全称量词与存在量词的概念+课件-2026年初升高数学提前课（人教A版必修第一册）

课时八全称量词与存在量词的概念第一章集合与常用逻辑用语导入新课有一些陈述句里加了一些对变量的取值范围进行限定的词语,例如:所有的自然数都是正数,有的无理数的平方还是无理数,有的人能活到一百多岁.这些语句都是命题吗?如果是命题,又怎么判断它们的真假呢?你能举出类似的例子吗?精彩课堂全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.全称量词命题:含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题的符号表示:“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x).读作“对任意x属于M,p(x)成立”.对给定的全称量词命题,如何判断它的真假呢?例1、下列命题是否为全称量词命题？若是，请指出量词并判断其真假．(1)凸多边形的外角和等于360°；【解】

是，省略了全称量词“任意一个”，真命题．(2)∀x∈R，x2>0；【解】是，有全称量词“∀”，假命题．(3)矩形的对角线相等．【解】是，省略了全称量词“任意一个”，真命题．变式：将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________．解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立．答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立判断全称量词命题真假的一般方法:如果对集合M中每一个x,p(x)都成立,那么“∀x∈M,p(x)”为真命题;如果在集合M中存在一个x0,使得p(x0)不成立,那么“∀x∈M,p(x)”为假命题.即要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每一个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.存在量词命题:含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题的符号表示:存在量词命题“存在

M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x).对给定的存在量词命题,如何判断它的真假呢?例2、下列命题是否为存在量词命题？若是，请指出量词并判断其真假．(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0；【解】

是，存在量词是“存在一个”；因为存在一个实数对(－1，－2)，使得2×(－1)＋3×(－2)＋3<0，所以命题“存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0”是真命题．(2)∃x∈R，(2x－3)2≥0；【解】是，存在量词是“∃”；因为∀x∈R，(2x－3)2≥0，所以命题“∃x∈R，(2x－3)2≥0”是真命题．(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除．【解】是，存在量词是“有些”；因为存在整数6，既能被2整除，又能被3整除，所以命题“有些整数既能被2整除，又能被3整除”是真命题．存在量词命题判断真假的一般方法:如果在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立,那么“∃x∈M,p(x)”为真命题;如果在集合M中使p(x)成立的元素x不存在,那么“∃x∈M,p(x)”为假命题.即要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.例题探究1．下列是全称量词命题且是真命题的是()A．每个二次函数的图象都开口向上B．存在一条直线与已知直线不平行C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤bD．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立解析：B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.2．(多选)下列命题是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的是()A．有一个x∈R，使得x2＞3成立B．对有些x∈R，使得x2＞3成立C．任选一个x∈R，使得x2＞3成立D．至少有一个x∈R，使得x2＞3成立解析：A，B，D都是存在量词的表述方法，C为全称量词，故选ABD.答案：ABD3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是()A．m≥1 B．m＞1C．m＜1 D．m≤1解析：命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.答案：B4．已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________．解析：当x∈R时，x2≥0，若“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0.答案：m≥0课堂练习1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．∃x>1，x2－2x－3＝0B．若2x为偶数，则x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数解析：对于A，是存在量词命题，故A错误；对于B，是假命题，故B错误；对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D错误．答案：C

3．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A.∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈PD．∃x∈P，使得x∉Q解析：∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，∴∀x∉Q，有x∉P，故B正确．答案：B4．(多选)下列命题中是真命题的是()A．∀x∈R，2x2－3x＋4＞0B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0C．∃x∈N，使x2≤xD．不存在x∈N*，使x为29的约数解析：∀x∈R，2x2－3x＋4＞0，因为Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，故A正确；∀x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0，若x＝－1，则2x＋1＝－1＜0，故B错误；∃x∈N，使x2≤x，取x＝1∈N，有1≤1成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D错误．故选AC.答案：AC5．下列命题为真命题的是()A．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数解析：x－2＝0⇒x＝∉Q，故A错误；因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，故B错误；因为2＝1×2，故C正确；2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C.学习目标核心素养1