初中数学九年级上册“圆的基本性质”知识清单

初中数学九年级上册“圆的基本性质”知识清单一、圆的定义与确定（一）圆的两种定义【基础】【重要】1、描述性定义（动态定义）：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”【★考点：概念的准确表述】。2、集合定义（静态定义）：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合【难点：理解“集合”的含义】。这一定义包含两层含义：①圆上每一个点都满足到定点（圆心）的距离等于定长（半径）；②所有满足该条件的点都在这个圆上。（二）确定圆的两要素1、圆心：确定圆的位置。2、半径：确定圆的大小。注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能被唯一确定。（三）点与圆的位置关系【高频考点】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：1、点P在圆内⇔d<r2、点P在圆上⇔d=r3、点P在圆外⇔d>r注意：此判定方法是“数形结合”思想的重要体现，通过数量关系刻画位置关系。（四）圆的确定条件1、经过一点可以作无数个圆（圆心在除该点外的整个平面）。2、经过两点可以作无数个圆（圆心在这两点连线段的中垂线上）。3、经过不在同一直线上的三个点确定一个圆（即存在且只存在一个圆经过这三个点，该圆为三角形的外接圆）。二、圆的基本概念与辨析【基础】【易错点】（一）弦与直径1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。2、直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦。易错警示：弦不一定是直径，但直径一定是弦。不能说“过圆心的线段是直径”，因为线段两端点不一定在圆上。（二）弧与半圆1、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作⌒AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”。2、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。3、弧的分类：（1）优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示，如⌒ACB）。（2）劣弧：小于半圆的弧（用两个字母表示，如⌒AB）。易错警示：半圆是弧，但弧不一定是半圆。（三）等圆、同圆、同心圆与等弧1、同圆：圆心相同，半径相同，指的是同一个圆。2、等圆：能够重合的两个圆。等圆的半径相等。3、同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆。4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。【★高频易错点】等弧强调“完全重合”，而不仅仅是长度相等。长度相等的弧不一定是等弧，因为弯曲程度（所在圆的半径）可能不同。三、圆的对称性【重要】（一）旋转不变性圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，这一性质称为圆的旋转不变性。（二）轴对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆有无数条对称轴。四、垂径定理及其推论【高频考点】【难点】（一）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。几何语言表述：如图，在⊙O中，CD是直径，CD⊥AB于点E，则AE=BE，⌒AD=⌒BD，⌒AC=⌒BC。（二）垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。重要拓展：垂径定理及其推论可以概括为：对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么就能推出其他三个结论：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。即“知二推三”。（三）垂径定理的应用【核心素养：建模思想、方程思想】1、常用辅助线：过圆心作弦的垂线、连接半径，构造以“弦心距、半径、半弦长”为边的直角三角形（Rt△AOE）。2、计算公式：设圆的半径为r，弦长为a，弦心距（圆心到弦的距离）为d，弓形高（弧的中点到弦的距离）为h，则有：（1）r²=d²+(a/2)²（勾股定理）（2）h=r±d（当弦所对的弧是优弧时取“+”，劣弧时取“”）3、常见题型：求弦长、半径、弦心距、拱高、角度等。五、圆心角、弧、弦之间的关系【重要】（一）定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（二）推论在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。【★核心】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等。简记：“等边对等角、等角对等边、等弧对等角”。六、圆周角定理及其推论【高频考点】【热点】（一）圆周角定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。注意辨析：顶点在圆内（圆心角）或顶点在圆外（圆外角）均不是圆周角。（二）圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。几何语言：在⊙O中，∠ACB和∠AOB是⌒AB所对的圆周角和圆心角，则∠ACB=1/2∠AOB。（三）圆周角定理的推论1、同弧或等弧所对的圆周角相等。2、半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。【★非常重要的推论，常用于证明垂直或寻找直径】3、若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（这是推论2的逆定理，常用于圆中的计算与证明）4、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。七、圆内接四边形【重要】（一）定义如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。四边形内接于圆，称为圆内接四边形。（二）性质定理圆内接四边形的对角互补。几何语言：四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。（三）推论圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角。几何语言：如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CB至E，则∠ABE=∠D。八、三角形的外接圆与外心【基础】（一）定义经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。（二）外心的性质1、外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆的半径）。2、不同三角形的外心位置：（1）锐角三角形的外心在三角形内部。（2）直角三角形的外心是斜边的中点。（3）钝角三角形的外心在三角形外部。（三）反证法三点定圆定理的证明，以及一些“不是……而是……”命题的证明，常采用反证法。九、考点、考向与解题策略【实战指南】（一）常见考查方式与题型1、选择题、填空题：考查基本概念辨析、垂径定理的简单计算、圆周角与圆心角的关系、圆内接四边形角的计算。2、解答题：通常与三角形、四边形、相似三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识综合，考查逻辑推理和几何计算能力。（二）核心考点与解题步骤1、考点一：利用垂径定理求线段长【高频】【解题步骤】（1）找半径、半弦、弦心距构成的直角三角形。（2）设未知数，利用勾股定理列方程（方程思想）。（3）求解并检验。【易错点】忽略弦的位置有两种情况（在圆心的同侧或异侧），导致丢解。2、考点二：利用圆周角定理求角度【热点】【解题步骤】（1）找所求角所对的弧。（2）找该弧所对的圆心角或其他圆周角。（3）利用定理“圆周角等于圆心角的一半”或“同弧所对圆周角相等”进行转化。【解答要点】“见直径，想直角”；“见等弧，想等角”。3、考点三：圆心角、弧、弦关系的证明【重要】【解题策略】证明两条弦或弧相等，通常转化为证明它们所对的圆心角相等。【常用方法】利用三角形全等或同（等）圆的半径构成等腰三角形，通过证明角等来推出弦等。4、考点四：四点共圆的证明与圆内接四边形性质【拓展】【常见思路】证明四边形对角互补或一个外角等于其内对角，即可得出四点共圆。反之，若四点共圆，则可直接应用对角互补的性质。（三）易错点警示1、“同圆或等圆”的前提条件：在运用圆心角、弧、弦之间的相等关系以及圆周角定理时，务必注意“在同圆或等圆中”这一大前提，否则结论不一定成立。2、弦所对的圆周角：一条弦（非直径）所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角，它们互补。解题时若未明确指定弧，需考虑两种情况。3、等弧与弧长相等的辨析：等弧必须能够完全重合，即必须在同圆或等圆中且弧长相等；弧长相等不一定能重合（例如半径不同的圆中，度数相等的弧长不等）。4、图形的不唯一性：在涉及弦的位置、点与圆的位置关系等问题时，若题目未给出图形，通常需要分类讨论。十、思想方法与核心素养1、数形结合思想：将圆的几何性质（如垂径定理）转化为代数方程（勾股定理）求解。2、转化思想：将未知