2025-2026学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二下册5月期中考试数学试题 含解析

/数学总分：150分第I卷（选择题共58分）一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错或者漏选得0分.)1.已知集合，，则=（

）A. B. C. D.0,122.已知函数fx=eA. B.1C. D.23.已知，则的最小值为（）A. B. C.1 D.44.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（

）A.0 B.1 C.2 D.35.已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（）A. B.C. D.6.已知函数fx=2x−3条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要7.已知fx=sinx+2026xA.2 B.0 C.2026 D.20278.现有函数fx=2x2x+2，设数列满足aA.210,+∞ B.210+2,+∞ 二、多项选择题(共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.)9.下列说法正确的是（

）A.已知a,b,cB.已知−1≤a+C.不等式对一切实数恒成立的充要条件是D.若函数的定义域为，则函数的定义域为10.德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet）定义了一个“奇怪的函数”y=f(x)=1，xA.存在，有B.函数的图像关于直线对称C.函数是周期函数，无最小正周期D.存在三个点，，，使为等腰直角三角形11.已知函数，则（

）A.是的极小值点B.当时，C.函数为奇函数D.若方程有三个解，且这三个解从小到大依次成等差数列，则第II卷（非选择题共92分）三、填空题(共3道小题，每题5分，共15分.)12.已知f2x+113.已知函数对于任意实数满足条件，若，则________.14.已知正实数x，y满足，则的最小值为______．四、解答题(共5道小题，共77分.)15.数列的前n项和为，满足，若.（1）证明：数列为等比数列；（2）记cn=an,n为奇数16.已知函数fx=a（1）当时，求关于不等式的解集（2）当时，若对任意1，不等式fx+1ax−1≥2（3）若对任意a∈[−1,1]，fx17.已知函数fx（1）求函数的极大值；（2）若函数h(x)=f(x（3）设在在点n,fn，处切线的轴截距为，求数列的前n项和为.18.已知函数fx（1）若对任意的，且，总存在，使得fx1−fx2（2）若为整数，当时，恒成立，求的最大值；19.已知函数（1）证明：对任意两个正实数，且，若，则+（2）设函数（I）若，求函数的单调区间；（II）若，设数列的前n项和为，且，求证：当时，有.

数学总分：150分第I卷（选择题共58分）一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错或者漏选得0分.)1.已知集合，，则=（

）A. B. C. D.0,12答案：D解析：思路：根据题意，分别求得集合和，结合集合交集的定义与运算，即可求解.解答过程：由函数有意义，则满足，解得，即，又由指数函数的性质，可得，即，根据集合交集的定义与运算，可得.2.已知函数fx=eA. B.1C. D.2答案：D解析：解答过程：由题设有，而，故.3.已知，则的最小值为（）A. B. C.1 D.4答案：C解析：思路：借助基本不等式“1”的活用计算即可得.解答过程：由，则、，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.4.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（

）A.0 B.1 C.2 D.3答案：B解析：思路：结合韦恩图，列出方程求解即可.解答过程：设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为，则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示，则3+1+x+y5.已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用一元二次不等式的解法、一元二次方程的判别式以及根与系数的关系和不等式的性质运算即可得解.解答过程：因为，，所以，所以，即，解得：或．因为有两个不等根，所以，解得：或，则的取值范围是．故选：B6.已知函数fx=2x−3条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要答案：A解析：思路：分析函数在不同区间上的单调性，再根据分段函数单调的条件确定的取值范围，最后再由充分条件和必要条件的定义判断即可.解答过程：当时，fx=2x−3−1x对于反比例函数在上单调递增，所以fx=2x−3当时，，则，要使在上单调递增，则在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为在上的最大值为，所以，左段函数值全部小于等于处的函数值，即34≤f1所以”是单调函数的充要条件为a∈−1,−34若时单调函数，则必然满足，充分性成立；若，例如取，此时，但时，趋近于1时，fx=34>0，所以函数在处出现下降，不是单调函数，则必要性不成立，故“”是单调函数”是“”的充分不必要条件.7.已知fx=sinx+2026xA.2 B.0 C.2026 D.2027答案：B解析：解答过程：设，定义域为，得，则是奇函数.所以，，因为，所以.所以，，所以，.因为，，所以，.因为是奇函数，则是偶函数，所以，，.所以，.所以.综上，.8.现有函数fx=2x2x+2，设数列满足aA.210,+∞ B.210+2,+∞ 答案：C解析：思路：根据函数的表达式求出，从而得到函数的图象关于点成中心对称，再利用倒序相加法求出数列的通项公式，最后将不等式有解问题转化为函数最值问题，进而求出的取值范围.解答过程：∵fx=∴fx+f1−∵an=∴a∴2a.，∴n2+4n∵n∈N根据题意，该不等式有解，等价于不小于函数gn=n+1令t=n+1t≥2,t∈∵t≥2,t当时，；当时，；，∴t+10t，即的取值范围是253,+∞二、多项选择题(共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.)9.下列说法正确的是（

）A.已知a,b,cB.已知−1≤a+C.不等式对一切实数恒成立的充要条件是D.若函数的定义域为，则函数的定义域为答案：BD解析：解答过程：选项A：由，得.因为，所以，即.所以，，即，.故A不正确.选项B：设，，则，.由x=a+by由得，.由得，.所以，.故B正确.选项C：当时，恒成立；当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则需要满足：，解得，.综上所述，的取值范围为.故C项不正确.选项D：因为函数的定义域为，所以，函数的定义域满足:，解得，.则函数的定义域为.故D项正确.10.德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet）定义了一个“奇怪的函数”y=f(x)=1，xA.存在，有B.函数的图像关于直线对称C.函数是周期函数，无最小正周期D.存在三个点，，，使为等腰直角三角形答案：ABC解析：思路：代入特殊值可判断选项A，利用对称性可判断选项B，利用周期性可判断选项C，利用函数的定义域和单调性和函数的奇偶性的应用判定选项D的结论.解答过程：对于A：取，则，，因此存在，有，故A正确；对于B：若是有理数，则也是有理数，故，若是无理数，则也是无理数，故，因此，，是偶函数，图像关于直线对称，故B正确；对于C：设为任意有理数，若是有理数，则是有理数，fx+T+若是无理数，则是无理数，，因此，任意正有理数都是的周期，而任意正有理数无最小值，故无最小正周期，故C正确；对于D：假设存在三个点，，，使为等腰直角三角形，不妨设，分两类情况，第一种，斜边平行于轴或在轴上；第二种，斜边不平行于轴或也不在轴上，如图所示第一种情况，不妨设斜边在轴上，所以，，即x3∈Q，则，此时，，x1,第二种情况，不妨设点在轴上，即，所以x3∈∁R此时，x1,x2∈11.已知函数，则（

）A.是的极小值点B.当时，C.函数为奇函数D.若方程有三个解，且这三个解从小到大依次成等差数列，则答案：AD解析：思路：求出函数的导数确定极小值点判断A；取特殊值计算判断B；求出的值，结合奇函数性质判断C；求出范围，再利用待定系数法求解判断D.解答过程：函数的定义域为，求导得，对于A，当或时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，因此是的极小值点，A正确；对于B，当时，，即，B错误；对于C，令，而，函数，即不是奇函数，C错误.对于D，由选项A得极小值为，极大值为，由方程有三个解，得，令方程的三个解为，则，因此x1+x2联立解得，因此，即，D正确.第II卷（非选择题共92分）三、填空题(共3道小题，每题5分，共15分.)12.已知f2x+1答案：，解析：思路：使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式.解答过程：设，那么，则，所以，.13.已知函数对于任意实数满足条件，若，则________.答案：解析：思路：利用fx+2=−解答过程：由fx+2=−故是以为周期的周期函数，则，由fx+2=−14.已知正实数x，y满足，则的最小值为______．答案：解析：思路：化简题目条件得，构建函数，因为是正实数，故此函数单调递增，得到，代入，求导分析其最值.解答过程：由，整理得，化简得：，设函数，可知函数在内单调递增，由可得，即，代入得，令，令，解得，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，故当

时，

取得最小值，此时，最小值为.故四、解答题(共5道小题，共77分.)15.数列的前n项和为，满足，若.（1）证明：数列为等比数列；（2）记cn=an,n为奇数答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据求出，再根据等比数列的定义可证明数列为等比数列；（2）利用分组求和可取.（1）因为，故，而，故an=整理得an=2,故，所以bnbn−1（2）由（1）可得cn故=2+8+⋯+6=3n16.已知函数fx=a（1）当时，求关于不等式的解集（2）当时，若对任意1，不等式fx+1ax−1≥2（3）若对任意a∈[−1,1]，fx答案：（1）答案见解析（2）（3）解析：思路：(1)对进行分类讨论求解不等式；(2)利用分离参数法求k的取值范围；(3)把看作自变量，构造函数，求解实数的取值范围.（1）因为，．①当时，不等式为，解集为；②当时，，不等式可化为，解集为；③当时，，不等式可化为，解集为；④当时，，不等式可化为，解集为，综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．（2）当时，，知不等式对任意恒成立，只需(x2−3因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故实数的取值范围为（3）设，则若对任意，恒成立，即g(1)>2g(−1)>217.已知函数fx（1）求函数的极大值；（2）若函数h(x)=f(x（3）设在在点n,fn，处切线的轴截距为，求数列的前n项和为.答案：（1）（2）（3）16解析：思路：（1）根据导数与函数单调性之间的关系，结合极值定义，求解即可；（2）根据本身单调性，将函数不等式转化为，求解即可；（3）根据导数的几何意义，表示出的通项公式，求解即可.（1）因为，所以f'(时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，故为的极大值点，的极大值为f−1=e.（2）因为hx=e2x由（1）得，时，函数单调递增，g(x)=ln(则等价于，解得.（3）由题意得，，则切线方程为，令，得，即n−an=n则Sn18.已知函数fx（1）若对任意的，且，总存在，使得fx1−fx2（2）若为整数，当时，恒成立，求的最大值；答案：（1）（2）解析：思路：（1）先求得最小值为2，转化为fx1−fx2ex（2）先转化为恒成立，令，利用导数得出的单调性和最小值，进而求得整数的最大值.（1）解：设函数，可得函数在区间上单调递增，所以，不妨设，可得，因为总存在，使得fx1即fx1−设，则Gx1>G又由fx=(x则，所以在上恒成立，即在上恒成立，令φx=x−m所以实数的取值范围为.（2）解：当时，，不等式fx>−1−m，即为，不等式即为在上恒成立，令，则g'(再令，可得，所以单调递增，又由，，所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点，设此零点为，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，