人教A版（2019）新高一数学暑假初高中衔接讲义第2讲 集合间的基本关系（含答案解析）

2/2第02讲集合间的基本关系目录TOC\o"1-2"\h\z\u01思维导图与题型归纳 202基础知识梳理 3知识点一．集合与集合的关系 3知识点二．真子集 3知识点三．空集 303题型精讲举一反三 5题型一：子集、真子集的书写与个数计算 5题型二：韦恩图的绘制与综合应用 6题型三：由集合包含关系确定参数范围 7题型四：集合间基本关系判定 10题型五：集合相等的判定方法 12题型六：集合相等问题中的参数求解 13题型七：空集的性质探究 1404过关测试 16

知识点一．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．记作：读作：A包含于B（或B包含A）．图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．记作：A读作：A等于B．图示：知识点诠释：（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．（2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．知识点二．真子集若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集．记作：A⫋B（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）知识点三．空集不含有任何元素的集合称为空集，记作：．规定：空集是任何集合的子集．结论：（1）（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）若则（类比，则）（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．

题型一：子集、真子集的书写与个数计算【例1】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集．【解析】由，∴，∴，∴集合的所有子集分别为：，，，.【变式1-1】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合.(1)求集合；(2)写出集合的所有子集.【解析】（1）当都为正数时，；当都为负数时，；当中有一个是正数，另外两个是负数时，；当中有一个是负数，另外两个是正数时，.综上所述，.（2）集合的所有子集为：.【变式1-2】（25-26高一上·全国·期末）已知集合，求A的子集、真子集、非空真子集个数.【解析】集合，有3个元素，所以子集有个；真子集有个；非空真子集有个.综上，集合，子集有8个，真子集有7个，非空真子集有6个.【变式1-3】已知集合满足，求集合及其个数．【解析】当中含有两个元素时，为；当中含有三个元素时，为；当中含有四个元素时，为；当中含有五个元素时，为；所以满足条件的集合为，集合的个数为8．题型二：韦恩图的绘制与综合应用【例2】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】，又，所以，选项B符合，故选：B.【变式2-1】能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴NM.故选：B【变式2-2】（17-18高一上·广东佛山·期末）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B.故选：B【变式2-3】设集合M={y|y=x2+1}，N={x|y=x2+1}，能正确表示集合M与集合N的关系的Venn图是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵M={y|y=x2+1}={y|y≥1}，N={x|y=x2+1}=R，∴M⫋N，对应的Venn图是D.故选：D题型三：由集合包含关系确定参数范围【例3】已知集合，．(1)若，求；(2)若，求实数的取值集合；(3)若中有3个整数，求实数的取值范围；(4)若，求实数的取值集合；(5)若，求实数的取值取值集合；【解析】（1）因为，，所以.（2）因为，若，则，解得，所以实数的取值集合为.（3）因为，中有3个整数，所以，解得，当时，，符合题意，当时，，若中有3个整数，则，即，此时集合中的整数为，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，若中有3个整数，则，即，此时集合中的整数为，符合题意；综上所述，实数的取值范围为或或.（4）当时，如图，此时．则，即，因此的取值集合为．（5）当时，如图，此时，解得，此时无解；当时，由，解得．综上可得：的取值集合为．【变式3-1】（24-25高一上·安徽六安·阶段检测）（1）已知集合，，若，求实数m的取值集合.（2）设集合，若，则实数a的值是多少？【解析】（1）由题知，则，若，则或，当时，方程无实数解；当时，，解得:，此时，，符合题意，所以m的取值集合为；（2）时，，此时，不符合题意；当时，，此时，符合题意；若，即，无实根，不符合题意．所以．【变式3-2】设全集，集合，非空集合.(1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围；(2)若B是A的子集，求实数a取值范围.【解析】（1）因为A是B的真子集，则，等号不能同时取到，所以；（2）因为B是A的子集，因为，则，又，所以.【变式3-3】（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合．(1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）对于，当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意；当时，方程为关于的一元二次方程，由题意知，该方程有两个相等的实根，所以，解得或.所以实数的取值构成的集合为.（2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论：①当时，，即.②当集合中只有一个元素时，由（1）知，当时，，，；当时，，，，；当时，，，，.③当集合中有两个元素时，因为，所以，即，即关于的方程的两根分别为1，2，所以，无解.综上所述，实数的取值范围是.题型四：集合间基本关系判定【例4】（25-26高一上·广东广州·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得或，因此集合，选项A，是集合中的元素，所以，选项A正确；选项B，是一个集合，集合与集合之间的关系应为包含（），而非属于（），选项B错误；选项C，是集合中的元素，元素与集合的关系是属于（），而非包含（），选项C错误；选项D，集合，而只包含元素，不包含，选项D错误.故选：A.【变式4-1】集合之间的关系是（）A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋【答案】A【解析】集合，，所以，，，所以⫋.故选：A【变式4-2】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，，，所以对任意，存在使，令，则且，所以.同理，对任意，存在使，令，则且，所以，综上，.，则，所以的关系满足.故选：A【变式4-3】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）以下四个选项中，正确的为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，混淆元素与集合，集合与集合的关系，为的真子集，故错误；对于B，是的真子集，不存在大小关系，故错误；对于C，，正确；对于D，空集是任何集合的子集，即，不是的元素，故错误.故选：C题型五：集合相等的判定方法【例5】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误；对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确；对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误；对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误.故选：B【变式5-1】（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【解析】对于集合，当时，，当时，，所以.故选：A.【变式5-2】（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误，对于B，集合的元素是点，所以B错误，对于C，由，解得或，所以，故C正确，对于D，集合中有二个元素，，所以D错误，故选：C.【变式5-3】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，则与集合M相等的集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】选项A，B是点集，不符合题意；对于C：当为奇数时，当为偶数时，所以C等价于，不符合题意；对于D：因为，由知可取，所以D等价于，符合题意.故选：D.题型六：集合相等问题中的参数求解【例6】已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________.【答案】1【解析】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）.由A＝B，得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性；②解得，此时A＝B＝，符合题意.综上，，所以.【变式6-1】已知集合，若，则__，__.【答案】56【解析】因为，所以一元二次方程的两个实数根为，所以有.【变式6-2】（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________.【答案】【解析】，，且且且，或，当时，且，，.当时，解得，且，不成立.综上可得，.故答案为：.【变式6-3】设，集合，则________．【答案】8【解析】由，得，故，因为，又，因此，解得或，当时，集合与集合不相等，不符合题意；当时，集合与集合相等，符合题意，所以.故答案为：8题型七：空集的性质探究【例7】（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合的没有真子集，则实数________．【答案】【解析】因为集合没有真子集，所以，即无解，则.故答案为：0【变式7-1】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）关于的方程的解集是空集，______________．【答案】/0.5【解析】由方程整理得，当，即时，方程可化为，解集为空集，符合题意；当，即时，由得且，解得且，因为方程的解集为空集，故即．故答案为：.【变式7-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）下列关系中：①，②，③，④正确的序号__________.【答案】①②【解析】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确；对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确；对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为，两个集合的元素完全不同，所以之间不存在包含关系，故③错误；对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误；故答案为：①②.【变式7-3】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】当时，不成立，即，则；当时，由，得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：

1．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得或，所以.因为，所以或，解得或或.经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾.所以实数的取值集合为.2．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（

）A．0 B．2 C．3 D．-1【答案】D【解析】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去；若，则无解；若，则，经检验符合题意.所以3．（2026·贵州黔西南·二模）集合的子集个数为（

）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】B【解析】，故子集的个数为.4．（25-26高一下·云南普洱·期中）集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】C【解析】由题意得，其元素个数为3，子集个数为．5．（25-26高一上·上海·期中）满足

的所有集合的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种.由题意，集合，所以集合共有个，分别为：．6．（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，因为，所以.7．（2026·广东·一模）已知集合，若，则（

）A．－2 B．0 C．2 D．4【答案】B【解析】由于集合，，则，故8．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（）A． B． C． D．或【答案】B【解析】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以，又因为，所以或，若，则，此时，，因为，所以，解得，此时，，满足题意；若，则，此时，，因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解；综上所述，，所以.故选：B9．（多选题）（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，解得，集合，中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确；中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误；等于集合，是集合A的子集，故C正确；中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确．10．（多选题）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，则（

）A． B．C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8【答案】BD【解析】由题可知，则，B选项正确，，A选项错误，的子集个数为8，C选项错误，D选项正确．故选：BD.11．（多选题）（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】，，因为，且集合中至多有一个元素，所以或或，若，则；若，则；若，则；故选：ABD.12．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个【答案】63【解析】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为．13．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合，且，则实数的取值集合为_____.【答案】【解析】，因为，当，即时，，满足；当，即时，由可得或，所以，由，所以或，解得或.综上所述，实数的取值集合为.14．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______.【答案】