2025-2026学年江苏无锡市玉祁高级中学高二下册期中检测数学试题 含解析

/数学总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（）A.4米/秒 B.3米/秒 C.2米/秒 D.1米/秒2.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.是函数的极小值B.的极小值点为C.在区间上单调递增D.在处切线的斜率等于03.已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时，012A.增大，增大B.减小，减小C.增大，先增大后减小D.增大，先减小后增大4.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（）A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.935.用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（）A.5 B.6 C.7 D.86.若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（）A. B. C. D.7.设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（）A. B. C. D.8.设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A. B.展开式中，二项式系数的最大值为C. D.的个位数字是110.[多选]生命在于运动．小兰给自己制订了周一到周六的运动计划，这六天里每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同．另外四种运动项目分别为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳，下列说法正确的是（）A.若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法B.若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法C.若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有36种不同的安排方法D.若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.，使得B.函数的图象是一个中心对称图形C.曲线有且只有一条斜率为的切线D.存在实数，，使得函数的定义域，值域为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数是_________.13.已知函数的单调递减区间是，则的值为______.14.已知函数，若曲线上任意一点处切线的斜率非负，则的最小值为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729．（1）求和的值；（2）求展开式中系数最大的项．16.甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响．（1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；（2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列．17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，且，求的取值范围.18.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．（1）求智能客服的回答被采纳的概率；（2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差；（3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由，19.已知函数fx=12x（1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值；（2）若，对任意的，且，不等式fx1−fx2<（3）证明：lnn

数学总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（）A.4米/秒 B.3米/秒 C.2米/秒 D.1米/秒答案：A解析：思路：直接求导并代入即可得到答案.解答过程：由，得，则物体在秒时的瞬时速度米／秒．故选：A.2.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.是函数的极小值B.的极小值点为C.在区间上单调递增D.在处切线的斜率等于0答案：AC解析：思路：由函数极值的定义即可判断A，由极值点的定义即可判断B，由原函数与导函数的关系即可判断C，由导数的几何意义即可判断D.解答过程：对于A，由图可知，导函数在两侧的单调性发生改变，且在的左侧递减，右侧递增，所以是函数的极小值，故A正确；对于B，极小值点是的值，而不是一个坐标点，由图象可知，时，由负变正，则是的极小值点，故B错误；对于C，由图象可知，时，，则原函数单调递增，故C正确；对于D，函数在处切线的斜率就是，由导函数图象可知，所以在处切线的斜率不等于0，故D错误；故选：AC3.已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时，012A.增大，增大B.减小，减小C.增大，先增大后减小D.增大，先减小后增大答案：C解析：思路：由分布列可知，随机变量服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断.解答过程：由题意可知，随机变量满足二项分布，即，易得，所以当且不断增大时，增大，先增大后减小.故选C.方法提示：本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.4.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（）A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.93答案：D解析：思路：根据全概率公式求解即可.解答过程.5.用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：C解析：思路：由每块区域都与其他三块区域有公共边，故用分步乘法计算即可.解答过程：区域①有n种，区域②有种，区域③有种，区域④有种，舍去，得(负数解舍去).故选：C.6.若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出函数的导数，利用单调性列出恒成立的不等式即可求解.解答过程：函数，求导得，由在区间上单调递增，得，，而对勾函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，因此，所以实数k的取值范围为.故选：B7.设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用概率的性质结合对立事件的概率公式得到，，最后结合条件概率公式求解即可.解答过程：因为，所以，而，由条件概率公式得，故C正确.8.设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先构造函数令，由题意判断出的奇偶性和单调性，将不等式转化成，即，由函数单调性可得到，解得即可．解答过程：令，，则由，可得，故为偶函数，又当时，，即，在上为增函数．不等式化为，，由函数单调性奇偶性可知：，解得，故选：．方法提示：本题考查构造函数法，利用导数判断函数的单调性，考查函数的对称性、单调性、奇偶性的应用，属于综合题．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A. B.展开式中，二项式系数的最大值为C. D.的个位数字是1答案：BD解析：思路：对于A：根据二项展开式分析求解；对于B：根据二项式系数的性质分析求解；对于C：利用赋值法，令、即可得结果；对于D：因为，结合二项展开式分析求解.解答过程：对于选项A：的展开式的通项为，令，可得，所以，故A错误；对于选项B：因为为偶数，可知二项式系数的最大值为，故B正确；对于选项C：令，可得；令，可得；所以，故C错误；对于选项D：因为，且的展开式的通项为，可知当，均为20的倍数，即个位数为0，当时，，所以的个位数字是1，故D正确；故选：BD.10.[多选]生命在于运动．小兰给自己制订了周一到周六的运动计划，这六天里每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同．另外四种运动项目分别为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳，下列说法正确的是（）A.若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法B.若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法C.若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有36种不同的安排方法D.若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法答案：BCD解析：解答过程：对于A，若瑜伽被安排在周一和周六，则共有（种）不同的安排方法，故A错误；对于B，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，不同的安排方法的种数为，故B正确；对于C，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有（种）不同的安排方法，故C正确；对于D，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有种不同的安排方法，再从5个空位里插入2个，安排练习瑜伽即可，故共有（种）不同的安排方法，故D正确．11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.，使得B.函数的图象是一个中心对称图形C.曲线有且只有一条斜率为的切线D.存在实数，，使得函数的定义域，值域为答案：ABD解析：思路：求解指数方程计算判断A，应用对称中心定义计算判断B，应用导数值域判断C，应用函数交点判断D.解答过程：因为，当，所以，可得，且，所以，使得，A选项正确；，所以函数的一个中心对称为，B选项正确；，又因为，所以，所以函数没有斜率为的切线，C选项错误；令，，所以，有两个交点，所以存在实数，，使得函数的定义域，值域为，D选项正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数是_________.答案：解析：思路：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.解答过程：对，有，则，，则的展开式中的系数是.13.已知函数的单调递减区间是，则的值为______.答案：解析：思路：先求出，由题设易知是的解集，利用根与系数关系求m、n，进而求的值.解答过程：由题设，，由单调递减区间是，∴的解集为，则是的解集，∴，可得，故.故14.已知函数，若曲线上任意一点处切线的斜率非负，则的最小值为_______.答案：解析：思路：利用导数的几何意义转化为在上恒成立，通过同构转化不等式后进行参变分离，再构造新函数利用导数求最值得解.解答过程：的定义域为，，．由题意，得在上恒成立，即时，恒成立.令，，在单调递增，若，则恒成立，若，则由的单调性可得，故恒成立.即，令，则，令，得，当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，．所以，即m的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729．（1）求和的值；（2）求展开式中系数最大的项．答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据二项展开式中二项式系数的性质即可得出值，再令即可得到所有项的系数和从而求出值；（2）先写出展开式的通项，设第项的系数最大，从而列出不等式组，再根据的取值范围即可求出值，再代入通项计算即可.（1）因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项，即.令，所以所有项的系数和，因为，解得；（2）的展开式的通项为，，设展开式中第项的系数最大，则，解得，因为，所以，所以展开式中系数最大的项为.16.甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响．（1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；（2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列．答案：（1）（2）的分布列为：234解析：思路：（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果；（2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列.（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”，，，所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率：.（2）随机变量的可能取值为2，3，4.，，.所以的分布列为：23417.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，且，求的取值范围.答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）对函数求导，应用导数的区间符号研究的单调性；（2）问题化为恒成立，再应用导数研究右侧的最值，即可得范围.（1）由题设且，则，，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，综上，在上单调递减，在上单调递增；（2）由，结合（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以，则，由，则恒成立，令且，则当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以，故，则的取值范围.18.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．（1）求智能客服的回答被采纳的概率；（2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差；（3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，