2025-2026学年湖北黄冈市高二下册4月份阶段性练习（B卷）数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（）A.2个 B.4个 C.6个 D.8个2.已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极值点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.53.在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（）A.2 B.3 C.4 D.54.在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（）A.2012 B.2013 C.2014 D.20155.从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的种数为（）A.6 B.7 C.8 D.96.若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（）A. B. C.0 D.17.已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.8.若函数在内不单调，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（）A. B.C. D.10.下面正确的是（）A.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法；B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法；C.将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，恰好有一个空盒子，有18种不同的放法；D.将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有3种不同的放法．11.已知函数，，则（）A.当时，函数有两个零点B.当时，函数有唯一零点C.对于任意的，函数与零点个数相同D.当时，函数与都有唯一的零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的前n项和为，若，，则________．13.某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，则丙不是第一个出场，安排顺序的情况数是________．14.设函数，若是的极大值点，则取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，（1）求n的值．（2）求展开式所有项系数和．16.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）求的单调区间．17.已知等比数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式．（2）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列．18.已知等差数列的公差为，前项和为，等差数列的公差为，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）若，对任意恒成立，求范围．（3）设，求数列的前项和．19.记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”．（1）判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由；（2）若函数与存在“好点”，求实数的值；（3）已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围．数学本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（）A.2个 B.4个 C.6个 D.8个答案：C解析：思路：根据第二象限点的特征，运用分步乘法计数原理进行求解即可.解答过程：在第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，由题意得点的横坐标有，两种选择，点的纵坐标有三种选择．由分步乘法计数原理，可得在第二象限的点有个．2.已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极值点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：B解析：解答过程：由的图象可知，当时，，当时，，且，所以函数有3个极值点.3.在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：B解析：思路：设等比数列的公比为，则，由，，成等差数列得出，结合得出，即可求解．解答过程：设等比数列的公比为，则，因为，，成等差数列，所以，又，所以，所以，故，故选：B．4.在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（）A.2012 B.2013 C.2014 D.2015答案：A解析：思路：利用等差数列的前项和是关于的二次函数，由二次函数的对称性即可求解.解答过程：因为等差数列的前项和是关于的二次函数，所以由二次函数图象的对称性及，,可得，解得.5.从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的种数为（）A.6 B.7 C.8 D.9答案：B解析：思路：根据题意可知满足条件的情况有：一个白球（奇数）一个黑球（偶数），一个白球（偶数）一个黑球（奇数），两个黑球（一奇一偶），分别求出情况数即可.解答过程：根据题意，取出的2个球的编号之和为奇数，则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球，所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有种，一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有种，两个黑球（一奇一偶）共有种，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的种数为6.若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（）A. B. C.0 D.1答案：C解析：思路：对求导，即可求解的图象在点处的切线方程，进而对求导，即可得解.解答过程：由题意得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即．设直线与的图象相切于点，又，则，解得，所以，即，则．故选：C．7.已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据与的关系可得，进而可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求通项公式后代入不等式整理可得恒成立，再根据作差法分析的单调性求得最大值即可.解答过程：由，令，解得，当时，由得，即，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，由，即恒成立，令，则，而，所以，即数列单调递减，故，所以，所以的最小值为.故选：C8.若函数在内不单调，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：将问题转化为在上有变号零点，分和两种情况讨论的单调性，结合零点存在定理即可求解.解答过程：，当时，，则函数在内单调递减，不满足条件，当时，令,则．所以在内单调递增，要使函数在内不单调，∴在上有变号零点，又，故只需．∴.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：结合原函数与导函数的关系依次判断即可．解答过程：对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确；对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确；对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确；对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误.故选：ABC.10.下面正确的是（）A.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法；B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法；C.将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，恰好有一个空盒子，有18种不同的放法；D.将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有3种不同的放法．答案：AD解析：思路：本题分“元素是否相同”和“盒子是否允许空盒”两类讨论,对于不同元素放入不同盒子，常用分步计数或容斥原理；对于相同元素放入不同盒子，则转化为正整数方程的解的个数问题.解答过程：对于A：将个不同小球放入个不同盒子，且没有空盒子，相当于求从个元素到个元素的满射个数.先不受限制地放，共有种放法，减去恰有一个盒子空着的情况，再加上两个盒子都空着的情况，所以总数为故A正确.对于B：将个不同小球放入个不同盒子，盒子可空，则每个小球都有种选择，所以共有种放法，并不是种，故B错误.对于C：将个不同小球放入个不同盒子中，恰有一个空盒子,先选出空盒子，有种选法,然后把个不同小球放入剩下个不同盒子中，且都不能空，不受限制时共有种放法，去掉全部放入其中一个盒子的两种情况，得种.所以总数为并不是种，故C错误.对于D：将个相同小球放入个不同盒子中，没有空盒子，由隔板法可得解数为，故D正确.11.已知函数，，则（）A.当时，函数有两个零点B.当时，函数有唯一零点C.对于任意的，函数与零点个数相同D.当时，函数与都有唯一的零点答案：ACD解析：思路：对A，求得在处的切线方程，然后判断；对B，求得在处的切线方程，然后判断；对C，对分三种情况讨论可判断；对D利用导数分别研究和的单调性，结合零点存在定理即可判断.解答过程：对A，令，，，所以曲线在处的切线方程为，当切线经过原点时，，所以切线斜率为，此时曲线与直线只有一个交点，所以当时，曲线与直线有两个交点，即函数有两个零点；故正确；对B，，令，，，所以曲线在处的切线方程为，当切线经过原点时，，所以切线斜率为，此时曲线与直线只有一个交点，所以当时，曲线与直线有两个交点，即函数有两个零点；故错误；对C，当时，由A、B选项可知函数与均没有零点；当时，由A、B选项可知函数与均有一个零点；当时，由A、B选项可知函数与均有两个零点；所以对于任意的，函数与零点个数相同，故正确；对D，当时，，所以在上单调递增，由于，，所以在上存在唯一零点，当时，，所以在上单调递减，由于，，所以在上存在唯一零点，故D正确；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的前n项和为，若，，则________．答案：42解析：解答过程：等比数列的前n项和为,成等比数列，，，，，.13.某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，则丙不是第一个出场，安排顺序的情况数是________．答案：18解析：思路：丙第2个出场，第3个出场以及第4个出场情况下，对甲、乙、丁三人进行排列，即可求得结果.解答过程：由题意可知，丙不是第一个出场，安排顺序的情况数是.14.设函数，若是的极大值点，则取值范围为________．答案：解析：思路：求出函数的导数，结合极大值点化简，再按分类讨论求出范围.解答过程：函数的定义域为，求导得，由，得，则，当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，因此；当时，，若，则，函数在上单调递增，函数无极值，不符合题意；若，由，得，由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，不符合题意；若，由，得，由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，符合题意，此时，则，所以取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，（1）求n的值．（2）求展开式所有项系数和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题可得，解等式即可求解；（2）令即可求解.（1）已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为，，，依题意成等差数列，故，得到：，化简得，即：，解得：或（舍去）（2）令，展开式所有项系数和．16.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）求的单调区间．答案：（1）极大值为，没有极小值（2）答案见解析解析：思路：（1）求导,结合单调性进行求解；（2）由导数,求解不等式进行求解.（1）当时，的定义域为．，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因此的极大值为，没有极小值．（2），∴当时，，函数的单调增区间为；当时，由，得，由，得，则函数的单调增区间为，单调递区间为．17.已知等比数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式．（2）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列．答案：（1）（2）不存在解析：思路：（1）直接根据前项和与关系及等比数列的定义可得；（2）先假设存在，再由得，进而可得，故假设不成立得证.（1）因为，所以，，，两式相减得，，即，所以等比数列的公比，所以，得.所以等比数列的通项公式.因此，数列的通项公式.（2）由（1）知数列的通项公式，所以.假设存在正整数使成等差数列，不妨设．所以，，即.由，所以，所以，且，所以，即.故不存在互不相等的正整数，使成等差数列．．18.已知等差数列的公差为，前项和为，等差数列的公差为，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）若，对任意恒成立，求范围．（3）设，求数列的前项和．答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）直接根据条件求出等差数列的基本量，进而可