中学业水平质量监测数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.一、单项选择题（共8小题满分40分）1.的值是（

）A. B. C. D.2.设随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.53.已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（）A. B. C. D.14.已知随机变量的分布列如下：012若，则（）A. B.7 C.21 D.225.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（）A. B. C. D.6.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（）A. B. C. D.7.某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（）A.36 B.72 C.90 D.1448.如图，已知两个正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线和上移动，且.当的长最小时，直线和夹角的余弦值是（）A. B.0 C. D.二、多项选择题（共3小题满分18分）9.已知空间向量，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若在上的投影向量为，则D.若与夹角为钝角，则10.甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（）A.老师不排在两端的概率为B.学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为C.学生甲、乙、丙连排在一起的概率为D.老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为11.如图所示，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.平面B.不存在点，使得平面平面C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为D.若正方体棱长为1，则以为球心，为半径的球体被平面所截图形面积的最小值为+2三、填空题（共3小题满分15分）12.若，则_____.13.现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有___________种.14.某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______．四、解答题（共5大题满分77分）15.从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛．（1）如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？（2）如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？16.已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等.（1）求n的值与展开式中各项的系数和；（2）求展开式中二项式系数最大的项.17.如图，三棱锥中，平面AOB，，，．（1）求证：平面POC；（2）求平面PAB与平面POC夹角的余弦值．18.某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上、下山的方式互不影响．（1）从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率；（2）从该景区出口随机选取4名下山的游客，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列及数学期望．19.如图，在四棱锥中，平面，是的中点．（1）求证：平面；（2）若，（i）求平面与平面夹角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

数学本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.一、单项选择题（共8小题满分40分）1.的值是（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据组合数、排列数计算公式求解.解答过程.故选：A2.设随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5答案：B解析：思路：利用正态分布的对称性直接求解即可.解答过程：易知正态分布关于对称，因此，又，所以,所以.3.已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（）A. B. C. D.1答案：D解析：思路：利用向量的数量积求解.解答过程：向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，，，，解得.故选：D.4.已知随机变量的分布列如下：012若，则（）A. B.7 C.21 D.22答案：C解析：解答过程：易知，可得；又，可知，所以，解得，因此；所以.5.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：把一枚骰子连续抛掷两次，基本事件总数，利用列举法求出事件包含的基本事件，事件包含的基本事件，求出，再利用条件概率公式可求得结果.解答过程：把一枚骰子连续抛掷两次，基本事件总数，事件包含的基本事件有：，共9种，事件包含的基本事件有：，共5种，所以，所以.故选：B6.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，可证平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用空间向量求点到平面的距离.解答过程：如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，可得，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，可得，因为，可知，且平面，平面，所以平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，则点到平面的距离为，所以直线到平面的距离为.7.某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（）A.36 B.72 C.90 D.144答案：B解析：思路：先算5个景点3天游览的总方案数，再算、同天的方案数，用总方案数减、同天的方案数，最终得出结果.解答过程：5个景点分到3天，每天至多2个景点，因此分组只能是2，2，1，所以，又因为，所以总方案数，若A、B安排在同一天：共分组方式，又因为三个组分配到3天，共种排列，因此A、B同天的方案数，所以，即不同的安排方案种数为72.8.如图，已知两个正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线和上移动，且.当的长最小时，直线和夹角的余弦值是（）A. B.0 C. D.答案：B解析：思路：建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解最小时的，进而利用向量计算即可求得结果.解答过程：因为平面平面，，，且平面平面，平面，故平面，又平面，故，从而两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，有，，，，，，，，，，当时，最小，最小值为；即当，为、中点时，最短，则，，，，，直线和夹角的余弦值是.二、多项选择题（共3小题满分18分）9.已知空间向量，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若在上的投影向量为，则D.若与夹角为钝角，则答案：AB解析：思路：根据向量的加法的坐标运算，计算即可判断A；根据两向量平行的坐标关系，可判断B；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C；根据夹角为钝角，可得，且与不共线，根据数量积公式求解可判断D.解答过程：对于A，由，则，即，解得，故正确；对于B，若，显然与不共线，若，与共线，则，解得，故正确；对于C，因为在上的投影向量为，所以，即，解得或，故错误；对于D，若与夹角为钝角，可得，且与不共线，则，解得，且，即，所以，故错误，故选：AB.10.甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（）A.老师不排在两端的概率为B.学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为C.学生甲、乙、丙连排在一起的概率为D.老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为答案：ACD解析：思路：利用古典概型即可判断A；利用插空法结合古典概型即可判断B；利用捆绑法结合古典概型即可判断C；利用排除法结合古典概型即可判断D.解答过程：对于A，老师不排在两端的概率为，故A正确；对于B，先排甲、乙、丙之外的3人，有种，形成了4个空，在这4个空中排甲、乙、丙，方法有种，所以甲、乙、丙互不相邻的排法有种，所以所求概率为，故B错误；对于C，甲、乙、丙连排在一起有种，把甲、乙、丙看作一个整体，再和其他三人一起排，有种，所以学生甲、乙、丙连排在一起的概率为，故C正确；对于D，从学生甲、乙、丙中任选出2人看作一个“整体”，方法有种，先排教师和余下的两人，有种，形成了4个空，将整体和另一个人插在4个空之间，有种，所以满足条件的排法有种，若老师排在两端，与其他两人先排，有种，形成了3个空，将整体和另一个人插在3个空中，有种，满足此条件的排法有种，所以满足条件的排法有种，所以所求概率为，故D正确.11.如图所示，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.平面B.不存在点，使得平面平面C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为D.若正方体棱长为1，则以为球心，为半径的球体被平面所截图形面积的最小值为+2答案：AC解析：思路：通过证明平面平面，判断A；建立空间坐标系，利用线线垂直的向量求法及面面垂直判定定理即可判断B；利用线面角的向量求法即可判断C；利用截面圆性质求出截面圆半径，代入圆的面积求解公式即可判断D.解答过程：对于A，连接，，正方体中，，，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面.又，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面.故A正确.以为坐标原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，，，，所以，，.所以，，所以，，即，，又，平面，且，所以平面，又平面，所以平面平面.所以当点为中点时，，，三点共线，所以平面与平面为同一平面，此时平面，所以平面平面.故存在点，使得平面平面，B错误.由平面，取平面的法向量为.设，，则.设直线与平面所成角为，则，因为，所以，所以，所以，即直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故C正确.当时，已知为边长为2的等边三角形，此时，，，，设点到平面的距离为，则.当点与点重合时，取最小值，最小值为1，此时截面的半径取最小值，为，所以截面面积的最小值为，故D错误.三、填空题（共3小题满分15分）12.若，则_____.答案：解析：思路：根据组合数的性质计算可得结果.解答过程：由题意得，且，解得，∵，∴或，解得（舍去）或．13.现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有___________种.答案：420解析：思路：分使用五种染料、四种染料、三种染料求解，最后相加即可.解答过程：五个顶点涂五种不同的颜色，有（种）涂法；五个顶点涂四种不同的颜色，其中同色不同色或不同色同色，有（种）涂法；五种顶点涂三种不同的颜色，其中同色且同色，有（种）涂法.综上，共有120＋240＋60=420（种）涂色方法.故42014.某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______．答案：①.0.6##②.1.6##解析：思路：第一空，设事件表示“第次投篮命中”，然后根据全概率公式求解即可.第二空，先求出每组投篮训练成功的概率，再根据二项分布的期望公式计算.解答过程：设事件表示“第次投篮命中”，则表示“第次投篮未命中”.由题意，.根据全概率公式可得.每组连续投篮命中2次为成功，第一次命中概率为，若第一次命中，则第二次命中的概率为，根据分步乘法计数原理，每组投篮训练成功的概率为.又每组投篮训练成功与否相互独立，且每组投篮训练成功的概率均为，共进行组投篮训练，所以，所以.四、解答题（共5大题满分77分）15.从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛．（1）如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？（2）如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？答案：（1）30（2）51解析：思路：（1）先选男生有种选法，再选满足条件的女生有种选法，再由分步乘法计数原理即可得出答案.（2）方法一直接法，求出符合条件的两类选法，由分类加法计数原理即可得出答案；方法二排除法，用总的方法总数减去两种不符合条件的情况，即可得出答案.（1）选1名男生，有种选法，选3名女生，且女生甲必须在内，有种选法．所以符合条件的不同选法有（种）．（2）方法一（直接法）：符合条件的选法有两类：第1类，2名男生，2名女生的选法有种；第2类，3名男生，1名女生的选法有种；所以男生不少于2名的不同选法有（种）．方法二（排除法）：因为从9名学生中，选4名代表的选法共有种，其中包括1男3女和4女0男两种不符合条件的情况，所以男生不少于2名的不同选法有（种）．故共有51种不同的选法．16.已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等.（1）求n的值与展开式中各项的系数和；（2）求展开式中二项式系数最大的项.答案：（1）6,1；（2）.解析：思路：（1）利用组合数性质求，赋值法求系数和；（2）根据组合数性质确定二项式最大项，结合通项公式可得.（1）由题知，，由组合数性质可知，；令得展开式中各项的系数和为（2）因为，所以展开式共有7项，由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大，所以.17.如图，三棱锥中，平面AOB，，，．（1）求证：平面POC；（2）求平面PAB与平面POC夹角的余弦值．答案：（1）证明见详解（2）解析：思路：（1）根据几何性质，证明，再结合平面AOB即可证明平面POC；（2）以O为原点，OA为轴，OC为轴，OP为轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求解二面角的余弦值即可．（1）因为平面AOB，平面AOB，因此，，故，在等腰中，易知，，由正弦定理可得，则，在中，由余弦定理，可得，故有，则，因为，平面POC，且、，所以平面POC．（2）由（1）知，OA、OP、OB三者两两垂直，则以O为原点，OA为轴，OC为轴，OP为轴建立空间直角坐标系，则，，，，又，可得，因为平面POC，所以平面POC的一个法向量为，又，，设平面PAB的法向量为，则，即，令，则可得平面PAB的一个法向量，为，所以平面PAB与平面POC的夹角余弦值为．18.某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上、下山的方式互不影响．（1）从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率；（2）从该景区出口随机选取4名