2025-2026学年江苏盐城外国语学校高二下册期中素质评估练习数学试题 含解析

/数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷；第I卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.1.下列求导运算中，不正确的是（）A.sinx'=cosC.ex+ln2.已知点，在函数的图象上，若函数在上的平均变化率为，则下面叙述正确的是（）A.直线的倾斜角为 B.直线的倾斜角为C.直线的斜率为 D.直线的斜率为3.在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布.若X在内的概率是0.6，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（）A. B. C. D.4.定义在R上的函数，若，则（）A. B. C.2 D.45.已知随机变量的分布列如下，则（）A. B. C. D.6.已知，则a，b，c大小关系为（）A. B.C. D.7.已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论不正确的是（）A.当、独立时，B.当、互斥时，C.D.8.对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若随机变量的概率分布列为，则B.若随机变量，若，则C.若随机变量，则D.在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则10.暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（）A.甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件B.甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立C.甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于D.若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为11.已知函数，则下列选项正确的有（）A.函数有唯一零点B.若方程有两个实数解，则实数的取值范围为C.若对任意恒成立，则实数的取值范围为D.记，则第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上.12.5个人站成一排拍照，其中甲乙两人相邻的概率是___________.13.已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则_________．14.定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是___________.四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.已知函数fx=x3+（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最值.16.现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”.（1）求；（2）若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率.17.已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．（1）求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；（2）求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．18.已知函数，实数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围.19.已知函数，其中为常数.（1）若函数的极小值点为，求的值；（2）若在时恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.

数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷；第I卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.1.下列求导运算中，不正确的是（）A.sinx'=cosC. D.23答案：C解析：解答过程：对于A，sinx对于B，x2对于C，ex对于D，232.已知点，在函数的图象上，若函数在上的平均变化率为，则下面叙述正确的是（）A.直线的倾斜角为 B.直线的倾斜角为C.直线的斜率为 D.直线的斜率为答案：B解析：思路：函数在区间上的平均变化率的几何意义是曲线上两点，所在直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角.解答过程：在上的平均变化率为,在上的平均变化率就是直线的斜率，所以，故直线的倾斜角为，故选：B3.在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布.若X在内的概率是0.6，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正态分布的对称性求出概率，再由独立重复试验的概率计算公式求解解答过程：因为在[85,115]内的概率为，所以P85≤X≤115记“任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85”为事件，则PA4.定义在R上的函数，若，则（）A. B. C.2 D.4答案：A解析：思路：利用导数的定义求解即可.解答过程：已知，由导数的定义可以知道，设，当时，.且所以5.已知随机变量的分布列如下，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由概率之和为可得，解得，因为，所以.6.已知，则a，b，c大小关系为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系.解答过程：根据式子结构，构造函数，则，令，则，令，得，因此在单调递增，在单调递减，而，，，因为，所以，即.故选：D7.已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论不正确的是（）A.当、独立时，B.当、互斥时，C.D.答案：C解析：思路：利用条件概率公式、独立事件、互斥事件的定义逐项判断即可.解答过程：对于A选项，若、独立，则，由条件概率公式可得，A对；对于B选项，若、互斥，则，所以PAB=PAB对于CD选项，PB8.对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026答案：C解析：思路：由题设对求二阶导并确定零点，进而可得对称中心，利用求目标式的值即可.解答过程：因为，所以，令gx=x令，即，解得，又，由题中给出的结论，可知函数的对称中心为，所以，即，故所求式子的各项可配对，有fk2026+所求式子的中间项为f1013所以f1二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若随机变量的概率分布列为，则B.若随机变量，若，则C.若随机变量，则D.在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则答案：ACD解析：思路：对于A，根据分布列的概率和为1可求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可求解；对于C，根据二项分布的方差公式即可求解；对于D，根据超几何分布的概率公式即可求解.解答过程：对于：，所以，所以，故A正确；对于，可得，故B不正确；对于，因为，所以，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD.10.暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（）A.甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件B.甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立C.甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于D.若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为答案：ACD解析：思路：对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，由全概率公式求解判断；对D，由条件概率的计算公式求解判断.解答过程：设“甲同学今天早上骑共享自行车出行”为事件A1，“甲同学今天早上乘公交车出行”为事件A2，“甲同学今天早上乘地铁出行”为事件，“甲同学到达图书馆能立即找到空座位”的事件为B．对于A，A1与A2不能同时发生，故A正确；对于B，因为，，但，故，故B错误；对于C，由，，，，，，由全概率公式得：．故C正确；对于D，由题意可知所求概率为；故D正确．故选：ACD．11.已知函数，则下列选项正确的有（）A.函数有唯一零点B.若方程有两个实数解，则实数的取值范围为C.若对任意恒成立，则实数的取值范围为D.记，则答案：ACD解析：思路：借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可.解答过程：对于A：函数的定义域为，又因为，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在取到最大值，且，又因为当时，，当时，，故有唯一零点，故A正确；对于B：函数的定义域为，又因为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在取到最大值，且，又因为当时，，当时，，所以若方程有两个实数解，则，故B错误；对于C：若对任意恒成立，分情况讨论：当时，左边，不等式成立；当时，，不等式变形为，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得最大值，最大值为，故；当时，，不等式变形为，令，求导同，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得最小值，最小值为，故，综上，，故C正确；对于D：因为，令，所以在上恒成立，故，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为，而，故，故D正确.方法提示：以导数为工具，精准分析和的单调性、极值与最值，是解决本题的关键.第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上.12.5个人站成一排拍照，其中甲乙两人相邻的概率是___________.答案：##0.4解析：思路：将甲乙两人捆绑重新全排列解答过程：甲乙两人看作一个整体捆绑，与其余3个人全排列，共有种，又甲乙两个人之间有2种排序，故甲乙相邻共有种情况，5个人全排列共有A5513.已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则_________．答案：##解析：思路：先求曲线在点处的切线方程，再与抛物线方程联立，利用相切条件（判别式为零）解出.解答过程：设，则，则，则在处的切线的方程为，即，联立，得，因为直线与抛物线也相切，则有，解得.14.定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是___________.答案：解析：思路：构造辅助函数，利用导数判断其单调性，再利用为奇函数求出的值，从而将原不等式转化为关于的不等式进行求解.解答过程：设，则，因为，所以，所以为定义在上的减函数，因为为奇函数，所以，故，所以，所以，即，即，故.所以不等式的解集为.四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.已知函数fx=x3+（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最值.答案：（1）（2）最小值为，最大值为解析：思路：（1）利用函数在极值点处的两个核心条件——函数值为0、导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极小值点；（2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解.（1），，当时，有极小值0，∴f′1=0∴3+2a+b=01+a的解为或，在上是单调递增函数；的解为，在上是单调递减函数，在处取得极小值，满足题意，故.（2）由（1），，，又，在上的解为，在上是单调递增函数；在上的解为，在上是单调递减函数；在上的最小值为，又，，在上的最大值为，综上可知，在上的最小值为，最大值为.16.现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”.（1）求；（2）若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据给定条件，利用古典概率公式计算即得.（2）由（1）的结论，利用全概率公式列式计算求得，进而求得结果.（1）,,,（2），.该球是甲工厂生产的概率为.17.已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．（1）求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；（2）求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．答案：（1）分布列见解析，（2）分布列见解析，解析：思路：（1）有放回抽样时，，求出对应概率，得到分布列，最后由二项分布方差公式可得；（2）不放回抽样时，，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列．进而期望即可.（1）有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3．每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则，所以，，，，则X分布列为：X0123P则（2）不放回抽样时，则，，，则Y的分布列为：Y012P则18.已知函数，实数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围.答案：（1）减区间为，增区间为（2）解析