2025-2026学年江苏泰州市姜堰区高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.在中，角所对的边分别为，且，，则外接圆的面积为（）A.2 B.1 C. D.4.若三条线段的长分别为4，6，8，则用这三条线段（）A.能组成锐角三角形 B.能组成直角三角形C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形5.“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走6m后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，则长度为（）A. B. C. D.66.已知，则（）A. B. C. D.7.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（）A. B.C. D.8.如图，在中，，为上一点，且满足，若，则值为（）A. B.3 C. D.6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则（）A.若与垂直，则B.若，则C.与同向的单位向量为D.若，则向量在向量上的投影向量为10.计算下列各式，结果为的是（）A. B.C. D.11.在中，内角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（）A.B.若，则面积的最大值为C.若，，则D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，若，则__________.13.已知，，三点在同一条直线上，则实数的值为__________.14.在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的浯溪碑林，是稀有的书法石刻宝库，最引人称颂的是公元771年刻的《大唐中兴颂》，该碑高3米，碑身离地有3.7米（如图所示），有一身高为180cm的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为10cm），设该游客离墙距离为米，视角为.若游客离墙距离为2米，则__________，若为使观赏视角最大，此时应为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量.（1）求；（2）求；（3）求.16.已知锐角满足.（1）求的值；（2）求的值.17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.18.“算两次“原理（又称富比尼原理）是一种重要的数学思想，其核心是通过对同量采用两种不同的计算方式，利用结果的等价性构建等式来解决问题.例如：如图甲，在中，为的中点，则、，两式相加得，因为为的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题.（1）如图乙，在四边形中，分别为的中点，试用和表示；（2）如图丙，在四边形中，分别在边上，且，，，，已知和的夹角为.①试用和表示；②求.19.已知函数.（1）若为锐角，，求的值；（2）在中，若，，是的中点，且，求的面积；（3）若对于任意，恒成立，求的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程.2.（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据向量的加法、减法运算法则求解即可.解答过程.3.在中，角所对的边分别为，且，，则外接圆的面积为（）A.2 B.1 C. D.答案：D解析：思路：由正弦定理求出外接圆的半径，代入圆的面积公式求解即可.解答过程：设外接圆的半径为，由正弦定理得，即，所以.所以外接圆的面积为.4.若三条线段的长分别为4，6，8，则用这三条线段（）A.能组成锐角三角形 B.能组成直角三角形C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形答案：C解析：解答过程：因为三条线段的长为4、6、8，所以满足任意两边之和大于第三边，故能构成三角形.设此三角形最大角为，对应的边为8，由余弦定理可得，可得为钝角，故能组成钝角三角形.5.“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走6m后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，则长度为（）A. B. C. D.6答案：A解析：思路：利用正弦定理求解即可.解答过程：延长到点.由题意得，，，.在中，.由正弦定理得，即，所以.6.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，，则，，．7.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：采用坐标法，首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再表示为基底形式，利用待定系数法，即可求解.解答过程：如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则，，，，所以，，，设向量则则，解得所以.8.如图，在中，，为上一点，且满足，若，则值为（）A. B.3 C. D.6答案：A解析：解答过程：设，则，，，，为上一点，设，已知，，解得，，．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则（）A.若与垂直，则B.若，则C.与同向的单位向量为D.若，则向量在向量上的投影向量为答案：ACD解析：解答过程：对于A，由题意可得，解得，故A正确．对于B，因为，所以，解得，故B错误．对于C，与同向的单位向量是，故C正确．对于D，若，则，所以向量在向量上的投影向量是，故D正确．10.计算下列各式，结果为的是（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：根据辅助角公式即可求解A，根据正切的和差角公式即可求解BC，根据二倍角公式即可求解D.解答过程：对于A，，A正确；对于B，，B正确．对于C，，C错误；对于D，，D错误；故选：AB．11.在中，内角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（）A.B.若，则面积的最大值为C.若，，则D.若，则答案：ABD解析：思路：对于A，由余弦定理可判断选项正误；对于B，由余弦定理结合重要不等式可得面积最值；对于C，由同角三角函数关系及正弦定理可得，再由余弦定理可得；对于D，由辅助角公式及A分析可得，由正弦定理可得，据此可得.解答过程：对于A：由余弦定理得，，又，所以，又，所以，又，所以，A正确；对于B：由得，，所以，，当且仅当时等号成立，B正确；对于C：因为，，所以，由正弦定理得，，所以，由得，，整理得，解得或（舍去），C错误；对于D：由，得，由正弦定理，得，所以，故，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，若，则__________.答案：解析：解答过程：在中，由余弦定理得，所以.13.已知，，三点在同一条直线上，则实数的值为__________.答案：5解析：思路：根据向量共线的坐标表示求解即可.解答过程：，，因为三点共线，所以向量，共线，所以，解得，当时，，此时，则向量，共线，又为公共点，所以三点共线，综上，实数的值为5.14.在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的浯溪碑林，是稀有的书法石刻宝库，最引人称颂的是公元771年刻的《大唐中兴颂》，该碑高3米，碑身离地有3.7米（如图所示），有一身高为180cm的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为10cm），设该游客离墙距离为米，视角为.若游客离墙距离为2米，则__________，若为使观赏视角最大，此时应为__________.答案：①.②.解析：思路：设，求得的表达式，利用基本不等式求得最大时，对应的值.解答过程：设，由图可知：，则，，故当时，由基本不等式知，当，即时，最大，从而角最大.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量.（1）求；（2）求；（3）求.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由向量线性运算的坐标表示即可求解；（2）由向量夹角的坐标公式即可求解；（3）由向量模长公式即可求解.（1）由，得：

，，得：；（2），，，故；（3），所以.16.已知锐角满足.（1）求的值；（2）求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）首先由锐角求出，根据两角差的正弦公式求值；（2）由二倍角公式求出，根据两角和的余弦公式求出，然后根据角的范围确定角的值.（1）因为为锐角，所以，，，因为为锐角，所以，，，.（2）因为为锐角，,所以，又，，，，所以.17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解；（2）由，求得，由余弦定理求得，即可求得周长.（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，所以.又，所以.（2）由的面积为，得，即，解得.由余弦定理得，又，所以.所以的周长为.18.“算两次“原理（又称富比尼原理）是一种重要的数学思想，其核心是通过对同量采用两种不同的计算方式，利用结果的等价性构建等式来解决问题.例如：如图甲，在中，为的中点，则、，两式相加得，因为为的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题.（1）如图乙，在四边形中，分别为的中点，试用和表示；（2）如图丙，在四边形中，分别在边上，且，，，，已知和的夹角为.①试用和表示；②求.答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）分别在四边形、四边形中表示向量，两式相加再结合相反向量的和为，即可求解.（2）利用已知条件中的“算两次”原理将用和表示，再利用数量积的定义运算即可求解.（1）在四边形中，，在四边形中，，两式相加得，.因为分别为的中点，所以，，所以，即.（2）①在四边形中，，则.在四边形中，，所以.又，，所以，，所以，即.②.19.已知函数.（1）若为锐角，，求的值；（2）在中，若，，是的中点，且，求的面积；（3）若对于任意，恒成立，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由恒等变换公式化简函数解析式，即可得到，再由同角三角函数关系求出，利