《运筹学》-第１３章　存储论及应用

１３．１存储论的基本概念１３.１.１存储问题的提出生产过程中经常会出现供应与需求之间的不协调，一般表现为供应量与需求量或供应时期与需求时期的不一致性，出现供不应求或供过于求的情况。例如（１）水电站在雨季到来之前，水库蓄水量问题（２）工厂生产所需原料的储存量问题（３）在商店里存储商品的数量问题在供应与需求这两个环节之间加入储存环节，就能起到缓解供应与需求之间不协调的问题，利用运筹学的方法可以用最合理、最经济方式解决存储问题。专门研究这类有关存储问题的科学已经构成运筹学的一个分支———存储论（Ｉｎｖｅｎｔｏｒｙ）或库存论。下一页返回１３．１存储论的基本概念１３.１.２存储论的基本概念１.需求由于需求，从存储中取出一定的数量，使存储量减少，造成存储的输出。需求的形式有间断式需求（图１３．１），连续均匀的需求，（图１３．２），确定性需求，随机性需求，如果经过大量统计后会发现统计规律，称之为有一定随机分布的需求。２.补充（订货或生产）存储由于需求而不断减少，必须加以补充，否则最终将无法满足需求。补充就是存储的输入。补充的办法可能是向其他工厂购买，从订货到货物进入“存储”需要的时间称为备货时间。备货时间可能很长，也可能很短，可能是随机性的，也可以是确定性的。上一页下一页返回１３．１存储论的基本概念为了在某一时刻能补充存储，必须提前订货，这段时间称之为提前时间（ｌｅａｄ-ｔｉｍｅ）。存储策略：决定多少时间补充一次以及每次补充数量的策略。３.费用（１）存储费：包括货物占用资金应付的利息以及使用仓库、保管货物、货物损坏变质等支出的费用。（２）订货费：包括两项费用，订购费用和货物的成本费用。订购费用（固定费用）如手续费、电信往来、派人员外出采购等费用。订购费与订货次数有关而与订货数量无关。上一页下一页返回１３．１存储论的基本概念货物的成本费用，它与订货数量有关（可变费用），如货物本身的价格，运费等。（３）生产费：由本厂自行生产需要支出两项费用。一项是装配费用（或称准备、结束费用，是固定费用），如更换模、夹具需要工时，或添置某些专用设备等属于这项费用，也用C３表示。另一项是与生产产品的数量有关的费用如材料费、加工费等（可变费用）。（４）缺货费：当存储供不应求时所引起的损失。如失去销售机会的损失、停工待料的损失以及不能履行合同而缴纳罚款等。在不允许缺货的情况下，在费用上处理的方式是缺货费为无穷大。上一页下一页返回１３．１存储论的基本概念４.存储策略决定何时补充，补充多少数量的办法称之为存储策略，常见的策略有三种类型。（１）t０-循环策略，每隔t０时间补充存储量Q。（２）（s，S）策略，每当存储量x＞s时不补充。当x≤s时补充存储。补充量Q＝S－x（即将存储量补充到S）。（３）（t，s，S）混合策略，每经过t时间检查存储量x，当x＞s时不补充。当x≤s时，补充存储量使之达到S。如何确定存储策略的方法有：将实际问题抽象为数学模型；将复杂的条件加以简化；用数学的方法加以研究，得出数量结论；到实践中加以检验、研究和修改。上一页返回13.2确定性存储模型１３.２.１模型一：不允许缺货，备货时间很短假设：（１）缺货费用无穷大；（２）当存储降至零时，可以立即得到补充（即备货时间或拖后时间很短，可以近似地看作零）；（３）需求是连续的、均匀的，设需求速度R（单位时间的需求量）为常数，则t时间的需求量为Rt；（４）每次订货量不变，订购费不变（每次备货量不变，装配费不变）；下一页返回13.2确定性存储模型（５）单位存储费不变。存储量变化情况如图１３．３假设货物可以立即得到补充，不出现缺货，不考虑缺货费用。用总平均费用来衡量存储策略的优劣：在需求确定的情况下，每次订货量多，则订货次数可以减少，从而减少了订购费。但是每次订货量多，会增加存储费用。假定每隔t时间补充一次存储，那么订货量必须满足t时间的需求Rt，记订货量为Q，Q＝Rt，订购费为C３，货物单价为K，则订货费为C３＋KRt；t时间的平均订货费为C３／t＋KR，t时间内的平均存储量为上一页下一页返回13.2确定性存储模型单位时间内单位物品的存储费用为C１，t时间内所需平均存储费用为１／２（RtC１）。t时间内总的平均费用为C（t）只需对式（１３．１）利用微积分求最小值的方法。令：得：上一页下一页返回13.2确定性存储模型因ｄ２C（t）/ｄt２＞０，即每隔t０时间订货一次可使费用C（t）达到最小。订货批量为上式即为存储论中著名的经济订购批量（ｅｃｏｎｏｍｉｃｏｒｄｅｒｉｎｇｑｕａｎｔｉｔｙ）公式，简称为Ｅ．Ｏ．Ｑ公式，也称平方根公式，或经济批量（ｅｃｏｎｏｍｉｃｌｏｔｓｉｚｅ）公式。上一页下一页返回13.2确定性存储模型由于Q０、t０皆与K无关，所以此后在费用函数中可略去K、R这项费用。如无特殊需要不再考虑此项费用，式（１３．１）改写为将t０代入式（１３．４）得出最佳费用上一页下一页返回13.2确定性存储模型从费用曲线（见图１３．４）也可以求出t０，Q０，C０。存储费用曲线１/２C１R，订购费用曲线C３/t总费用曲线C（t）曲线的最低点（ｍｉｎC（t））的横坐标t０与存储费用曲线、订购费用曲线交点横坐标相同。即上一页下一页返回13.2确定性存储模型解出：上一页下一页返回13.2确定性存储模型１３.２.２模型二：不允许缺货，生产需一定时间假设：生产需要一定时间，其余与模型一相同。已知设生产批量为Q，所需生产时间为T，则生产速度为P＝Q／T。已知需求速度为R（R＜P）。生产的产品一部分满足需求，剩余部分才作为存储。存储变化如图１３．５。上一页下一页返回13.2确定性存储模型在［０，T］区间内，存储以（P－R）速度增加，在［T，t］区间内存储以速度R减少。T与t皆为待定数。（P－R）T＝R（t－T），即PT＝Rt（等式表示以速度P生产T时间的产品等于t时间内的需求），并求出T＝Rt／P。t时间内的平均存储量为t时间内所需存储费为上一页下一页返回13.2确定性存储模型t时间内所需装配费为C３单位时间总费用（平均费用）为C（t）设ｍｉｎC（t）＝C（t０），利用微积分方法可求得上一页下一页返回13.2确定性存储模型相应的生产批量利用t０可求出最佳生产时间上一页下一页返回13.2确定性存储模型将前面求t０，Q０的公式与式（１３．１０）、式（１３．１１）相比较，即知它们只差一个因子当P相当大时，趋近于１，则两组公式就相同了。进入存储的最高数量为上一页下一页返回13.2确定性存储模型１３.２.３模型三：允许缺货，备货时间很短假设：允许缺货，并把缺货损失定量化来加以研究。由于允许缺货，所以企业可以在存储降至零后，还可以再等一段时间然后订货。这就意味着企业可以少付几次订货的固定费用，少支付一些存储费用。一般地说当顾客遇到缺货时不受损失，或损失很小，而企业除支付少量的缺货费外也无其他损失，这时发生缺货现象可能对企业是有利的。其余条件与模型一相同。上一页下一页返回13.2确定性存储模型设：单位时间单位物品存储费用为C１，每次订购费为C３，缺货费为C２（单位缺货损失），R为需求速度。求最佳存储策略，使平均总费用最小。假设最初存储量为S，可以满足t１时间的需求，t１时间的平均存储量为S／２，在（t－t１）时间的存储为零，平均缺货量为１/２R（t－t１）。由于S仅能满足t１时间内的需求S＝Rt１，有t１＝S／R。在t时间内所需存储费在t时间内的缺货费订购费为C３上一页下一页返回13.2确定性存储模型平均总费用利用多元函数求极值的方法求C（t，S）的最小值。求偏导数，然后取零有上一页下一页返回13.2确定性存储模型因R≠０，t≠０，所以将式（１３．１４）中S值代入上式，消去S得将式（１３．１４）代入式（１３．１５）解出S将式（１３．１４）、式（１３．１５）代入C（t，S）上一页下一页返回13.2确定性存储模型当C２很大时（即不允许缺货）所得结果与式（１３．７）、式（１３．８）、式（１３．９）相同。允许缺货最佳周期t０为不允许缺货周期t的倍，订货间隔时间延长了。上一页下一页返回13.2确定性存储模型在不允许缺货情况下，为满足t０时间内的需求，订货量Q０＝Rt０在允许缺货情况下，存储量只需达到S０即可上一页下一页返回13.2确定性存储模型显然Q０＞S０，它们的差值表示在t０时间内的最大缺货量。上一页下一页返回13.2确定性存储模型在允许缺货条件下，经过研究而得出的存储策略是隔t０时间订货一次，订货量为Q０，用Q０中的一部分补足所缺货物，剩余部分S０进入存储。很明显，在相同的时间段落里，允许缺货的订货次数比不允许缺货时订货次数减少了。１３.２.４模型四：允许缺货（需补足缺货）、生产需一定时间假设条件除允许缺货生产需一定时间外，其余条件皆与模型一相同，其存储变化如图１３．６所示。取［０，t］为一个周期，设t１时刻开始生产。［０，t２］时间内存储为零，B表示最大缺货量。上一页下一页返回13.2确定性存储模型［t１，t２］时间内除满足需求外，补足［０，t１］时间内的缺货。［t２，t３］时间内满足需求后的产品进入存储，存储量以（P－R）速度增加。S表示存储量，t３时刻存储量达到最大，t３时刻停止生产。［t３，t］时间存储量以需求速度R减少。最大缺货量B＝Rt１，或B＝（P－R）（t２－t１）；即Rt１＝（P－R）（t２－t１），得上一页下一页返回13.2确定性存储模型最大存储量S＝（P－R）（t３－t２），或S＝R（t－t３），即（P－R）（t３－t２）＝R（t－t３），得在［０，t］时间内所需费用如下：存储费为：上一页下一页返回13.2确定性存储模型将式（１３．１９）代入消去t３，得缺货费：１/２C２Rt１t２，将式（１３．１８）代入消去t１，得装配费：C３在［０，t］时间内总平均费用为：上一页下一页返回13.2确定性存储模型由式（１３．２１）得由式（１３．２０）得将式（１３．２２）代入上式消去t２得上一页下一页返回13.2确定性存储模型求得：由式（１３．２２）有依数学分析的知识可以断定C（t，t２）在时有最小值。上一页下一页返回13.2确定性存储模型相应地得到S０（最大存储量）上一页下一页返回13.2确定性存储模型B０（最大缺货量）最小费用上一页下一页返回13.2确定性存储模型１３.２.５价格有折扣的存储问题价格有折扣的存储问题是指：货物单价可能随订购（或生产）数量而变化的存储策略。除去货物单价随订购数量而变化外，其余条件皆与模型一的假设相同。记货物单价为K（Q），设K（Q）按三个数量等级变化（见图１３．７）上一页下一页返回13.2确定性存储模型当订购量为Q时，一个周期内所需费用为：上一页下一页返回13.2确定性存储模型平均每单位货物所需费用C（Q）为（见图１３．８）：设最佳订购批量为Q*，在给出价格有折扣情况下，求解步骤如下：（１）对CⅠ（Q）（不考虑定义域）求得极值点为Q０（２）若Q０＜Q１，计算：上一页下一页返回13.2确定性存储模型由ｍｉｎ｛CⅠ（Q０），CⅡ（Q１），CⅢ（Q２）｝得到单位货物最小费用的订购批量Q。例如ｍｉｎ｛CⅠ（Q０），CⅡ（Q１），CⅢ（Q２）｝＝CⅡ（Q１），则取Q＝Q１（３）若Q１≤Q０＜Q２，计算CⅡ（Q０）、CⅢ（Q２）。由ｍｉｎ｛CⅡ（Q０），CⅢ（Q２）｝决定Q。（４）若Q２＜Q０，则取Q＝Q０。推广：以上步骤易于推广到单价折扣分m个等级的情况。上一页返回13.3随机性存储模型随机性存储模型的特点：需求为随机的，其概率或分布为已知。与前面确定性存储模型不同的是：不允许缺货的条件只能从概率意义下理解，存储策略的优劣通常以赢利的期望值作为衡量标准。可供选择的三种主要策略：（１）定期订货，但订货数量需要根据上一个周期末剩下货物的数量决定订货量。这种策略可称为定期订货法。（２）定点订货，存储降到某一确定的数量时即订货，不再考虑间隔的时间。这一数量值称为订货点，每次订货的数量不变，这种策略可称之为定点订货法。下一页返回13.3随机性存储模型（３）把定期订货与定点订货综合起来的方法，隔一定时间检查一次存储，如果存储数量高于一个数值s，则不订货。小于s时则订货补充存储，订货量要使存储量达到S，这种策略可以简称为（s，S）存储策略。１３.３.１模型五：需求是随机离散的报童问题：报童每日售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸赚k元。如报纸未能售出，每份赔犺元。每日售出报纸份数r的概率P（r）根据以往的经验是已知的，问报童每日最好准备多少份报纸？解：设售出报纸数量为r，其概率P（r）为已知，设报童订购报纸数量为Q。上一页下一页返回13.3随机性存储模型供过于求时（r≤Q），这时报纸因不能售出而承担损失，其期望值为供不应求时（r＞Q），这时因缺货而少赚钱的损失，其期望值为综合两种情况，当订货量为Q时，损失的期望值为上一页下一页返回13.3随机性存储模型由于报童订购报纸的份数只能取整数，r是离散变量，所以不能用求导数的方法求极值。为此设报童每日订购报纸份数最佳量为Q，其损失期望值应有：①C（Q）≤C（Q＋１）②C（Q）≤C（Q－１）从①出发进行推导有:上一页下一页返回13.3随机性存储模型经化简后得即由②出发进行推导有：经化简后得上一页下一页返回13.3随机性存储模型即报童应准备的报纸最佳数量Q应按下列不等式确定：从赢利最大来考虑报童应准备的报纸数量。设报童订购报纸数量为Q，获利的期望值为C（Q），其余符号和前面推导时表示的意义相同。上一页下一页返回13.3随机性存储模型当需求r≤Q时，报童只能售出r份报纸，每份赚k（元），共赚k·r（元）。未售出的报纸，每份赔犺（元），滞销损失为犺（Q－r）（元）。此时赢利的期望值为当需求r＞Q时，报童因为只有Q份报纸可供销售，赢利的期望值为,无滞销损失。上一页下一页返回13.3随机性存储模型由以上分析知赢利的期望值为使订购Q赢利的期望值最大，应满足下列关系式：①C（Q＋１）≤C（Q）②C（Q－１）≤C（Q）从①式推导，上一页下一页返回13.3随机性存储模型经化简后得进一步化简得同理从②推导出上一页下一页返回13.3随机性存储模型用以下不等式确定Q的值，这一公式与式（１３．２８）完全相同利用公式（１３．２８）解前述例７的问题。已知于是知该店应订购日历画片３千张。上一页下一页返回13.3随机性存储模型１３.３.２模型六：需求是连续的随机变量设货物单位成本为K，货物单位售价为P，单位存储费为C１，需求r是连续的随机变量，密度函数为Φ（r），Φ（r）ｄr表示随机变量在r与r＋ｄr之间的概率，其分布函数为生产或订购的数量为Q，问如何确定Q的数值，使赢利的期望值最大？上一页下一页返回13.3随机性存储模型解：首先我们来考虑当订购数量为Q时，实际销售量应该是ｍｉｎ［r，Q］，也就是当需求为r，而r小于Q时，实际销售量为r；r≥Q时，实际销售量只能是Q。需支付的存储费用货物的成本为KQ，本阶段订购量为Q赢利为W（Q），赢利的期望值记作E［W（Q）］，上一页下一页返回13.3随机性存储模型（赢利）＝（实际销售货物的收入）－（货物成本）－（支付的存储费用）赢利的期望值：记上一页下一页返回13.3随机性存储模型为使赢利期望值极大化，有下列等式：式（１３．２９）表明了赢利最大与损失极小所得出的Q值相同。式（１３．３０）表明最大赢利期望值与损失极小期望值之和是常数。从表１３-２与表１３-３中对应着相同的Q，去掉表１３-３中数据的负号后，两者期望值之和皆为１９．２５，称为该问题的平均盈利。上一页下一页返回13.3随机性存储模型根据上面的分析，求赢利极大可以转化为求E［C（Q）］（损失期望值）极小。当Q可以连续取值时，E［C（Q）］是Q的连续函数。可利用微分法求最小。令上一页下一页返回13.3随机性存储模型即从此式中解出Q，记为Q，Q为E［C（Q）］的驻点。又因知Q为E［C（Q）］的极小值点，在本模型中也是最小值点。若P－K≤０，显然由于F（Q）≥０，等式不成立，此时Q取零值。即售价低于成本时，不需要订货（或生产）。式中只考虑了失去销售机会的损失，如果缺货时要付出的费用C２＞P时，应有上一页下一页返回13.3随机性存储模型按上述办法推导得模型五及模型六都只解决一个阶段的问题。从一般情况来考虑，上一个阶段未售出的货物可以在第二阶段继续出售。这时应该如何制定存储策略呢？假设上一阶段未能售出的货物数量为I，作为本阶段初的存储，有上一页下一页返回13.3随机性存储模型１３.３.３模型七：（s，S）型存储策略１.需求为连续的随机变量设货物的单位成本为K，单位存储费用为C１，单位缺货费为C２，每次订购费为C３，需求r是连续的随机变量，密度函数为分布函数F（a）＝（a＞０）期初存储为I，定货量为Q，此时期初存储达到S＝I＋Q。问如何确定Q的值，使损失的期望值最小（赢利的期望值最大）？上一页下一页返回13.3随机性存储模型解：期初存储I在本阶段中为常量，订货量为Q，则期初存储达到S＝I＋Q。本阶段需订货费C３＋KQ，本阶段需付存储费用的期望值为需付缺货费用的期望值为本阶段所需订货费及存储费、缺货费期望值之和上一页下一页返回13.3随机性存储模型Q可以连续取值，C（S）是S的连续函数本模型中有订购费C３，如果本阶段不订货可以节省订购费C３，因此我们设想是否存在一个数值s（s≤S）使下面不等式能成立：上一页下一页返回13.3随机性存储模型当s＝S时，不等式显然成立。当s＜S时，不等式右端存储费用期望值大于左端存储费用期望值，右端缺货费用期望值小于左端缺货费用期望值；一增一减后仍然使不等式成立的可能性是存在的。如有不止一个s的值使下列不等式成立，则选其中最小者作为本模型（s，S）存储策略的s。上一页下一页返回13.3随机性存储模型相应的存储策略是：每阶段初期检查存储，当库存I＜s时，需订货，订货的数量为Q，Q＝S－I。当库存I≥s时，本阶段不订货。这种存储策略是：定期订货但订货量不确定。订货数量的多少视期末库存I来决定订货量Q，Q＝S－I。对于不易清点数量的存储，人们常把存储分两堆存放，一堆的数量为s，其余的另放一堆。平时从另放的一堆中取用，当动用了数量为s的一堆时，期末即订货。如果未动用s的一堆时，期末即可不订货，俗称两堆法。２.需求是离散的随机变量设需求r取值为r０，r１，…，rm（ri＜ri＋１），其概率为p（r０），p（r３），…，p（rm）。上一页下一页返回13.3随机性存储模型原有存储量为I（在本阶段内为常量），

。当本阶段开始时订货量为Q，存储量达到I＋Q，本阶段所需的各种费用如下：订货费：C３＋KQ存储费：当需求r＜I＋Q时，未能售出的存储部分需付存储费；