2026-2027学年高一上学期初升高数学提前课+课时七+充要条件

课时七充要条件第一章集合与常用逻辑用语导入新课

将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“___________”，称这个命题为原命题的逆命题．若q，则p精彩课堂1.概念的引入下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题?(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题?(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;逆命题：若两个三角形全等,则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等;(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;逆命题：若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等;真真假真下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题?(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;真假真真上述命题中的条件是结论的充分条件还是必要条件?

既是充分条件又是必要条件的互相既是充分条件又是必要条件.2.概念的形成充要条件:如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.如何判断p是q的充要条件?根据充要条件的定义,要判定p与q互为充要条件只要判断出p⇒q,且q⇒p,即p⇔q即可,其实质都是判断命题“若p,则q”与它的逆命题的真假,若都为真,则p与q互为充要条件.3.概念的深化(1)若p⇔q,则p是q的充要条件,p唯一吗?请举例说明.(2)我们知道判定定理和充分条件的关系,性质定理和必要条件的关系,那么充要条件和什么有关系呢?试给出“四边形是平行四边形”的充要条件并分析一下.数学定义从充分性和必要性两个方向刻画数学对象,不同的充要条件从不同的角度刻画了一个数学对象.根据已学的知识,你认为“若p,则q”的命题中p与q的关系有哪些?例题探究例1、命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________________．答案：若x>0，则x>1例2、命题“正三角形都相似”的逆命题是________________________．解析：原命题：若三角形是正三角形，则这些三角形相似．逆命题：若三角形相似，则这些三角形是正三角形．答案：若三角形相似，则这些三角形是正三角形例3、在下列各题中，试判断p是q的什么条件（充分必要性）．(1)p：在△ABC中，AB>AC，q：在△ABC中，∠C>∠B；【解】

由三角形中大边对大角,大角对大边的性质可知p是q的充要条件．(2)p：A⊆B，q：A∪B＝B；【解】若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p是q的充要条件．(3)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3.【解】因为|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件．例4、“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(

)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋(y－2)2＝0，得x＝0且y＝2，所以x(y－2)＝0.反之，由x(y－2)＝0，得x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故选B.例5、若A是B的充分条件，D是C的必要条件，C是B的充要条件，则D是A的(

)A．充分条件

B．必要条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：因为A是B的充分条件，所以A⇒B

①；因为D是C的必要条件，所以C⇒D

②；因为C是B的充要条件，所以C⇔B

③.由①③得A⇒C

④，由②④得A⇒D，所以D是A的必要条件．故选B.课堂练习1.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.【证明】①充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.②必要性：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.综上：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.2.若“x>a”是“x>6”的必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：依题意，“若x>6，则x>a”为真命题，故实数a的取值范围是{a|a≤6}．答案：{a|a≤6}3．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(

)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若x2＋(y－2)2＝0，可得x＝0，且y－2＝0，可得x(y－2)＝0，但当x(y－2)＝0时，无法推出x2＋(y－2)2＝0，如x＝0，y＝3.∴x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件．所以B选项是正确的．4．已知p：x＜－2或x＞3，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围________．解析：设A＝{x|x<－2，或x>3}，B＝x|x<－4(m)}，因为p是q的必要不充分条件，所以B

A，所以－4(m)≤－2，即m≥8.