2027届高考数学一轮总复习3.6利用导数研究函数的零点【课件】

第6节利用导数研究函数的零点高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2027课标解读函数零点的判定与个数分析是高中数学的核心内容,亦是连接函数、方程与不等式的关键纽带,在高考解答题中占据重要地位.对于形式复杂的超越函数或高次多项式,传统的代数解法往往失效,此时需借助导数这一强大工具,通过对函数形态的精细刻画来洞察其零点特性.研考点•精准突破考点一判断函数零点(方程根)的个数考向1

利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数例1

(2025·河北秦皇岛模拟)设函数f(x)=exsinx.(1)求f(x)的图象在(0,f(0))处的切线方程;(2)记g(x)=f(x)-ax,若0<a≤1,试讨论g(x)在(0,π)内的零点个数.

当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,π)内单调递减.因为g(0)=0,g(x0)>g(0)=0,所以函数g(x)在(0,x0)内无零点,又g(π)=-aπ<0,由零点存在定理可得g(x)在(x0,π)内有且只有一个零点.综上,当0<a≤1时,函数g(x)在(0,π)内的零点个数为1.规律方法

利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数(1)讨论函数的单调性,确定函数的单调区间;(2)在每个单调区间上,利用函数零点存在定理判断零点的个数;(3)注意区间端点的选取技巧;(4)含参数时注意分类讨论.[对点训练1](2025·山东临沂模拟)已知函数f(x)=x2lnx-ax2+a,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最值;(2)讨论f(x)的零点个数.

规律方法

数形结合确定函数的零点个数的方法函数的零点个数即函数图象与x轴交点的个数,因此借助数形结合思想,可通过函数图象判断函数的零点个数.(1)利用导数研究函数f(x)的单调性、极值及最值情况,并结合函数值的正负情况及变化趋势,作出函数f(x)的大致图象,然后根据图象判断零点个数.(2)若函数f(x)的图象不易直接作出,可根据函数与方程思想将函数零点转化为方程的根,再将方程进行变形,转化为两个函数的图象交点问题,从而判断函数的零点个数.

解

(1)由题意知f(x)的定义域为R,f'(x)=xex-ax=x(ex-a).①当a≤0时,ex-a>0,当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,f(x)有1个极值点.②当a>0时,令f'(x)=0,得x=0或x=ln

a.(ⅰ)当0<a<1时,ln

a<0,所以f(x)在(-∞,ln

a)内单调递增,在(ln

a,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,f(x)有2个极值点;(ⅱ)当a=1时,ln

a=0,f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增,f(x)无极值点;(ⅲ)当a>1时,ln

a>0,所以f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,ln

a)内单调递减,在(ln

a,+∞)内单调递增,f(x)有2个极值点.综上,当a≤0时,f(x)有1个极值点;当a=1时,f(x)无极值点;当0<a<1或a>1时,f(x)有2个极值点.

所以g(x)的大致图象如图所示.

考点二已知函数零点个数求参数的取值范围例3

(2022·全国乙,理21)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)内各恰有一个零点,求a的取值范围.

若-1≤a<0,则当x∈(0,1]时,g(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,所以当x>0时,g(x)>0恒成立,即f'(x)>0恒成立,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,不符合题意,舍去.若a<-1,则g(0)<0,又g(-1)=1>0,g(1)=1>0,当x>1时,g(x)>0恒成立,所以存在唯一的x1∈(-1,0),x2∈(0,1),使g(x)=0.所以f(x)在区间(-1,x1),(x2,+∞)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)<f(0)=0,当x∈(x1,0)时,f(x)>0恒成立;当x∈(0,x2)时,f(x)<0恒成立.令h(x)=xe-x,则h'(x)=e-x(1-x),所以当x>1时,h'(x)<0,所以h(x)在区间(1,+∞)内单调递减,所以当x>1时,0<h(x)<h(1)=e-1<1.又a<-1,所以当x>1时,axe-x>a.取x=e-a,因为a<-1,0<x2<1,所以e-a>e>x2,所以f(e-a)>ln(1+e-a)+a>ln

e-a+a=0.又f(x2)<0,所以f(x)在区间(x2,+∞)内只有一个零点,即f(x)在区间(0,+∞)内只有一个零点.由h'(x)=e-x(1-x),知当-1<x<0时,h'(x)>0,所以h(x)在区间(-1,0)内单调递增,所以当-1<x<0时,h(-1)<h(x),即xe-x>-e.又a<-1,所以axe-x<-ae.取x=e3a-1∈(-1,0),则f(e3a-1)<ln(1+e3a-1)-ae=a(3-e)<0.又f(x1)>0,所以f(x)在区间(e3a-1,x1)内只有一个零点,即f(x)在区间(-1,0)内只有一个零点.综上,a的取值范围为(-∞,-1).规律方法

已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法

x(0,x1)x1(x1,

x2)x2(x2,+∞)g'(x)+0-0+g(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数g(x)的单调递增区间是(0,x1),(x2,+∞),单调递减区间是(x1,x2).

考点三可化为函数零点的参数问题例4

(2023·北京,20)设函数f(x)=x-x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1.(1)求a,b的值;(2)设函数g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(3)求f(x)的极值点个数.

规律方法

若f'(x)为可导函数f(x)的导函数,x0为f(x)的极值点,则必有f'(x0)=0.曲线的切线条数、两曲线的交点个数、极值点问题、方程根的个数等问题解决的关键是转化为对应函数的零点个数问题,通过数形结合等方式,研究函数的零点以确定相应