2025~2026学年北京市第四中学高二下学期期中考试数学试卷

2025~2026学年北京市第四中学高二下学期期中考试数学试卷一、单选题1.已知数列的首项，且，则为

A．7B．15C．30D．312.下列求导运算正确的是（）

A．B．C．D．3.已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（）

A．19，B．21，C．15，D．16，4.函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则取出的三个小球最大编号为5的概率为（）

A．B．C．D．6.函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．7.如果等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为（）

A．25B．50C．100D．不存在8.已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9.如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（）

A．在处取极大值B．C．在上存在最小值D．在上至多有3个零点10.已知等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（）

A．32B．16C．12D．8二、填空题11.同时抛掷甲乙两枚质地均匀的骰子，设“甲骰子点数为3”，“两枚骰子点数之和为8”，则________．12.函数在处的切线方程为______．13.已知数列的前项和为，则________，的最小值为________．14.已知函数，，有成立，则的取值范围是________．15.已知函数，给出如下四个结论：①对任意，都不是偶函数；②任取，，在上单调递减；③任取，，在上单调递减；④存在，使得当且时，恒成立；其中所有正确结论的序号是________．三、解答题16.设等差数列的公差不为0，，且．(1)求的通项公式：(2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值．17.生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：

跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）18.“诗到清平能动主，花虽富贵不骄人”，以景山公园为首，北京各大公园牡丹陆续进入最佳观赏期，为了解景山公园的未来人流趋势，收集得到旅行平台关于该公园4月1号至12号的网络搜索量（单位：万次）如下：

时间1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号11号12号搜索量6.28.16.17.28.17.46.26.56.48.38.16.3假设该公园每天的搜索量变化是相互独立的，用频率估计概率．(1)从2号至11号中任取1天，求当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；(2)在未来的日子里任取3天，记这3天中搜索量数据高于8万的天数为，求随机变量的分布列；(3)在未来的日子里任取3天，求这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据的概率．19.已知函数．(1)求在上的最大值和最小值；(2)求过原点的切线方程．20.已知函数．(1)求在处的切线方程；(2)判断的单调性；(3)若不等式在上无解，求的取值范围．21.已知项数为的实数数列：，，…，，给定正整数，记．如果对于，…，，都有，则称数列“级恒正”，如果对于，…，，都有，则称数列“级恒负”．(