复变函数课件

复变函数课件演示文稿第1页，共73页。参考教材1.数学物理方法(第三版)，汪德新编，科学出版社，2007年4月.2.

数学物理方法与计算机仿真，杨华军编，电子工业出版社，2006年7月.3.

MATLAB及在电子信息课程中的应用(第3版)，陈怀琛等编著,电子工业出版社,2006.4.复变函数与积分变换典型题分析解集(第二版)，李建林编，西北工业大学出版社,2001年1月.017－44/1－2第2页，共73页。教学方式与要求方式

板书结合PPT源于课本稍高于课本要求

适当做笔记按质完成作业第3页，共73页。复变函数积分变换解析函数(导数)复变积分两者关系:级数留数Fourier变换Laplace变换《复变函数与积分变换》主要内容第六－七章不讲共9周36课时第4页，共73页。复球面第5页，共73页。4.4罗朗级数第6页，共73页。§2.3初等函数指数函数对数函数三角函数与反三角函数双曲函数与反双曲函数幂函数小结第7页，共73页。2.3.1指数函数1.定义

对于复数z=x+iy,定义指数函数为注:2.性质3.举例函数图像第8页，共73页。2.3.2对数函数1.定义2.性质(1)多值性

主值支(2)运算性(3)解析性3.举例函数图像作业！第9页，共73页。2.3.3三角函数1.定义注:正、余弦函数可以大于1.2.性质(1)单值性(2)周期性(3)奇偶性(4)三角公式(5)解析性函数图像第10页，共73页。反三角函数定义

如果sinw=z,则称w为z的反正弦函数，记为同样，有函数图像均为多值函数.第11页，共73页。2.3.4双曲与反双曲函数双曲函数与反双曲函数注：双曲函数与三角函数的关系为函数图像Q:双曲正(余)弦的单值性、周期性、奇偶性如何？第12页，共73页。2.3.5幂函数1.定义2.3.举例第13页，共73页。小结

初等函数是复变函数的主要研究对像.

介绍了常见的基本初等函数，注意与实变初等函数类比学习，着重掌握它们之间的区别.

要求:会计算基本初等函数值.

展望第三章复变函数积分.第14页，共73页。结论:一般情形下幂函数为多值函数函数图像函数图像互为反函数第15页，共73页。指数函数w=exp(z)的图像虚部MATLAB及在电子信息课程中的应用(第3版)陈怀琛等编著,电子工业出版社,2006.电路信号与系统数字信号处理控制系统第16页，共73页。对数函数w=Ln(z)的图像虚部实部第17页，共73页。三角函数w=sin(z)的图像虚部第18页，共73页。反三角函数w=Arctan(z)的图像虚部第19页，共73页。双曲正弦函数w=sh(z)或w=sinh(z)的图像虚部第20页，共73页。幂整函数的图像虚部第21页，共73页。虚部根式函数

的图像第22页，共73页。Fourier&LaplaceTransform

Define

Conditions

Properties线性性质对称性质延迟、位移性质相似性质

Define

Conditions

Properties线性性质对称性质(无)延迟、位移性质相似性质

第23页，共73页。Con’t卷积定理乘积定理及Parseval定理微分性质积分性质

卷积定理周期函数的像函数

微分性质积分性质

Def:Def:第24页，共73页。常见函数的Fourier变换

(4).常见广义Fourier变换抽样函数第25页，共73页。常见函数的Laplace变换Attention:t-域函数f(t)的理解应该为t为非负！第26页，共73页。t-域symst,w;figure(1);ezplot((sin(t))./t,[-50,50]);Fw=fourier((sin(t))./(t),w);figure(2);ezplot(Fw,[-5,5])Matlabcode第27页，共73页。W-域第28页，共73页。《数学物理方程与特殊函数》

东南大学数学系(第三版)第29页，共73页。主要内容“三类典型方程”

＋

“边界条件”分离变量法(有界)行波法与积分变换法(无界)Green函数法(有界或无界)BesselLegendre第七－九章不讲共9周36课时求解Sin&Cos

第30页，共73页。预备知识

1基本概念偏微分方程(PDE):

含有未知多元函数及其偏导的方程，如其中:为多元函数.方程的阶:未知函数导数的最高阶数；方程的次数:最高阶偏导的幂次；线性方程:未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项:

不含未知函数及其导数的项；齐次方程:没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非齐次的；第31页，共73页。Con’t方程的解:若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解:包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数；特解:不含任意独立函数的方程的解.例如：

二阶线性非齐次偏微分方程的通解为

其中，F与G为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数.

一阶非线性非齐次PDE二阶线性齐次PDE第32页，共73页。弦的微小横振动第33页，共73页。传输线方程第34页，共73页。补充1:正交函数系函数正交正交函数系常见的正交函数系Chap2SeparateVariations第35页，共73页。函数的正交展开完备正交系函数广义Fourier级数展开第36页，共73页。三角函数正交关系第37页，共73页。分离变量法解的物理意义级数解中前四个驻波分量的运动第38页，共73页。分离变量法小结第一步：分离变量.u(x,t)=X(x)T(t)第二步：求解本征值(固有值)问题.X(x)+BCODE第三步：求解T(t)满足的常微分方程.第四步：作特解的线性叠加.第五步：由初始条件确定系数.(三角函数的正交性)

为方便记忆:“定解条件写完整，边界条件齐次化；五个步骤循序解，特征问题是关键”.第39页，共73页。常见边值问题X´´+

X=0的本征函数小结第40页，共73页。常见边值问题对应的本征函数第41页，共73页。分离变量法抛物型方程＋第三类齐次边界条件(1-D)第42页，共73页。椭圆型方程＋第一类齐次边界条件(2-D)第43页，共73页。第44页，共73页。第45页，共73页。第46页，共73页。第47页，共73页。第48页，共73页。第49页，共73页。第50页，共73页。第51页，共73页。第52页，共73页。第二章总结齐次方程＋齐次边界：分离变量法或本征函数法非齐次方程＋齐次边界：本征函数法非齐次边界：先将边界齐次化后，再用本征函数展开法第53页，共73页。数理方程的分类标准化方法第三章行波法与积分变换法总结第54页，共73页。实系数型PDE方程的行波解标准型一般型第55页，共73页。一般强迫振动的定解问题(1)

第56页，共73页。一般强迫振动的定解问题(2)第57页，共73页。初始条件齐次非齐次达朗贝尔公式非齐次方程齐次方程冲量原理齐次方程非齐次方程达朗贝尔公式分解齐次方程+非齐初值非齐方程+齐次初值Chap3.Review(无界)第58页，共73页。边界条件齐次非齐次分离变量法非齐次方程齐次方程特征函数法分解齐次边界+非齐方程非齐边界+已知函数Chap2.Review(有界)第59页，共73页。总结PDE＋边界条件＋初始条件＝定解问题先看边界，再看初始条件，综合考虑PDE第60页，共73页。第四章Green函数法(以求解Poisson方程为例)

第61页，共73页。Green第二公式

第62页，共73页。圆域Green函数Chap4.Review(GreenFunction)第63页，共73页。球域Green函数第64页，共73页。球内源点与球外像点共同作用(Green函数)

第65页，共73