九年级数学上册：用树状图或表格求概率（第二课时）教案

九年级数学上册：用树状图或表格求概率（第二课时）教案

（以下内容）

一、单元整体分析与核心概念定位

本课时隶属于“概率的进一步认识”单元，是学生在九年级上学期完成对概率古典定义（P(A)=m/n）初步认识后，向更具综合性与复杂性的概率计算问题迈进的关键节点。第一课时已引导学生初步掌握了用树状图或列表法（以下统称“枚举工具”）解决涉及两步试验的等可能事件概率问题。本课时作为承接与发展，核心目标在于深化对枚举工具的理解与应用，引导学生从“会画图表”的机械操作层面，跃升至“善选工具、精析结构、能建模型”的策略思维层面。教学重点将聚焦于三个维度的深化：其一，在面对复杂情境时，如何根据问题特征（如试验步骤的序贯性、元素的对称性）策略性地选择树状图或表格，并理解两者内在的联系与区别；其二，如何识别并处理非等可能结果转化为等可能基本事件的建模过程；其三，如何将枚举工具与已学的概率公理（非负性、规范性、可加性）有机结合，进行严谨的逻辑表达。本课时的学习，直接为后续学习频率估计概率、涉及三步及以上的复杂概率问题、以及高中阶段的排列组合与条件概率奠定坚实的思维与操作基础。

二、学情深度调研与认知障碍预判

经过前一课时的学习，学生已具备绘制简单树状图或表格求解两步等可能事件概率的基本技能。然而，通过课堂观察与作业分析，发现学生的认知存在以下典型分化与潜在障碍：

1.工具选择依赖直觉而非分析：多数学生能模仿例题使用工具，但面对新问题时，选择列表法还是树状图常凭感觉，缺乏对问题结构（如试验是否有序、样本空间是否对称）的理性分析。例如，在“先后掷两枚骰子”与“同时掷两枚骰子”的问题中，学生常忽视其样本空间的差异性。

2.“等可能性”理解的表面化：学生能背诵“每个结果可能性相同”，但在面对诸如“从红球2个、白球1个中摸出两个球”此类问题时，容易将非等可能的宏观结果（一红一白）误认为基本事件，而非将其拆解为等可能的序贯抽取过程。

3.图表绘制与信息提取的机械性：绘制图表时，易遗漏可能结果，或对图表所呈现的丰富信息（如所有可能结果总数、满足条件的结果数及其结构关系）利用不充分，解题过程与图表分析呈现“两张皮”现象。

4.数学表达的逻辑链条断裂：在书写解题过程时，存在列举结果后直接写概率，缺少明确指出“所有等可能结果总数(m)”与“事件A包含的结果数(n)”的关键步骤，概率计算的依据表述不完整。

基于以上分析，本课时的教学设计将着力于创设认知冲突情境，引导学生从工具使用者的“操作工”角色，转向问题分析者的“策略师”角色，实现从技能熟练到思维深刻的双重进阶。

三、学习目标与核心素养细化

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，结合本课时内容，制定以下多维学习目标：

1.知识与技能目标

1.能准确识别两步随机试验的特征，并依据“试验是否有序”、“元素是否可区分”等条件，合理选择并规范绘制树状图或表格，系统列出所有等可能的基本事件。

2.能熟练运用选定的枚举工具，计算较复杂的两步随机试验中指定事件的概率，包括涉及“放回”与“不放回”的古典概型问题。

3.能初步处理简单的非等可能结果问题，通过构建等可能的微观过程（如给元素编号）将其转化为等可能基本事件集合。

2.过程与方法目标

1.经历从实际问题抽象为概率模型的过程，提高数学抽象能力。

2.通过对不同问题情境的对比、辨析，归纳总结树状图与表格的适用条件与优劣，发展分析、比较、归纳的逻辑推理能力。

3.在小组合作探究中，体验策略选择、模型修正、成果交流的完整探究流程，增强合作交流与批判性思维。

3.情感态度与价值观目标

1.在解决贴近生活的概率问题中，感受数学的应用价值，增强数学学习兴趣。

2.通过克服工具选择、模型构建中的难点，体验策略成功带来的成就感，培养攻坚克难的意志品质。

3.形成严谨、有序、依概率思考问题的理性精神。

4.核心素养培育聚焦

1.数据观念：重点培育学生利用树状图或表格系统、有序地整理数据（所有可能结果），并从中提取有效信息（事件包含的结果）进行分析的能力。

2.模型观念：引导学生将实际问题抽象为“两步随机试验”的概率模型，并运用枚举工具进行求解，经历“现实问题→数学模型→求解验证→解释应用”的完整建模过程。

3.推理能力：在工具选择、结果列举、概率计算的全过程中，强化步步有据的逻辑推理习惯。特别在辨析“等可能”假设时，培养基于概率基本概念的合情推理与演绎推理能力。

四、教学重点、难点与突破策略

1.教学重点：根据问题特征策略性地选择枚举工具，并规范、完整地运用其求解两步随机试验的概率。

2.教学难点：理解并处理“非等可能宏观结果”向“等可能基本事件”的转化；在复杂情境中准确把握“所有等可能结果”的构成。

3.突破策略：

1.4.对比辨析策略：设计一组“同质异形”的对比性问题（如同一情境下，先后与同时、放回与不放回），引导学生通过绘图、计算、比较，自主发现工具选择的依据。

2.5.认知冲突策略：故意呈现学生容易出错的非等可能结果问题，引发争议，再通过给元素编号、细化步骤等方式，引导学生自我修正错误认知，深化对“等可能性”本源的理解。

3.6.思维可视化策略：不仅要求学生画出图表，更要求他们用语言描述图表的结构、解释为何如此选择工具、说明如何从图表中读取关键数据，将内在思维过程外显化。

五、教学准备与资源支持

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（包含问题情境动画、动态生成树状图与表格的演示、对比分析图表）。

2.3.预设的探究活动任务单（纸质或电子版）。

3.4.课堂即时反馈工具（如答题器、在线互动平台）。

4.5.几何画板或GeoGebra动态数学软件，用于可视化模拟随机试验。

6.学生准备：

1.7.复习第一课时内容，明确概率的古典定义及树状图、表格的基本画法。

2.8.准备草稿纸、彩笔（用于标注图表中的关键信息）。

9.环境准备：教室桌椅按四人小组进行摆放，便于合作讨论。

六、教学过程实施与环节设计

（一）情境激趣，锚定问题——唤醒经验，明确方向（预计时间：8分钟）

1.情境呈现：

【课件展示】“校园文化节”徽章设计大赛情境。决赛有两轮：第一轮，从“龙纹”、“书卷”、“齿轮”三种基础图案中随机抽取一种；第二轮，在选定的基础图案上，从“红”、“蓝”、“金”三种配色方案中随机抽取一种进行最终渲染。最终徽章由一个基础图案和一个配色组合而成。

问题1：请用上一节课学过的方法，帮组委会计算最终徽章图案恰好是“书卷基础图配金色”的概率。

2.学生活动：

1.3.学生独立思考1分钟，尝试解答。

2.4.教师巡视，选取两名分别使用树状图和表格的学生，通过实物投影展示其解答过程。

3.5.学生口头阐述自己的解题思路。

6.设计意图与教师引导：

1.7.选择贴近学生校园生活的真实情境，激发兴趣。问题1是对上节课内容的直接应用，旨在快速唤醒学生的已有知识和技能，建立学习自信，为后续的认知升级做好铺垫。

2.8.通过展示两种不同解法，自然引出本课时的核心议题之一：面对同一个问题，树状图和表格都能解决，它们有什么异同？我们该如何选择？教师板书核心问题：“工具，何以择之？”

（二）探究辨析，策略生成——对比分析，归纳规律（预计时间：18分钟）

1.探究活动一：有序与无序的碰撞

问题2（变式1）：若组委会改为“一次性从三种基础图案和三种配色中各随机选取一个进行组合”（即无先后顺序要求），求得到“书卷配金色”的概率。

问题2（变式2）：若第一轮抽中的基础图案不再放回，第二轮直接从剩下的两种图案中随机抽，再配随机色，概率又是多少？

1.2.小组任务：4人小组合作，分别用树状图和表格尝试解决这两个变式问题。讨论：（1）哪种工具更方便？为什么？（2）三个问题（原问题、变式1、变式2）的样本空间和概率结果一样吗？这说明了什么？

2.3.汇报交流与教师精讲：

1.3.4.小组代表汇报，重点说明工具选择的理由及对“有序/无序”、“放回/不放回”影响的理解。

2.4.5.教师利用课件动态演示：从“先后有序抽取”到“同时无序选取”，样本点从9个（3×3）变为6个组合（C(3,1)×C(3,1)结构相同，但心理模型不同）；再到“不放回”时，样本点变为6个（3×2）。引导学生观察图表结构的变化。

3.5.6.归纳提升：教师引导学生共同总结初步策略。

1.4.6.7.树状图：优势在于能清晰展现试验的序贯过程，特别适合步骤有明显先后顺序、或每一步有多种可能性的问题。它能直观体现“分步”思想。

2.5.7.8.表格：优势在于能清晰呈现所有结果的对称结构，特别适合两个试验同步进行，且每个试验的可能结果较为有限、便于在二维平面上整齐排列的情况。它能直观体现“分类”与“矩阵”思想。

3.6.8.9.本质联系：无论是树状图还是表格，都是在系统枚举“所有等可能的基本事件”。选择的关键在于哪一种更能清晰、简洁、不易遗漏地呈现这个样本空间。

10.探究活动二：等可能性的深度追问

认知冲突情境：【课件展示】一个不透明的袋子中装有2个红球（R1,R2）和1个白球(W)。随机摸出两个球。

学生常见错误解法：认为结果有{两红，一红一白，一白一红，两白}，因“两白”不可能，故P(一红一白)=1/3。

1.11.小组辩论：这个解法正确吗？为什么？

2.12.教师引导与模型重构：

1.3.13.暂停辩论，引导学生回到概率古典定义的基石：“每一个基本事件发生的可能性必须相等”。

2.4.14.提问：{两红}、{一红一白}、{一白一红}这三个“结果”可能性相同吗？如何验证？

3.5.15.引导学生方案：给球编号！将宏观的“一红一白”结果，细化为“先摸R1再摸W”、“先摸R2再摸W”、“先摸W再摸R1”、“先摸W再摸R2”等多个微观的、等可能的序贯过程。

4.6.16.学生重构模型：请学生用树状图（必须，因为涉及不放回的序贯抽取）重新分析此问题。设球为R1,R2,W。列出所有等可能结果：(R1,R2),(R1,W),(R2,R1),(R2,W),(W,R1),(W,R2)。共6种。其中“一红一白”包含4种。故P(一红一白)=4/6=2/3。

5.7.17.深度反思：对比错误与正确解法，组织学生讨论“为什么需要编号？”“等可能性到底体现在哪里？”教师强调：在“不放回”抽取多个对象时，给同类元素编号是将其转化为等可能基本事件的常用技巧，这是概率建模的关键一步。

（三）范例精析，方法内化——规范表达，领悟思想（预计时间：12分钟）

1.综合范例讲解

例题：小颖和小明约定玩一个游戏：将一副去掉大小王的扑克牌（共52张）洗匀后，小颖随机抽取一张，记下花色后放回洗匀，小明再随机抽取一张。计算：

（1）两人抽到的花色相同的概率；

（2）若小颖抽到的牌不放回，小明再抽，两人抽到的数字（A算作1，JQK算作10）之和为奇数的概率。

1.2.师生共析：

1.2.3.第（1）问：分析特征——“有先后顺序”、“放回”。选择工具：树状图或表格均可。但考虑到花色只有4种，表格（4×4）更为清晰。教师展示规范表格。

2.3.4.板书强调规范步骤：

①模型假设：明确试验为两步，每一步都是等可能抽取，且放回。

②工具选择与理由：选用表格法，因为试验步骤清晰，结果种类有限，便于呈现所有等可能结果。

③枚举样本空间：列出所有4×4=16种等可能结果（可用花色符号表示）。

④界定事件：明确事件A（花色相同）包含哪些结果（对角线上的4个）。

⑤计算概率：P(A)=4/16=1/4。

3.4.5.第（2）问：分析特征——“有先后顺序”、“不放回”、“关注数字和”。选择工具：由于是不放回抽取，且需要计算数字和，用树状图能更好体现序贯性及每一步结果的变化。但直接画52×51的树状图不现实。

4.5.6.策略引导：如何化简？引导学生思考：概率只与数字的奇偶性有关，而与具体数字无关。可将52张牌按数字奇偶性分为两类：奇数字牌（哪些？）和偶数字牌（哪些？）。先计算两类牌的张数（奇数字牌：40张中奇偶各半？需具体分析，此处设奇有a张，偶有b张，a+b=52）。然后构建基于“奇偶性”的简化树状图。此过程渗透了“化归”与“分类”思想。

6.7.学生同步练习：在教师引导下，学生完成第（2）问简化模型的建立和概率计算。

8.思想方法提炼

师生共同回顾例题解决过程，提炼核心思想：

1.9.建模思想：将游戏规则抽象为概率模型。

2.10.化归思想：将复杂问题（52张牌）转化为简单问题（奇偶两类）。

3.11.分类与分步思想：贯穿于工具选择和结果分析始终。

（四）变式训练，分层巩固——应用迁移，深化理解（预计时间：10分钟）

设计三个层次的分层练习，学生可根据自身情况至少完成两组。

1.A组（基础巩固）：

1.2.掷一枚均匀的硬币两次，用列表法求至少有一次正面朝上的概率。

2.3.一个转盘被分成面积相等的三个扇形，颜色分别为红、黄、蓝。连续转动转盘两次，用树状图求两次颜色相同的概率。

4.B组（能力提升）：

1.5.从甲、乙、丙三人中随机选派两人参加某项活动。（1）请用合适的方法列出所有可能结果；（2）求甲被选中的概率。

2.6.一个盒子中装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外都相同。随机摸出一个球，记下颜色后放回盒子，再随机摸出一个球。求两次摸到的球颜色不相同的概率。

7.C组（拓展挑战）：

小明有红、黄、蓝三件上衣和黑、白两条裤子。他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上。请用你选择的方法解决：（1）求上衣和裤子恰好同色的概率（若无同色，说明理由）。（2）若小明先穿裤子，再从与裤子颜色不同的上衣中随机选一件，求此条件下上衣是红色的概率。（此为条件概率雏形，供学有余力者思考）

8.课堂巡视与个别指导：教师巡视，重点关注A组有困难的学生和挑战C组的学生，提供即时反馈与指导。

（五）课堂总结，结构化反思——梳理脉络，升华认知（预计时间：7分钟）

1.学生自主总结：邀请学生以“我今天学到的最重要的一点是……”或“我如何决定用树状图还是表格？”为开头，分享学习收获。鼓励学生从知识、方法、思想多个层面进行总结。

2.教师结构化板书：结合学生发言，教师呈现并完善本节课的“思维导图”式板书。

用树状图或表格求概率（策略篇）

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核心目标：策略选择，严谨建模

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【工具何以择之？】【等可能性何以保障？】

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树状图表格编号法化归法

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体现序贯呈现对称处理同类元素简化复杂情境

分步清晰结构整齐转化基本事件聚焦关键特征

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通用流程：审→择→列→界→算

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数学思想：建模、化归、分类讨论、数形结合

3.布置分层作业：

1.4.必做题：课本对应章节练习题，要求规范书写解题步骤，并附上简短的工具选择说明。

2.5.选做题：（1）设计一个可以用两种不同枚举工具解决的概率问题，并比较优劣。（2）调研生活中的一个概率现象（如抽奖活动），尝试用本节课所学知识进行简单分析。

3.6.实践思考题：尝试使用GeoGebra或Scratch等软件，模拟一个本课涉及的概率试验（如摸球），通过大量重复试验验证你的理论计算结果。

（六）教学评价与反馈设计

1.过程性评价：

1.2.观察评价：在小组探究、汇报环节，观察学生的参与度、合作交流能力、表达的条理性和逻辑性。

2.3.问答评价：通过课堂提问，诊断学生对“等可能性”、“工具选择依据”等核心概念的理解深度。

3.4.作品评价：对学生的课堂练习、图表绘制、解题步骤书写的规范性和策略选择的合理性进行即时点评。

5.形成性评价（作业设计）：

1.6.作业设计紧扣教学目标分层，必做题巩固双基，选做题发展能力与兴趣，实践思考题连接信息技术与数学实验。

2.7.批改时不仅关注答案正确与否，更要关注“模型假设是否明确”、“工具选择是否合理且理由陈述”、“基本事件列举是否系统完整”、“概率计算依据表述是否清晰”等过程性要素。

七、板书设计（主版面规划）

区域

内容

左中主板书区

课题：策略选择与严谨建模——用树状图或表格求概率

一、工具选择策略

1.树状图→凸显序贯过程（例：先后抽签、不放回）

2.表格