2025-2026学年黑龙江省齐齐哈尔市教联体高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.已知是角终边上的一点，则（）A. B. C. D.3.已知向量，则（）A. B. C. D.4.某扇形花坛的圆心角为弧度，半径为8米，则该花坛的弧长为（）．A.米 B.米 C.米 D.米5.若，则（）A. B. C. D.6.已知向量不共线，且，则实数（）A. B. C. D.7.已知函数在上单调递减，在上单调递增，则（）A. B. C.1 D.8.在中，，的角平分线交于点，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.若，则与的长度相等且方向相同或相反B.向量的长度与向量的长度相等C.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同D.若与同向，且，则10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期是 B.的图像关于对称C.在区间上单调递增 D.由函数图像向右平移2个单位可得到函数的图像11.如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若复数，则__________.13.已知向量，若，向量在向量上的投影向量为__________.14.在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数（1）求的最小正周期及最值；（2）求在上的单调递增区间.16.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角；（2）若，求边长和的面积.17.已知：向量是同一平面内的两个向量，其中.（1）若，向量与共线且，求；（2）若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.18.已知函数的部分图象如图所示，是图象的一个最低点，是图象的一个最高点.（1）求函数的解析式：（2）已知也是图象的最低点，且函数与函数图象交于图中点，求.19.在平行四边形ABCD中，分别是线段BC，AE上的点，且（1）求的值；（2）若为线段DF上的动点，求的最小值.

数学本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数的加法法则可得出复数的值.解答过程：因为复数，则.，故B正确.2.已知是角终边上的一点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：应用诱导公式及任意角正弦公式计算求解.解答过程：由题意得.3.已知向量，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为向量，则.4.某扇形花坛的圆心角为弧度，半径为8米，则该花坛的弧长为（）．A.米 B.米 C.米 D.米答案：D解析：解答过程：依题意，该花坛的弧长为米．5.若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用诱导公式及二倍角公式化简即可得出结果.解答过程：利用诱导公式，得：，故利用二倍角公式，得.6.已知向量不共线，且，则实数（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为向量不共线，且，那么存在实数，使得，则有，解得.7.已知函数在上单调递减，在上单调递增，则（）A. B. C.1 D.答案：C解析：思路：先根据函数在上单调递减，在上单调递增的条件，得出在时取最小值，可将表示为含的表达式；再结合单调区间和周期性，判断周期的范围，从而确定的取值范围，取满足条件的整数，即可确定的值，最终求出函数表达式，代入求值即可.解答过程：解：由函数在上单调递减，在上单调递增，所以根据正弦函数的性质，函数在时取最小值，则，代入，解得，.又，所以，所以当时，，所以，故.8.在中，，的角平分线交于点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先利用余弦定理，代入已知边和角，解一元二次方程求出的长度，再利用角平分线的面积关系，通过面积公式建立方程求解.解答过程：在中，由余弦定理：代入已知条件可得，整理得：，解得（负根舍去）.由于是的角平分线，故，且，代入面积公式得，因为，则.代入，可得.二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.若，则与的长度相等且方向相同或相反B.向量的长度与向量的长度相等C.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同D.若与同向，且，则答案：BC解析：解答过程：A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错；B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对；C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对；D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期是 B.的图像关于对称C.在区间上单调递增 D.由函数图像向右平移2个单位可得到函数的图像答案：BCD解析：思路：选项，由余弦类函数的最小正周期代入计算即可；选项B，由余弦函数的对称轴为直线，令，求出检验即可；选项C，由余弦函数的单调递增区间为，令，求出的取值范围，检验即可；选项D，检验平移之后的函数表达式,是否与相同，即可作出判断.解答过程：解：选项，的最小正周期，得，故A错误；选项B，由余弦函数的对称轴为直线，令，解得函数的对称轴为直线，，当时，，故B正确；选项C，令，解得，所以函数的单调递增区间为，，当时，递增区间为，而，故C正确；选项D，函数图象向右平移2个单位，得，即，故D正确.11.如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：根据余弦定理解出三角形，再根据向量共线，向量数量积及利用向量数量积求夹角余弦值的计算方法，可逐个判断选项正误．解答过程：对于A：因为，由余弦定理，所以，故A正确；对于B：因为点在BC上，且，所以，故B正确；对于C：因为为AB的中点，，所以，则，故C不正确；对于D：由已知，，又，所以，又，则，所以，故D不正确.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若复数，则__________.答案：解析：解答过程：由题意可得：，所以,则13.已知向量，若，向量在向量上的投影向量为__________.答案：解析：解答过程：，由得，即，解得.，∴向量在上的投影向量为.14.在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________答案：12解析：解答过程：已知，由正弦定理边化角得.由于，因此.又，，所以，则.因为的面积为，所以，解得，所以，当且仅当时等号成立，因此的最小值为12.四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数（1）求的最小正周期及最值；（2）求在上的单调递增区间.答案：（1）最小正周期为，最大值为，最小值为（2）解析：思路：（1）先利用辅助角公式将函数化简为正弦型函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和最值；（2）根据正弦函数的单调递增区间，解不等式求出函数的单调递增区间.（1）因为，所以的最小正周期是，因为，所以，其最大值为，最小值为；因此的最小正周期为，最大值为，最小值为；（2）由正弦函数的单调性得：当时，函数单调递增，令，代入得：，即，解得，所以的单调递增区间为.16.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角；（2）若，求边长和的面积.答案：（1）（2），面积解析：思路：（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解；（2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解．（1）已知，由余弦定理得：，所以，化简可得：．又，故．（2），由正弦定理，代入；所以．因为，所以．17.已知：向量是同一平面内的两个向量，其中.（1）若，向量与共线且，求；（2）若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.答案：（1）或.（2）解析：思路：(1)先求得，设，再根据向量共线、模的坐标表示建立方程，解方程即可求得答案；（2）根据题意得且与不共线，再结合向量数量积的坐标表示、向量共线的坐标表示解不等式即可得答案.（1）解：由题意，，则，设，因为与共线且，所以，解得或所以或.（2）解：由题意，，则，，又与的夹角为钝角，则且与不共线，所以，解得且，综上所述，实数的取值范围为；18.已知函数的部分图象如图所示，是图象的一个最低点，是图象的一个最高点.（1）求函数的解析式：（2）已知也是图象的最低点，且函数与函数图象交于图中点，求.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据图形逐步求出周期、、，再将代入，得，即可求出（2）令得到，由最低点得出，利用计算.（1）由最低点和最高点可知，，则，所以因为，所以，将代入上式得，因为，所以，所以，即.（2）令，可得，因为，所以，得，得，则，因为是图象的最低点，所以，由，得，故.19.在平行四边形ABCD中，分别是线段BC，AE上的点，且（1）求的值；（2