（新高一暑假预习）数学人教A版必修第一册2.1 等式性质与不等式性质（解析版） - 副本

.1等式性质与不等式性质知识点1、用不等式(组)表示不等关系在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题．【注意】常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤知识点2、基本事实文字表示符号表示如果a－b是正数，那么a＞ba－b＞0⇔a＞b如果a－b等于0，那么a＝ba－b＝0⇔a＝b如果a－b是负数，那么a＜ba－b＜0⇔a＜b从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．【注意】利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．知识点3、重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)等号成立的充要条件是“a＝b”，其变形ab≤a2+b22与a2知识点4、等式的性质与不等式的性质不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a．(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c．(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c．(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc．(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d．(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd．(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)．【注意】1．不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算．2．应用不等式一定要搞清不等式成立的前提条件．考点一用不等式表示不等关系考点二作差法比较代数式的大小考点三作商法比较代数式的大小考点四由不等式的性质比较数(式)大小考点五由不等式的性质证明不等式考点六利用不等式求值或取值范围考点一用不等式表示不等关系1．（25-26高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（

）A．某人的月收入元不高于元可表示为“”B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”C．变量不小于可表示为“”D．变量不超过可表示为“”【答案】C【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可.【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错误；对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错误；对于C，变量不小于可表示为“”，C正确；对于D，变量不超过可表示为“”，D错误.故选：C.2．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可.【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确；对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确；对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确；对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确.故选：D.3．（2026高三·全国·专题练习）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即.4．（2026高一·全国·专题练习）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱.(1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？(2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？【答案】(1)三种(2)安排型货箱30节，型货箱20节时运费最少【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货箱的节数，可分为三种方案；（2）根据相应货箱的运费，得出方案三运费最少.【详解】（1）设安排两种货箱分别为节，节，则可列不等式组，利用不等式即可解得，，或，或.共有三种方案：方案一，安排型货箱28节，型货箱22节；方案二，安排型货箱29节，型货箱21节；方案三，安排型货箱30节，型货箱20节.（2）共有三种方案，运费分别为：安排两种货箱分别为28节，22节，运费为万元安排两种货箱分别为29节，21节，运费为万元.安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元.易知安排型货箱30节，型货箱20节时，运费最少，为31万元.考点二作差法比较代数式的大小5．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（

）A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲【答案】D【分析】分别计算甲、乙的平均加油单价，再比较即可.【详解】甲两次总花费元，甲两次总加油量升，因此甲的平均单价x‾设油箱容积为升，即乙每次加油量为升，则乙两次总花费元，乙两次总加油量升，因此乙的平均单价x‾x乙因为，所以，因此x乙−x甲>06．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．与的大小关系不确定【答案】A【分析】利用作差法可判断.【详解】因为，，所以，.所以，得，即.7．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，(1)求的取值范围；(2)比较两个代数式的大小：与．【答案】(1)(2)【详解】（1），，，；（2），．8．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，判断M，N的关系?【答案】当或时，；当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，.【详解】由.①当时，，即；②当时，，即；③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即.综上所述，当或时，；当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，.考点三作商法比较代数式的大小9．（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________．【答案】【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解.【详解】因为，，且，所以，当时，由，，可得，所以．当时，由，，可得，所以．综上可得，．故答案为：．10．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小；（2）设，比较与的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用作差法比较大小.（2）利用作商法比较大小.【详解】（1），所以.（2）由，得，，，因此，所以.11．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接）【答案】【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断；【详解】方法一（作商法）：因为，所以，所以．方法二（作差法）：，即．故答案为：12．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）．【答案】【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.【详解】∵，即.又，.故答案为：>.考点四由不等式的性质比较数(式)大小13．（2026高二下·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，B，由，可得，故A错误，B正确；对于C，由，易得，故C错误；对于D，因，则得，故D错误.14．（2026高二下·浙江温州·学业考试）（多选）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】已知，，则，，故，A正确；，则，，，，故B正确；取，满足，，此时，即，故不恒成立，故C错误；，则，，则，故，故D正确．15．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的为（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AD【详解】若，则，即，A选项正确；当，，满足，但，B选项错误；当，，满足，但，C选项错误；若，有，则，即，D选项正确.16．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】实数满足，，，A项错误；，但是正负不确定，B项错误；，但是正负不确定，C项错误；，所以，D项正确.17．（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知a、b、，，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，当时，满足，，则，故A错误；对于B，由，得，则，故B正确；对于C,D，当时，，，故C,D错误.18．（25-26高一上·江苏镇江·期末）（多选）下列不等式中成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【详解】对于A：当时，，故A错误；对于B：因为，则，故得，故B正确；对于C：若取，，满足，因，，，显然不满足，故C错误；对于D：由，得且，因，可得，故D正确.考点五由不等式的性质证明不等式19．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取特值寻找ABD的反例,使用同正可乘性验证C即可.【详解】当，时，ABD显然错误；由可得，由不等式性质可得，，故C正确.20．（2026·云南保山·二模）（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若且，则【答案】BCD【详解】对于A，，若，则，故A为假命题；对于B，，，又，，故B为真命题；对于C，，则，，故C为真命题；对于D，且，则，，故D为真命题．21．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可.【详解】对于A：，，则，故，A正确.对于B：当，，，时，，故B错误.对于C：因为，所以，所以，C正确.对于D：当，，，时，，，故，D错误.22．（第01讲不等式的基本性质（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知，求证:.【答案】证明：方法一：因为，所以，所以，所以，所以，即，所以，又因为，所以.方法二：因为，所以，所以，所以，所以，因此.【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论．【详解】略.考点六利用不等式求值或取值范围23．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】利用不等式的性质即可判断.【详解】对于A，，即，故A正确；对于B，由，得，所以，即，故B正确；对于C，当时，得，所以，即，所以；当时，；当时，得，所以.综上可得，，故C错误；对于D，当时，得，所以，即，所以；当时，；当时，得，所以.综上可得，，故D正确.24．（25-26高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，而，则.25．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，解得.，，相加得.【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求.两式相加:两式相减:再算：得到：.和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围.26．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解.【详解】原式的分子和分母同时除以，得，由条件得，，所以，即，所以，所以，则则的取值范围是.故选：D.27．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）已知实数，满足，，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题可通过设，求出和的值，再结合已知不等式的范围求出的取值范围．【详解】设，将其展开可得，，可得，解得，，所以，由题可得，，所以，即故选：A．28．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________．【答案】【分析】利用不等式的性质求解即可.【详解】由于，则，所以,即,则的取值范围为;故答案为：1．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据不等式的性质逐一验证即可求解.【详解】对于A，由，所以，故A错误；对于B，由，所以，，所以，故B错误；对于C，若，由，所以，故C错误；对于D，若，则，故D正确.2．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知，则下列结论成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于ABD，不妨设，满足，A选项，，故，A错误；B选项，，故，B错误；D选项，，故，D错误；对于C，，则，，C正确.3．（25-26高二下·广东广州·期末）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性.【详解】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立，当时，满足，但不成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.4．（2026·上海·三模）“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【答案】A【详解】若“”，则“”，所以“”“”；若“”，则或，即或；所以“”推不出“”；所以“”是“”的充分非必要条件.5．（25-26高一上·全国期末）若，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C.【详解】对A：若，，则有，，此时，错误.对B：若，，则有，，此时，错误.对C：，由，故，，，故，即，正确.对D：若，，则，，此时，错误.6．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出的范围，再结合不等式性质可求的范围.【详解】因为，所以，当时，，即，当时，，即，综上可知，故选：B.7．（25-26高二下·河南南阳·期末）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】对于A，因为，则得，故A正确；对于B，若取，满足，此时，不满足，故B错误；对于C，由题意得，因为，所以，故C正确；对于D，由题意得，因为，所以，则，故D正确.8．（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，则【答案】BCD【分析】根据不等式的性质，可通过特殊值法、作差法逐一验证选项的正确性.【详解】对于选项A，取，满足，但，故选项A不正确；对于选项B，因为，，所以，故选项B正确；对于选项C，因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确；对于选项D，当，时，，故选项D正确.9．（2026·河南·三模）（多选）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】BD【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系；对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系；对于选项C，可通过作差法比较与的大小；对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围．【详解】选项A，已知，因为，当时，，不满足，所以，则．不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得．当时，满足，但此时，所以选项A错误．选项B，已知，因为和都有意义，所以．不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得，即。因为函数在上单调递增，所以由可得，选项B正确。选项C，，因为，所以，，则，所以，即，选项C错误．选项D，已知，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，又因为，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变，可得，即，选项D正确．10．（25-26高一上·浙江温州·期末）（多选）已知，则下列正确的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较和作商比较法，逐项分析判断，即可求解.【详解】对于A，因为，由，所以，所以A正确；对于B，因为，由不等式的性质，可得，所以B正确；对于C，由，因为，可得，且，，所以，即，所以，所以C错误；对于D，由，因为，可得，所以，即，所以，所以D正确.故选：ABD.11．（2026·上海·模拟预测）在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________【答案】②③【分析】根据不等式的性质，逐一进行检验.【详解】对于命题①，且时，若，有，命题①为假命题；对于命题②，且时，由可得，即，所以，得且，即，命题②为真命题；对于命题③，且时，有且，所以，满足，命题③为真命题.12．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______.【答案】【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件，则利润为元（），则，化简得.销售量为非负，结合提价要求得，故.13．（25-26高一下·山