2026新教材人教版九年级上册数学25.2.3 第2课时 一元二次方程解法的灵活选用 教案

第第页2026新教材人教版九年级上册数学25.2.3第2课时一元二次方程解法的灵活选用教案25.2.3因式分解法第2课时一元二次方程解法的灵活选用课题25.2.3第2课时一元二次方程解法的灵活选用授课人教学目标1.掌握用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.能根据方程的特征，会灵活选择适当的方法解一元二次方程.2.通过对一元二次方程解法的复习,使学生进一步理解“降次”的数学方法,进一步获得对事物可以转化的认识.3.培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力.教学重点熟练运用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.教学难点灵活选择适当的方法解一元二次方程.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入学生解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）分析：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．我们学过了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法4种常用的解方程方法，那么具体选用哪一种方法解方程呢？这节课我们一起学习灵活选用方法解一元二次方程.学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.探究新知灵活选用方法解一元二次方程思考:(1)直接开平方法的方程特征是什么？一般地，对于一元二次方程ax2＋c＝0，能变形为x2＝p的形式，再利用直接开平方法求解.其中，①当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1＝－eq\r(p)，x2＝eq\r(p)；②当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；③当p＜0时，因为对任意实数x，都有x²≥0，所以方程无实数根．（2）配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？①移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．②化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．③要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)④方程变形为(x+m)2=n的形式．⑤如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．常数项成为一次项系数一半的平方，化为完全平方形式.（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？①确定a，b，c.②把a，b，c所代表的数值代入△=b²-4ac，根据△的值确定根的情况.③把a，b，c所代表的数值代入求根公式x=，求出方程的值.（4）分解因式法的条件是什么?①将方程的右边化为0，左边进行因式分解；②令每个因式为0，得到两个一元一次方程；③解一元一次方程，得到方程的解．师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.思考：归纳总结直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.方法适合方程类型注意事项直接开平方法(x＋a)2＝bb＞0时，x1＝－a＋eq\r(b)，x2＝－a－eq\r(b)；b＝0时，x1＝x2＝－a；b＜0时，无解.配方法x2＋px＋q＝0二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方求解.公式法ax2＋bx＋c＝0(a≠0)b2－4ac≥0时，方程有解；求根公式为x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a).因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次式的积.方程的一边必须是0，另一边可用因式分解法求解.师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.通过问题引发学生思考，引导学生探究.通过探究，总结一元二次方程的解法的特点及注意事项.典例精析例用适当的方法解方程：（1）3x(x＋5)＝5(x＋5)；（2）(5x＋1)2＝1；（3）x2－12x＝4；（4）3x2＝4x＋1．解：（1）变形得(3x－5)(x＋5)＝0．即3x－5＝0，或x＋5＝0．解得x1＝53，x2＝（2）开平方，得5x＋1＝±1．解得x1＝0，x2＝-25（3）配方，得x2－12x＋62＝4＋62，即(x－6)2＝40．开平方，得x-6=±210.解得x1＝6+210，x2＝6-210.（4）整理成一般形式，得3x2－4x－1＝0．∵Δ＝b2－4ac＝28＞0，∴x=−−4±28∴x1＝2+73，x2＝【方法总结】一元二次方程的解法选择基本思路（1）一般地，当一次项系数为0时(ax2＋c＝0)，应选用直接开平方法；（2）若常数项为0(ax2＋bx＝0)，应选用因式分解法；（3）化为一般式(ax2＋bx＋c＝0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法．系数含根式时也可选公式法．【针对训练】若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．【解】∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC为等腰三角形．师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强学生灵活选用一元二次方程的解法能力，发展计算能力.随堂检测1．将下列序号填到对应的横线上．①x2－3x＋1＝0；②3x2－1＝0；③－3t2＋t＝0；④x2－4x＝2；⑤2x2－x＝0；⑥5(m＋2)2＝8；⑦3y2－y－1＝0；⑧2x2＋4x－1＝0；⑨(x－2)2＝2(x－2)．适合运用直接开平方法：___________________；适合运用因式分解法：___________________；适合运用公式法：___________________；适合运用配方法：___________________．答案：②⑥③⑤⑨①⑦⑧④2．按题目要求的方法解下列方程：（1）(x−1)2−4＝0；（直接开平方法）（2）3x(2x＋3)−2(2x＋3)＝0；（因式分解法）（3）x2＋4x−3＝0．（配方法）解：（1）(x−1)2＝4，∴x−1＝±2，∴x1＝3，x2＝−1．（2）(3x−2)(2x＋3)＝0，∴x1＝23，x2＝−3（3）x2＋4x＝3，∴(x＋2)2＝7，x＋2＝±7，∴x1＝7-2，x2＝−7-2．3．用适当方法解下列方程：（1）(2x＋3)2－25＝0；（2）x2＋5x＋7＝3x＋11；解：（1）化简，得4x2＋12x＋9－25＝0，整理，得x2＋3x－4＝0，分解因式，得(x－1)(x＋4)＝0，解得x1＝1，x2＝－4．（2）化简，得x2＋2x＝4，配方法，得x2＋2x＋1＝5，即(x＋1)2＝5，可得x＋1=±5，解得x1＝-1+5，x2＝－1-5．4．用公式法和因式分解法解方程x(5x＋4)－(4＋5x)＝0．解：公式法：原方程化为一般形式，得5x2－x－4＝0．∵a＝5，b＝－1，c＝－4，b2－4ac＝(－1)2－4×5×(－4)＝81＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∴x＝1±812∴x1＝-45，x2＝1因式分解法：方程左边提公因式，得(5x＋4)(x－1)＝0，则x1＝-45，x2＝1师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么策略？从知识内容上学到了什么内容？分清楚各种方法的适用场景与优劣？1.方法层面：学习了一元二次方程解法的灵活选用，体会“择优而治”的核心策略。不机械套用某一种方法，而是根据方程特征，高效选择最简便的解法，感受数学解题中的优化思维与分类讨论思想。2.知识内容层面：系统梳理四种解法的逻辑关联与操作要点：直接开平方法：适用于形如x2=p或(x+m)2=p的特殊结构。因式分解法：适用于左边能轻松分解为因式乘积、右边为0的方程，追求运算速度。配方法：适用于推导公式、求代数式最值，或作为其他方法的理论基础。公式法：适用于所有一元二次方程，是通解通法，追求普适性。3.概念联系与区别：明确四种方法并非孤立，而是层层递进的有机整体：优先序：能因式分解→能直接开方→公式法。核心区别：因式分解法和直接开平方法是特殊速解，配方法和公式