2025-2026学年湖北襄阳市第三中学高一下册4月月考数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.i B. C.1 D.2.已知，均为单位向量，且与夹角为，则（）A.3 B. C.2 D.3.设，为平面直角坐标系内两点，若，则（）A.16 B. C.4 D.4.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.5.已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.6.的内角的对边分别为，若边上的高为，则（）A. B. C. D.7.已知为的外接圆的圆心，，若，且，则（）A. B. C. D.8.已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A.若，，则B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在虚轴上D.若复数满足条件，则复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界10.已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，若，，则下列说法正确的是（）．A.，B.在上投影向量的模为C.若，，则D.11.已知锐角的三个内角的对边分别为，且，,则（）A. B.C.的最小值可能为负数 D.的值可能为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，若与平行，则实数_________．13.在矩形中，，，点满足，则_________.14.在中，若，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数.（1）若是纯虚数，求；（2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围.16.记的内角的对边分别为，.（1）求A；（2）延长至，使，求的值.17.如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，.（1）若，，求的值；（2）若点为线段的中点，求的最小值.18.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且.（1）求C；（2）若G为内一点且，求长度的最大值；（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求证：；（2）设边上的中点为D.（ⅰ）若，，求；（ⅱ）记，求的最大值.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.i B. C.1 D.答案：D解析：思路：根据虚部的定义求解.解答过程：由复数虚部定义可知，的虚部为.故选：D.2.已知，均为单位向量，且与夹角为，则（）A.3 B. C.2 D.答案：D解析：思路：先求，再利用模长公式可得答案.解答过程：因为，均为单位向量，且与夹角为，所以；因为，所以.故选：D.3.设，为平面直角坐标系内两点，若，则（）A.16 B. C.4 D.答案：B解析：思路：利用向量运算的坐标表示及向量数量积的坐标表示计算即可.解答过程：，，故－16.故选：B.4.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合三角形的性质，根据正弦定理直接求解即可.解答过程：在中，由正弦定理，得，又，则有，所以.故选：B5.已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用向量夹角为锐角，得到向量数量积大于零且向量不共线，列出不等式求解即可.解答过程：由题意知，，.因为，的夹角为锐角，所以且不存在实数使得，即，不共线.①，因为，所以，解得.②，不共线，若，共线，则，整理得，解得或，所以且，综上，且.故选：D.6.的内角的对边分别为，若边上的高为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用三角形的余弦定理求解即可解答过程：如图：设边上的高为．因为，所以，所以．由勾股定理可得，由余弦定理可得．故选：D7.已知为的外接圆的圆心，，若，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：取的中点，根据给定条件结合共线向量定理的推论可得共线，再在直角三角形中计算作答.解答过程：取的中点，连接，则，如图，

则，由，得，又，因此三点共线，由为的外接圆的圆心，得，即，所以.故选：B.8.已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由可推导得到，结合可设，，利用向量坐标运算表示出，计算可得，可知当时，取得最小值，进而得到结果.解答过程：，，则，，两点在以为圆心，为半径的圆上，设，由可取，，，则当时，取得最小值，.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A.若，，则B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在虚轴上D.若复数满足条件，则复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界答案：BCD解析：思路：结合复数的定义，模的计算公式，对应点的坐标依次判断选项即可.解答过程：对于A，因为，，根据虚数不能直接比较大小，故A错误；对于B，设，若复数等于零，则，所以，若，则，即复数等于零，综上，复数等于零的充要条件是它的模等于零,故B正确；对于C，设，若为纯虚数，则，对应点的坐标为，由于其对应点的横坐标为0，且，所以复数在复平面内对应的点在虚轴上，故C正确；对于D，设复数，若复数满足条件，则有4≤m2+n210.已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，若，，则下列说法正确的是（）．A.，B.在上投影向量的模为C.若，，则D.答案：ACD解析：思路：对于A，根据正弦值与余弦值的关系，结合题意，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算公式，可得其正误，对于CD，数量积的坐标运算，求得夹角，可得其正误.解答过程：对于A，当时，，则，故A正确；对于B，在上投影向量的模为，，故B错误；对于C，由，，则，所以，故C正确；对于D，由，，，则，所以，故D正确.故选：ACD.11.已知锐角的三个内角的对边分别为，且，,则（）A. B.C.的最小值可能为负数 D.的值可能为3答案：ABD解析：思路：先由锐角结合易求得角的范围判断A项；再由正弦定理求出，利用角范围和正切函数的单调性即可求出的范围判断B项；利用平面向量数量积的定义结合余弦定理将数量积表示为一元函数，再利用二次函数的性质确定参数范围即可判断C项；利用余弦定理化简得，利用正弦定理得求出边的范围即可判断D项.解答过程：对于A，因，则，解得，又，则得，故A正确；对于B，由正弦定理，，可得，由A项得，，可得，故，则，故B正确；对于C，由余弦定理，，而，显然函数在上单调递增，故，即，故C错误；对于D，因，则，由B项可得，，因，则，故得，即的值可能为3，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，若与平行，则实数_________．答案：解析：思路：根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算即得.解答过程：向量，由与平行，得，所以.故13.在矩形中，，，点满足，则_________.答案：##解析：思路：根据平面向量的线性运算和已知条件即可化简求出结果.解答过程：根据题意结合图象可得：，，，，.故答案为.14.在中，若，则的最小值为______.答案：##解析：思路：将转化为弦，利用正、余弦定理化简可得，再次利用余弦定理，结合基本不等式计算即可求解.解答过程：，得，所以，所以，即，由正弦定理和余弦定理，得，整理得，由余弦定理，得，当且仅当即等号成立，所以的最小值为.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数.（1）若是纯虚数，求；（2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出；（2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案.（1）因为是纯虚数，所以，由，解得或，由得，且，故.（2）因为对应的点位于第三象限，所以，所以解得的取值范围是.16.记的内角的对边分别为，.（1）求A；（2）延长至，使，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过对已知等式进行化简，然后利用余弦定理求出角A.（2）利用正弦定理列出等式，进而求出的值.（1）由得，所以根据余弦定理得，，则.（2）如图：因为，所以，则是正三角形，所以，在中，根据正弦定理，由题意，得，所以.17.如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，.（1）若，，求的值；（2）若点为线段的中点，求的最小值.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据三点共线，用表达，再用表达，结合三点共线，即可由共线定理求得；（2）用表达，再用表达，根据，待定系数求得关于参数的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.（1）由点共线可设，则，即，，，，为线段上靠近点的三等分点，，由点共线可设，即，故，解得，故，.（2），，，故，又为中点，则，故，得，，当且仅当，即时，等号成立；故的最小值为.18.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且.（1）求C；（2）若G为内一点且，求长度的最大值；（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）根据正弦定理角换边得，再利用余弦定理即可；（2）根据向量运算得，再两边同平方结合基本不等式即可；（3）根据正弦定理和三角恒等变换得，再求出即可得到其范围.（1）因为，所以根据正弦定理得，即，得，所以，又，所以．（2）如图，设是的中点，因为，所以，所以是的中点．因为，所以．由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以，所以，得，所以，即长度的最大值为．（3）因为，所以，由正弦定理知.又为锐角三角形，所以得，所以，所以，所以，所以，即的周长的取值范围为．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求证：；（2）设边上的中点为D.（ⅰ）若，，求；（ⅱ）记，求的最大值.答案：（1）证明见解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）利用二倍角的