2026新教材人教版九年级上册数学25.2.3 第1课时 用因式分解法解一元二次方程 教案

第第页2026新教材人教版九年级上册数学25.2.3第1课时用因式分解法解一元二次方程教案25.2.3因式分解法第1课时用因式分解法解一元二次方程课题25.2.3第1课时用因式分解法解一元二次方程授课人教学目标1.了解因式分解法的概念.用因式分解法解一元二次方程．2.掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次”的数学思想方法.3.（2022新课标）能用因式分解法解数字系数的一元二次方程.4.通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法．教学重点因式分解法解一元二次方程.教学难点将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解．授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块矩形土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为80m，测量人员说：“正方形土地面积是矩形土地面积的一半．”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？设正方形土地的边长为xm．根据题意，得2x2＝80x.在解此方程时，我们可以通过直接开平方法或配方法或公式法来解决．那么，一元二次方程除了上述解法外，还有其他解法吗？学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.探究新知用因式分解法解一元二次方程根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度为(10x－4.9x2)m.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，则得方程10x－4.9x2＝0．请大家分别用配方法和公式法求解该方程．教师选派两名学生分别板演出两种解法的解题过程，并提出疑问：除了配方法和公式法外，是否能找到更简便的方法？问题1：当a，b分别取什么值时，等式ab＝0成立？学生交流，讨论，得出结论．教师板书：理论依据：若ab＝0，则a＝0或b＝0.问题2：依据问题1，你能解情境问题中的一元二次方程10x－4.9x2＝0吗？对比配方法和公式法，这种解法有什么优点？方程左边分解因式，得x(10－4.9x)＝0，则x＝0或10－4.9x＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(100,49).应用探究：(1)若(x＋1)(x－2)＝0，则x1＝__－1__，x2＝__2__；(2)若(2x－1)(3x＋5)＝0，则x1＝__eq\f(1,2)__，x2＝__－eq\f(5,3)__；(3)解方程x2－x＝0时，方程可以变形为__x(x－1)__＝0，则x1＝__0__，x2＝__1__；(4)解方程4x(x＋3)＋3(x＋3)＝0时，方程可以变形为__(4x＋3)(x＋3)__＝0，则x1＝__－eq\f(3,4)__，x2＝__－3__．学生自主解答问题，教师进行个别指导，然后学生进行做法讲述，教师进行点评与总结．利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边进行因式分解；③令每个因式为0，得到两个一元一次方程；④解一元一次方程，得到方程的解．归纳：不用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。通过问题引发学生思考，引导学生探究.通过问题解决，总结因式分解法及其解一元二次方程的步骤.典例精析【例1】(教材p13例4)解下列方程：（1）x（x-2）+x-2=0

；(2)5x2－2x－＝x2－2x＋.【解】（1）因式分解，得x（x-2）+（x-2）=0

；（x-2）（x+1）=0，于是得x－2＝0，或x＋1＝0，解得：x1=2；x2=-1.⑵移项，合并同类项，得4x2−1＝0,因式分解，得（2x＋1）（2x−1）＝0,（2x＋1）=0；（2x−1）＝0,x1＝；x2＝－.【方法总结】因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【针对训练】用因式分解法解下列方程：(1)4x2－121＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x－4)2＝(5－2x)2.解：(1)因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0.∴2x＋11＝0或2x－11＝0，x1＝－eq\f(11,2)，x2＝eq\f(11,2).(2)移项，得3x(2x＋1)－(4x＋2)＝0.因式分解，得(2x＋1)(3x－2)＝0.∴2x＋1＝0或3x－2＝0，∴x1＝eq\f(2,3)，x2＝－eq\f(1,2).（3）移项，得(x－4)2－(5－2x)2＝0.因式分解，得[(x－4)＋(5－2x)][(x－4)－(5－2x)]＝0.即(1－x)(3x－9)＝0.∴1－x＝0或3x－9＝0，∴x1＝1，x2＝3.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强学生对因式分解法解方程的能力.随堂检测1．下列方程，最适合用因式分解法解的是（）A．(x－1)(x－2)＝3B．2(x－1)2＝x2－1C．x2＋2x－1＝0D．x2＋4x＝2解析：选项A，整理得x2－3x－1＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项B，原方程可化为2(x－1)2＝(x＋1)(x－1)，移项后方程左边可提取公因式(x－1)，能进行因式分解；选项C，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项D，整理得x2＋4x－2＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合．答案：B.2．方程2x2＝3x的解为（）A．x＝0B．x＝3C．x＝－32D．x1＝0，x2＝解析：移项，得2x2－3x＝0，左边因式分解，得x(2x－3)＝0，∴x＝0或2x－3＝0，∴x1＝0，x2＝32答案：D.3．解下列方程：（1）3x2-6x=-3；（2）4x2-121=0.解：（1）化为一般式x2－2x＋1＝0．因式分解，得(x－1)(x－1)＝0．∴x－1＝0，∴x1＝x2＝1．（2）因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0．∴2x＋11＝0，或2x－11＝0，∴x1＝－eq\f(11,2)，x2＝eq\f(11,2).4．由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．（1）尝试．分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋)(x＋)；（2）应用．请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0．解：（1）24（2）∵x2－3x－4＝x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝(x－4)(x＋1)＝0，∴x－4＝0，或x＋1＝0，∴x1＝4，x2＝－1．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到什么方法？从知识内容上学到什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面：学习了因式分解法，体会“降次转化”思想，利用因式分解把一元二次方程化为两个一元一次方程，实现“二次→一次”的化归.2.知识内容层面：掌握因式分解法的核心依据：若ab=0，则a=0或b=0；熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；归纳解题步骤：移项→右边化为0→左边因式分解→令每个因式为0→解一元一次方程.3.概念联系与区别：因式分解法是特殊、简便方法，只适用于能轻松分解的方程；与配方法、公式法对比：配方法和公式法是通用方法，因式分解法是快捷方法；强调必须先把方程化为