2025-2026学年湖北省武汉市青山区高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖北省武汉市青山区高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若(x−ax2)6的展开式中常数项为15，则实数A.2 B.1 C.±1 D.±22.已知随机变量X∼N(μ,9)，Y∼B(16,p)，若P(X≤4)=12，E(X)=E(Y)，则D(X)D(Y)A.2 B.3 C.4 D.93.已知正态分布X∼N(3,σ2)，若P(X≤4)=0.6，则P(2≤X≤4)=A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.14.已知线性相关的两个变量x，y的取值如表所示，如果其线性回归方程为y=14x−20，那么当x=7时的残差为x3467y204060mA.2 B.3 C.4 D.55.已知X～N(μ1,62)，Y～N(μ2A.E(X)>E(Y) B.D(X)<D(Y)

C.P(X≤38)<P(Y≤38) D.P(X≤34)<P(Y≤34)6.在探究(a+b)n的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角.杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章.杨辉三角如图1所示：

如图1，杨辉三角第6行的7个数依次为C60，C61，C62，⋯，C65，C66，现将杨辉三角中第n(n≥1,n∈N∗)行的第r(1≤r≤n+1,r∈N∗A.99⋅2100 B.100⋅21007.设随机变量X的分布列为P(X=k)=ak，k=1，2，⋯，8，且P(X≤k)=k+12A.数列{an}是等比数列 B.P(X=2)=112

C.数列{1a8.若xa≥elnx恒成立，则实数a的取值范围为(

)A.(0,+∞) B.[1e,+∞) C.[1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是(

)A.线性回归直线必然过样本中心点(x−,y−)

B.在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数R2的值越大，说明拟合的效果越好

C.已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1

D.10.已知f(x)=lnxx，下列说法正确的是(

)A.f(x)在x=1处的切线方程为y=x−1

B.f(x)的单调递增区间为(−∞,e)

C.f(x)的极大值为1e

D.方程f(x)=11.将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到A、B、C三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则(

)A.共有300种不同的分配方法

B.甲分配到A学校的概率为13

C.若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法

D.甲不能分配到A学校同时乙必须分配到B学校的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设P(A−)=14，P(B|A)=23，P(B|13.在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点P按下述规则移动：点P每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为14.点P移动4次后，点P在直线x=2上的概率为

．14.将4名某医科大学的学生分配到3个不同的医院实习，每个大学生被分配到每个医院的概率均等且相互独立.分配结束后，设实际有大学生分配实习的医院个数为X，则数学期望E(X)=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=x2−2lnx．

(1)求f(x)在(1,f(1))处的切线方程．

(2)求f(x)的单调区间．

(3)求f(x)在区间[16.(本小题15分)

袋子装有4个黑球，6个白球．

(1)每次从袋子中取出1个球，若有放回地抽取2次，求恰好取到1个黑球的概率；

(2)每次从袋子中取出1个球，若不放回地抽取2次，求取到黑球数X得分布列及期望；

(3)每次从袋子中取出2个球，若是不放回地抽取，求第二次抽到2个黑球的概率．17.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，an+Sn=(12)n−1．18.(本小题17分)

2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长(单位：分钟)，得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”．

(1)求a的值；

(2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在[40,60)，[80,100)的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记X为2人中忠实粉丝的人数，求X的分布列和期望．

(3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，ξ为忠实粉丝的人数，记ξ=k时对应的概率为Pk，则k为多少时Pk19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x+1)lnx−a(x−1)，a∈R．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)过点(0,−1)的切线方程；

(2)若对任意x≥1，都有f(x)≥0成立，求a的取值范围；

(3)设Sn=1n+1+1n+2+⋯+12n，n∈N∗，求S20261.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】ABD

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】5813.【答案】76414.【答案】652715.【答案】切线方程为y=1

单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)

最小值为1，最大值为e216.【答案】解：(1)设恰好取到1个黑球为事件A，

由题知有放回地抽取2次，则每次抽到黑球的概率为44+6=0.4，

则所求概率为P(A)=C21×0.4×(1−0.4)=0.48；

(2)由题，X可能的取值为0，1，2，

则P(x=0)=C62X012P182则E(X)=1×815+2×215=45；

(3)设第二次抽到2个黑球为事件C，设第一次取到2个球为事件B，

其中含2、1、0个白球分别为事件B0，B1，B2，

由(2)知P(B0)=17.【答案】因为an+Sn=(12)n−1，

当n=1时，a1+S1=1，所以S1=a1=12，

当n≥2时，an−1+S18.【答案】0.02

分布列为：X012P142期望为87

419.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=(x+1)lnx−x+1(x>0)，则f′(x)=lnx+1x，

所以在切点(x0,(x0+1)lnx0−x0+1)处的切线方程为

y−[(x0+1)lnx0−x0+1]=(lnx0+1x0)(x−x0)，

又切线过点(0,−1)，则−2−(x0+1)lnx0+x0=(lnx0+1x0)(−x0)，即lnx0−x0+1=0，

令g(x)=lnx−x+1，则g′(x)=1x−1=1−xx，

所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，

当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，

所以当x=1时，g(x)max=g(1)=0，所以x0=1，

所以切线方程为y=x−1．

(2)因为对任意x≥1，均有f(x)≥0恒成立，即h(x)=lnx−a⋅x−1x+1≥0恒成立，

则h′(x)=1x−a⋅2(x+1)2=(x+1)2−2axx(x+1)2=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2，

令u(x)=x2+(2−2