北京大一高数d期中试卷及答案

北京大一高数d期中试卷及答案考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高一（1）班

北京大一高数d期中试卷及答案

一、选择题

1.极限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值是

A.0

B.2

C.4

D.不存在

2.函数f(x)=|x|在x=0处的导数是

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

3.函数f(x)=x^3-3x+2的单调递增区间是

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.(-1,1)

C.(-∞,1)

D.(1,+∞)

4.曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是

A.-1

B.0

C.1

D.3

5.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，这个定理是

A.中值定理

B.极限存在定理

C.连续性定理

D.极值定理

6.函数f(x)=e^x的原函数是

A.e^x

B.e^x+C

C.x^2

D.x^2+C

7.若f'(x)=3x^2+2x，则f(x)的表达式为

A.x^3+x^2+C

B.x^3+x^2

C.3x^2+2x

D.3x^2+2x+C

8.函数f(x)=sin(x)的导数是

A.cos(x)

B.-cos(x)

C.sin(x)

D.-sin(x)

9.若函数f(x)在x=a处取得极值，且f'(a)=0，则x=a是f(x)的

A.极大值点

B.极小值点

C.驻点

D.无法确定

10.函数f(x)=x^2-4x+4的图像是

A.抛物线开口向上

B.抛物线开口向下

C.直线

D.水平线

11.若函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调递增，则f(x)在(a,b)内

A.至少存在一个极值点

B.没有极值点

C.可能存在多个极值点

D.无法确定

12.函数f(x)=ln(x)的导数是

A.1/x

B.x

C.-1/x

D.-x

13.若f(x)=x^2+1，则f'(2)的值是

A.2

B.4

C.3

D.1

14.函数f(x)=cos(x)的原函数是

A.sin(x)

B.-sin(x)

C.cos(x)

D.-cos(x)

15.若函数f(x)在x=a处取得极值，且f''(a)>0，则x=a是f(x)的

A.极大值点

B.极小值点

C.驻点

D.无法确定

二、填空题

1.极限lim(x→3)(x^2-9)/(x-3)的值是________。

2.函数f(x)=x^2-4x+4的导数是________。

3.曲线y=x^3-3x^2+2在x=0处的切线方程是________。

4.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，这个定理是________。

5.函数f(x)=e^x的原函数是________。

6.若f'(x)=3x^2+2x，则f(x)的表达式为________。

7.函数f(x)=sin(x)的导数是________。

8.若函数f(x)在x=a处取得极值，且f'(a)=0，则x=a是f(x)的________。

9.函数f(x)=x^2-4x+4的图像是________。

10.函数f(x)=ln(x)的导数是________。

11.若f(x)=x^2+1，则f'(2)的值是________。

12.函数f(x)=cos(x)的原函数是________。

13.若函数f(x)在x=a处取得极值，且f''(a)>0，则x=a是f(x)的________。

14.函数f(x)=|x|在x=0处的导数是________。

15.函数f(x)=x^3-3x+2的单调递增区间是________。

三、多选题

1.下列函数中，在x=0处可导的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

2.下列函数中，在x=0处取得极值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

3.下列函数中，在区间[a,b]上连续的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

4.下列函数中，在区间(a,b)内单调递增的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

5.下列函数中，在x=0处取得极值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

6.下列函数中，在区间[a,b]上连续且单调递增的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

7.下列函数中，在x=0处可导的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

8.下列函数中，在区间[a,b]上连续的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

9.下列函数中，在区间(a,b)内单调递增的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

10.下列函数中，在x=0处取得极值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

四、判断题

1.函数f(x)=x^2在x=0处的导数是0。

2.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

3.函数f(x)=e^x的原函数是e^x+C。

4.若f'(x)=3x^2+2x，则f(x)的表达式为x^3+x^2+C。

5.函数f(x)=sin(x)的导数是cos(x)。

6.若函数f(x)在x=a处取得极值，且f'(a)=0，则x=a是f(x)的驻点。

7.函数f(x)=x^2-4x+4的图像是抛物线开口向上。

8.函数f(x)=ln(x)的导数是1/x。

9.若f(x)=x^2+1，则f'(2)的值是4。

10.函数f(x)=cos(x)的原函数是sin(x)。

11.若函数f(x)在x=a处取得极值，且f''(a)>0，则x=a是f(x)的极小值点。

12.函数f(x)=|x|在x=0处的导数是0。

13.函数f(x)=x^3-3x+2的单调递增区间是(-∞,-1)∪(1,+∞)。

14.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是-1。

15.函数f(x)=x^3-3x+2在x=0处的切线方程是y=2。

五、问答题

1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数，并确定其单调递增和单调递减区间。

2.讨论函数f(x)=x^2-4x+4的极值情况，并写出其图像的方程。

3.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x+2)(x-2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=4

2.D

解析：|x|在x=0处的左右导数不相等，故导数不存在

3.A

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)>0，得x∈(-∞,0)∪(2,+∞)

4.A

解析：y'=3x^2-6x，y'|_{x=1}=3(1)^2-6(1)=3-6=-3

5.A

解析：这是拉格朗日中值定理的表述

6.B

解析：e^x的原函数是e^x+C

7.A

解析：f(x)=∫(3x^2+2x)dx=x^3+x^2+C

8.A

解析：sin(x)的导数是cos(x)

9.C

解析：f'(a)=0是x=a为驻点的必要条件，但不一定能确定是极值点

10.A

解析：f(x)=(x-2)^2，是开口向上的抛物线

11.B

解析：单调递增函数在其定义域内没有极值点

12.A

解析：ln(x)的导数是1/x

13.B

解析：f'(x)=2x，f'(2)=2(2)=4

14.B

解析：cos(x)的原函数是-sin(x)

15.B

解析：f''(x)=6x-6，f''(1)=6(1)-6=0，不能确定，但f'(1)=0，是驻点

二、填空题答案及解析

1.6

解析：lim(x→3)(x^2-9)/(x-3)=lim(x→3)((x+3)(x-3))/(x-3)=lim(x→3)(x+3)=6

2.2x-4

解析：f'(x)=2x-4

3.y=-2x

解析：y'=3x^2-6x，y'|_{x=0}=0，切线方程为y=2

4.拉格朗日中值定理

解析：这是拉格朗日中值定理的表述

5.e^x+C

解析：e^x的原函数是e^x+C

6.x^3+x^2+C

解析：f(x)=∫(3x^2+2x)dx=x^3+x^2+C

7.cos(x)

解析：sin(x)的导数是cos(x)

8.驻点

解析：f'(a)=0是x=a为驻点的必要条件，但不一定能确定是极值点

9.抛物线开口向上

解析：f(x)=(x-2)^2，是开口向上的抛物线

10.1/x

解析：ln(x)的导数是1/x

11.4

解析：f'(x)=2x，f'(2)=2(2)=4

12.-sin(x)+C

解析：cos(x)的原函数是-sin(x)+C

13.极小值点

解析：f''(a)>0表明x=a是极小值点

14.不存在

解析：|x|在x=0处的左右导数不相等，故导数不存在

15.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)>0，得x∈(-∞,0)∪(2,+∞)

三、多选题答案及解析

1.AC

解析：f(x)=x^2在x=0处可导，f'(0)=0；f(x)=|x|在x=0处不可导；f(x)=x^3在x=0处可导，f'(0)=0；f(x)=1/x在x=0处无定义，不可导

2.AB

解析：f(x)=x^2在x=0处取得极小值；f(x)=|x|在x=0处取得极小值；f(x)=x^3在x=0处不取极值；f(x)=1/x在x=0处无定义，不取极值

3.ABC

解析：f(x)=x^2在全域连续；f(x)=|x|在全域连续；f(x)=x^3在全域连续；f(x)=1/x在x=0处不连续

4.AC

解析：f(x)=x^2在(0,+∞)单调递增；f(x)=|x|在(0,+∞)单调递增；f(x)=x^3在(-∞,+∞)单调递增；f(x)=1/x在(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减

5.AB

解析：同第2题解析

6.AC

解析：同第3题解析

7.AC

解析：同第1题解析

8.ABC

解析：同第3题解析

9.AC

解析：同第4题解析

10.AB

解析：同第2题解析

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：f'(0)=2(0)=0

2.正确

解析：这是拉格朗日中值定理的表述

3.正确

解析：e^x的原函数是e^x+C

4.正确

解析：f(x)=∫(3x^2+2x)dx=x^3+x^2+C

5.正确

解析：sin(x)的导数是cos(x)

6.正确

解析：f'(a)=0是x=a为驻点的必要条件

7.正确

解析：f(x)=(x-2)^2，是开口向上的抛物线

8.正确

解析：ln(x)的导数是1/x

9.正确

解析：f'(x)=2x，f'(2)=4